彈簧的振動

任保文

（西安電子科技大學物理系，陜西 西安 710071）

在常見大學物理教科書中，對彈簧振子的討論，一般都忽略彈簧質量；彈簧振子作簡諧振動，其頻率為單一值.若考慮彈簧自身質量，即將彈簧看作彈性體，則彈簧波動頻率并不單一、其值也明顯不同，當彈簧質量較小可忽略時，振子的頻率等問題皆回到常見情形.但當彈簧質量不可忽略時，其結果與常見情況明顯不同.本文也給出了彈簧在自重作用下的靜止形變及最大形變以及超越方程xtanx＝c解的漸近表示等重要結論.

1 問題及解

原長為l，質量為m0且彈性系數為k的彈簧，豎直懸掛著質量為m的振子，慢慢放開，則該定解問題如下：

故解為

2 討論

1）靜態解的一些討論

m=0時，彈簧在自重作用下的變形為u（x）此時彈簧的質量線密度為

靜止時坐標為η，則有，故有

動態時類似.

彈簧端點的振動為

2）若m＝0時，則有：

由邊界條件可設通解為

3）m0／m→0時，一般解的一些討論

對于超越方程xtanx＝c，若令z＝x-nπ，n＝1，2，3，…，則有

即求z（w）的漸近展開式，由

等等.

考慮到漸近表示的誤差，則超越方程根的漸近表示取為

對于超越方程xtanx＝c的最小正數解，選c為參數.同理得根的漸近表示為

故：振動的基頻為

對超越方程xtanx＝c用迭代法解得

xtanx＝0.05的理論解如下：

xtanx＝0.05的漸近解的數值計算結果如下：

由上面數值計算可以看出，當c較小［c＝0.01，c＝0.1］時漸近公式具有較高的精確度.故一般解近似為

此種情況高階項相對較小，一般可略去.此時退化為常見情況.

由以上討論可知，若考慮彈簧的自身質量比不考慮彈簧質量來描述對振子運動無疑更全面更準確.所得結論更一般，亦是常見普通物理教科書中難以推出的.該文處理問題的思想方法及超越方程的解法對于類似問題定有幫助.

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［3］任保文.大學物理學輔導講案——概念解析與一題多解［M］.西安：西北工業大學出版社，2008.77；263.

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