求變力做功的方法

張志紅

（天津市寶坻一中，天津 301800）

求變力做功的方法

張志紅

（天津市寶坻一中，天津 301800）

變力做功問題綜合性強，思維性強，知識面廣，涉及的物理方法多，能力要求高，是高考的重難點之一。但無論是哪一類型的變力做功問題，都有相應的解題思路和方法。

微元法；等值法；平均力法；圖像法；能量

功是中學物理的重要概念之一，它體現了力對物體的作用在空間上的積累，功尤其是變力做功是近年高考的熱點，亦是考生應考的難點。但由于高中階段所學的功的計算公式W=Fscosθ只能用于恒力做功，對于變力做功或物體運動軌跡是曲線的情況，就不能再用W=Fscosθ來計算。就此，總結如下幾個求變力做功的方法。

一、力的大小不變，方向改變

1.等值法。若某一變力的功和某一恒力的功相等，則可以通過計算恒力的功，求出該變力的功。

例1：如圖1，定滑輪至滑塊的高度為h，已知細繩的拉力為F（恒定），滑塊沿水平面由A點前進S至B點，滑塊在初、末位置時細繩與水平方向夾角分別為α和β。求滑塊由A點運動到B點過程中，繩的拉力對滑塊所做的功。（忽略一切阻力）

解析：設繩對物體的拉力為T，顯然人對繩的拉力F等于T。T在對物體做功的過程中大小雖然不變，但其方向時刻在改變，因此該問題是變力做功的問題。在忽略一切阻力的情況下，人對繩做的功就等于繩的拉力對物體做的功。而拉力F是恒力，所以F做的功可以用公式W=FScosa直接計算。由圖1可知，在繩與水平面的夾角由α變到β的過程中，拉力F的作用點的位移大小為：

圖1

2.微元法。當物體在變力的作用下作曲線運動時，若力的方向與物體運動的切線方向之間的夾角不變，且力與位移的方向同步變化，可用微元法將曲線分成無限個小元段，每一小元段可認為恒力做功，總功即為各個小元段做功的代數和。

圖2

例2：如圖2所示，某力F=10N作用于半徑R=1m的轉盤的邊緣上，力F的大小保持不變，但方向始終保持與作用點的切線方向一致，則轉動一周這個力F做的總功應為：

A.0J B.20πJ C.10J D.20J

解析：把圓周分成無限個小元段，每個小元段可認為與力在同一直線上，故ΔW=FΔS，則轉一周中各個小元段做功的代數和為W=F×2πR=10×2πJ=20πJ，故B正確。

二、力的方向不變，大小改變

1.平均力法。若參與做功的力方向不變，而大小隨位移線性變化，則可求出平均力等效代入公式W=Fscosθ求解。

2.圖像法。若參與做功的力方向與位移方向始終一致而大小隨時變化，我們可做出該力隨位移變化的圖像。如圖3，那么圖線下方所圍成陰影部分的面積，即為變力做的功。

圖3

例3：用鐵錘將一鐵釘擊入木塊，設木塊對鐵釘的阻力與鐵釘進入木塊內的深度成正比。在鐵錘擊第一次時，能把鐵釘擊入木塊內1cm。擊第二次時，能擊入多少深度？（設鐵錘每次做功相等）

解析：解法一：平均力法。

鐵錘每次做功都用來克服鐵釘阻力做的功，但摩擦阻力不是恒力，其大小與深度成正比F=-f=kx，可用平均阻力來代替。

如圖3-1，第一次擊入深度為x1，平均阻力做功為

圖3 -1

圖3 -2

第二次擊入深度為x1到x2，平均阻力，位移為x2-x1，做功為

兩次做功相等：W1=W2。

解法二：圖像法。

因為阻力F=kx，以F為縱坐標，位移x為橫坐標，作出F-x圖像（圖3-2）。曲線所圍面積的值等于F對鐵釘做的功。

三、從能量的角度

1.公式W=Pt。在機車啟動的過程中，如果保持發動機的功率恒定，則牽引力是個變力，求牽引力的功用W=Pt。

2.動能定理。在某些問題中，我們可由其做功的結果——動能的變化來求變力F的功：W=ΔEk。

例4：一輛汽車在平直公路上從速度v0開始加速行駛，經時間t后，前進了距離s，此時恰好達到其最大速度vmax，設此過程中發動機始終以額定功率P工作，汽車所受阻力恒為F，則在這段時間里，發動機所做的功為（ ）。

解析：解法一：在汽車啟動過程中功率恒定，所以直接使用公式W=Pt；解法二：在汽車啟動過程中，只有牽引力和阻力做功，合外力的功等于動能的變化，有.故BC正確。

3.功能關系法。能是物體做功的本領，功是能量轉化的量度。由此，對于大小、方向都隨時變化的變力F所做的功，可以通過對物理過程的分析，從能量轉化多少的角度來求解。

例5：兩個底面積都是S的圓筒，放在同一水平面上，桶內裝水，水面高度分別為h1和h2，如圖4所示，已知水的密度為ρ。現把連接兩桶的閥門打開，最后兩桶水面高度相等，則這過程中重力所做的功等于_____。

圖4

圖5

分析與解：由于水是不可壓縮的，把連接兩桶的閥門打開到兩桶水面高度相等的過程中，利用等效法把左管高以上部分的水等效地移至右管，如圖5中的斜線所示，最后用功能關系，重力所做的功等于重力勢能的減少量，選用AB所在的平面為零重力勢能平面，則畫斜線部分從左管移到右管所減少的重力勢能為：

G632.0

A

1674-9324（2014）21-0085-02