雙調和型映照的Landau定理

石擎天，黃心中

（華僑大學數學科學學院，福建泉州362021）

雙調和型映照的Landau定理

石擎天，黃心中

（華僑大學數學科學學院，福建泉州362021）

利用單位圓盤上有界調和映照的系數估計及Schwarz引理，對雙調和映照F（z）及其在微分算子L作用下LF（z）的Landau定理中的單葉半徑進行估計.所得結果改進了劉名生等和Chen等的研究結果.

雙調和型映照；Landau定理；微分算子；Schwarz引理

1 預備知識

關于平面單連通區域上有界調和映照，有如下估計不等式.

其中，n＝2，3，….應用上述結果，文獻［5］證明了

定理C［5］設F（z）＝｜z｜2G（z）＋K（z）是單位圓盤D上雙調和映照，G（z）和K（z）在D上調和，滿足F（0）＝K（0）＝0且JF（0）＝1，｜G（z）｜≤M，｜K（z）｜≤M，z∈D則存在常數ρ1∈（0，1），使得F（z）在圓盤Dρ1上單葉且F（Dρ1）包含單葉圓盤Dσ1.ρ1是方程

事實上，定理C要求滿足G（0）＝0，否則得到的σ1將會得到變化.文獻［8－9］對算子L作用于雙調和映照的Landau定理進行估計，得到如下結論.

定理D［9］假設F（z）＝｜z｜2G（z）＋K（z）是單位圓盤D上的雙調和映照，G（z）和K（z）在D上調和，滿足F（0）＝K（0）＝JF（0）－1＝0，且｜G（z）｜≤M，｜K（z）｜≤M，M≥1.則存在常數ρ∈（0，1），使得LF（z）在圓盤Dρ上單葉且LF（Dρ）包含單葉圓盤Dσ.其中ρ是方程

最近，Chen等在文獻［10］中改進了上述定理，當p＝2時有如下結論.

定理E設F（z）＝｜z｜2G（z）＋K（z）是D上雙調和映照，其中G（z）和K（z）是D上調和映照，滿足F（0）＝K（0）＝JF（0）－1＝0且｜G（z）｜≤M，｜K（z）｜≤M，M≥1.則存在常數ρ2∈（0，1），使得LF（z）在圓盤Dρ2上單葉且LF（Dρ2）包含單葉圓盤Dσ2.這里ρ2是方程

定理F設F（z）＝｜z｜2G（z）是D上雙調和映照，G（z）是D上調和映照，滿足G（0）＝JG（0）－1＝0且｜G（z）｜≤M，z∈D.則LF（z）在Dρ3上單葉且LF（Dρ3）包含單葉圓盤Dσ3.其中ρ3是方程

2 主要結果及其證明

針對定理C，證明如下.

定理1設F（z）＝｜z｜2G（z）＋K（z）是單位圓盤D上的雙調和映照，G（z）和K（z）在D上調和，滿足F（0）＝G（0）＝K（0）＝JF（0）－1＝0且｜G（z）｜≤M，｜K（z）｜≤M，M≥1.則存在常數r1∈（0，1），使得F（z）在圓盤Dr1上單葉且F（Dr1）包含單葉圓盤DR1.這里r1是方程

K0

給定r∈（0，1），任取z1，z2∈D，且z1≠z2，［z1，z2］表示連接z1，z2的直線段.

通過Matlab軟件計算，比較定理1與定理C，如表1所示.

表1 定理1與定理C的比較Tab.1 Compare theorem 1with theorem C

下面研究微分算子L作用于雙調和映照的Landau定理問題.

定理2設F（z）＝｜z｜2G（z）＋K（z）是單位圓盤D上雙調和映照，G（z）和K（z）是D上調和映照，滿足F（0）＝K（0）＝JF（0）－1＝0且｜G（z）｜≤M，｜K（z）｜≤M，M≥1.則LF（z）在Dr2上單葉且LF（Dr2）包含單葉圓盤DR2.其中r2是方程

給定r∈（0，1），任取z1，z2∈D且z1≠z2，［z1，z2］表示連接z1，z2的直線段，則有

故定理得證.

通過Matlab軟件計算，比較定理2和定理E，如表2所示.

表2 定理2與定理E的比較Tab.2 Compare theorem 2with theorem E

作為應用，考慮定理2中K≡0的情形，得到了如下結論.

定理3設F（z）＝｜z｜2G（z）是單位圓盤D上的雙調和映照，G（z）是D上調和映照，滿足G（0）＝JG（0）－1＝0，且｜G（z）｜≤M，M≥1.則LF（z）在Dr3上單葉，且LF（Dr3）包含單葉圓盤DR3.其中，r3是方程

通過Matlab軟件計算，比較定理3和定理F，如表3所示.

表3 定理3與定理F的比較Tab.3 Compare theorem 3with theorem F

3 結束語

以上研究方法表明：充分應用調和映照的Schwarz引理和系數估計不等式可以得到更好的結果，在對數調和映照類、有界多重調和函數的相應問題的估計也可以得到進一步的結果.

［1］ LEWY H.On the non－vanishing of the Jacobian in certain one－to－one mappings［J］.Bull Amer Math Soc，1936，42（10）：689－692.

［2］ ABDULHADI Z，MUHANNA Y，KHURI S.On univalent solutions of the biharmonic equations［J］.Journal of Inequalities Applications，2005（5）：469－478.

［3］ ABDULHADI Z，MUHANNA Y，KHURI S.On some properties of solutions of the biharmonic equation［J］.Applied Mathematics and Computation，2006，177（1）：346－351.

［4］ LIU Ming－sheng，LIU Zhi－wen.On bloch constants for certain harmonic mappings［J］.Southeast Asian Bulletin of Mathematics，2012，36（3）：1－10.

［5］ 劉名生，劉志文，朱玉燦.某類雙調和映射的Landau型定理［J］.數學學報，2011，54（1）：69－80.

［6］ COLONNA F.The Bloch constant of bounded harmonic mappings［J］.Indiana Univ Math J，1989，38：829－840.

［7］ LIU Ming－sheng.Landau theorem for planar harmonic mappings［J］.Comput Math Appl，2009，57（7）：1142－1126.

［8］ 夏小青，黃心中.一類雙調和映照的單葉半徑估計［J］.華僑大學學報：自然科學版，2011，32（2）：218－221.

［9］ CHEN S，PONNUSAM S，WANG X.Landau theorem for certain biharmonic mappings［J］.Applied Mathematics and Computation，2009，208（2）：427－433.

［10］ CHEN S，PONNUSAM S，WANG X.On properties of solutions of the p－harmonic equation［EB／OL］.（2012－04－12）［2012－09－30］.http：／／arxiv.org／pdf／1204.2767.pdf.

［11］ 夏小青，黃心中.平面有界調和函數的Bloch常數估計［J］.數學年刊，2010，31A（6）：769－776.

Landau′s Theorem for Biharmonic－Type Mappings

SHI Qing－tian，HUANG Xin－zhong
（School of Mathematical Sciences，Huaqiao University，Quanzhou 362021，China）

Using the coefficient inequalities for bounded harmonic mappings on the unit disk and Schwarz lemma，Landau′s theorems for biharmonic mappings F（z）and LF（z），where Lis a differential operator，are considered.Our results improve the latest one made by Liu Ming－sheng and Chen.

biharmonic－type mapping；Landau′s theorem；differential operator；Schwarz lemma

O 174.51；O 174.55

A

（責任編輯：黃曉楠 英文審校：黃心中）

1000－5013（2014）01－0102－05

10.11830／ISSN.1000－5013.2014.01.0102

2012－10－23

黃心中（1957－），男，教授，主要從事函數論的研究.E－mail：huangxz＠hqu.edu.cn.

福建省自然科學基金資助項目（2011J0101）