基于改進型采樣點卡爾曼濾波的礦用電池SOC估計

何靈娜，王運紅

(浙江工業大學信息工程學院，浙江 杭州 310023)

0 引 言

礦用電池作為緊急避險設施、檢測通信系統和井下運輸車輛等煤礦工業設備的動力源，其荷電狀態(SOC)估計的準確性與避難人員的安危密切相關[1]。目前，常用的電池SOC估計方法有開路電壓法、Ah計量法、模糊神經網絡法和卡爾曼濾波法等[2-5]。由于礦用電池的初始SOC值難以確定，且電池SOC在電池工作過程中易受多種因素干擾[6]。而擴展卡爾曼濾波(Extended Kalman Filter，EKF)算法計算量適中，且具有克服初值誤差和累計誤差的能力，因此被廣泛應用于非線性系統的狀態估計[7]。由于EKF算法是利用泰勒級數展開，并截斷高階項來實現非線性系統的線性化，該算法只適用于低動態弱非線性系統。當算法的估計誤差較大時，算法的濾波精度就會降低、不穩定，甚至發散[8]。

礦用電池是一個強非線性系統，針對EKF只適用于連續可微的弱非線性系統且必須計算復雜的Jacobian矩陣[9]，基于采樣點卡爾曼濾波算法(sampling point kalman Filter，SPKF)，本研究通過采用加權統計線性回歸法實現模型函數統計線性化，從而在克服EKF缺陷的同時，實現電池SOC估計。本研究針對有限的電池管理系統資源，基于電池模型狀態方程線性的特征，通過將標準KF和SPKF組合使用，從而實現算法運算量的降低。由于SPKF需要進行狀態誤差協方差開方，易于引起病態矩陣問題，本研究在SPKF算法中引入奇異值分解，并用特征協方差陣代替均方估計誤差協方差陣。此外，本研究針對礦用電池外特性呈高動態非線性且電池模型誤差不可避免，基于強跟蹤原理，引入次優漸消因子。

1 礦用電池狀態觀測復合模型

狀態觀測復合模型將電池SOC作為非線性系統的唯一狀態變量，因此計算復雜度低。該模型之所以被稱為復合模型，是由于該模型由3種簡單電化學模型復合得到[10]。

Sherpherd模型:

Unnewehr universal模型:

Nernst模型:

式中:xk—電池在k時刻的SOC值;E0—礦用電池的開路電壓;R—示電池內阻;ik—k時刻電池的瞬時電流(電池放電時，ik—正;充電時，ik—負);yk—電池工作電壓;K1，K2，K3—系統模型的匹配系數，其所在項表示電池極化內阻。

針對礦用電池SOC受環境溫度和充、放電倍率影響較大的問題，本研究在復合模型中引入環境溫度比例因子和充、放電倍率比例因子，并將其作為該算法的輸入uk，而將易于直接測量的電池端電壓作為電池模型的輸出yk。由此得到，電池狀態觀測復合模型的表達式如下所示:

狀態方程:

觀測方程:

式中:K0—電池開路電壓;ηi—額定溫度下，放電電流為ik時的充放電倍率比例因子(在額定放電倍率下，ηi=1);ηT—額定放電倍率下，溫度為T時的環境溫度比例因子(在額定溫度下，ηT=1);Qn—電池的額定容量。

電池狀態觀測復合模型作為Shepherd模型、Unnewehr universal模型、Nernst模型以及Ah模型的復合體，在性能上要遠遠優于其中任意一個電池模型。

2 基于改進型采樣點卡爾曼濾波的電池SOC估計

礦用電池是一個高動態強非線性系統，為了獲取實時、有效、精確的礦用電池SOC值，本研究基于最優高斯近似卡爾曼濾波框架中的SPKF算法，通過采用加權統計線性回歸法實現非線性系統函數統計線性化，克服了EKF算法只適用于弱非線性系統以及必須計算Jacobian矩陣的缺陷，且使濾波精度逼近三階以上[11]。

2.1 運算量的改進

由于礦用設備資源有限，針對“礦用電池狀態觀測復合模型的狀態方程為線性方程，而只有觀測方程為非線性方程”的特性，本研究通過在SPKF算法的時間更新階段引入標準卡爾曼濾波算法來進行狀態變量、狀態誤差協方差以及觀測變量的一步預測，而后續測量更新與SPKF算法一致[12]。為了方便，該算法簡寫為KSPKF。

在算法的時間更新階段，KSPKF算法只需要進行3步就可以完成，簡單方便。筆者比較SPKF算法與KSPKF算法在時間更新階段的運算量(乘法次數)，有關情況如表1所示。

觀察表1可知，SPKF算法在時間更新階段的運算量(乘法運算)為22n+7次，而KSPKF算法在時間更新階段的運算量為10n+6次。可見，KSPKF算法在運算效率上得到了大大的提升。

表1 SPKF和標準KF在時間更新階段每步的運算量(乘法次數)

2.2 數值穩定性的改進

當KSPKF算法在進行采樣點確定的過程中需要對誤差協方差陣進行cholesky分解，而cholesky分解要求被分解矩陣必須滿足正定性。

然而，礦用電池在工作過程中，由于物理因素以及環境因素引起的干擾的存在而使得采集誤差不可避免。此外，對于含有誤差的采集數據進行復雜的算法推導時，得到的結果又往往含有舍入誤差，由此可知，誤差協方差矩陣的正定性難以保證。

在SVD分解中，如果假定A∈Rm*n，m≥n，則SVD分解可以表示為:

式中:U，V—A的左、右奇異向量;S—A的奇異值，S=diag{s1，s2，Λ，sn}，s1≥s2≥…≥sr≥0。

根據SVD分解的定義可知，SVD分解不僅不限制被分解矩陣的正定性，并且保證分解得到的奇異值都是正值[13]。因此，本研究針對KSPKF算法的數值穩定性問題，對算法的采樣點確定進行了改進，試圖采用穩定性和精度較好的SVD分解來代替cholesky分解，用特征協方差矩陣來代替協方差矩陣，其中采樣點確定部分的方程式將被修改為:

式中:λ=?2(n+κ)－n;κ—比例因子，用于控制采樣點與系統狀態變量預測值xk+1|k點間的距離;n—系統狀態維數;?—采樣點的擴散程度，通常滿足:1e－4≤?≤1。

為了方便，基于奇異值分解的SPKF算法在下面簡寫為SVD-KSPKF算法。

2.3 強跟蹤原理的引入

對于礦用電池而言，噪聲、部件磨損、老化等因素不可避免，因此要建立一個能夠完全反映動力電池狀態統計特性的精確模型十分困難。此外，礦用電池在工作過程中由于工作環境復雜，使得電池外特征參數變化較大，可見，本研究所設計的SOC估計算法不僅要有應對模型不準確的魯棒性，還要能快速跟蹤劇烈波動的電池端電流。然而，SVD-KSPKF算法對電池模型的依賴性很強，且當系統達到平穩狀態時，SVDKSPKF算法增益陣Kk將趨于極小值;反之，當系統狀態發生突變時，雖然預報殘差有所增大，但增益陣Kk并沒有隨之迅速增大，而仍保持極小值。可見，該算法不具備快速跟蹤突變狀態的能力。對此，本研究在SVD-KSPKF算法中引入了強跟蹤濾波器，并記為SSKSPKF算法。

強跟蹤濾波器基于正交性原理，其基本思想是:在線選擇適當的時變增益陣Kk，使得:

其中，式(8)是經典EKF的性能指標，式(9)要求不同時刻的殘差序列處處保持相互正交。

本研究基于信息序列的正交性原理，在SVD-KSPKF算法中引入了次優漸消因子，其基本步驟如下:

首先，計算輸出殘差:

2.4 電池SOC估計算法設計

基于SPKF算法，本研究通過在時間更新階段引入標準卡爾曼濾波原理實現算法運算量改進，并在此基礎上引入奇異值分解和強跟蹤原理，加強了算法的數值穩定性和跟蹤突變狀態的能力，且使其具有了抗模型誤差的能力。其中，算法的遞推過程如下:

(1)模型選擇。

礦用電池內部化學反應復雜，汽車運行過程中易受物理振動、環境溫度、測量誤差等各種因素的影響。因此，本研究在上述觀測方程和狀態方程中引入了狀態噪聲和測量噪聲，并將其表示為:

狀態方程:

觀測方程:

式中:wk—系統的狀態噪聲;vk—系統的測量噪聲。

滿足:

其中:Qk—系統狀態噪聲協方差陣，Rk—系統測量噪聲協方差陣，E(.)—期望函數。

(2)初始化

(3)狀態變量和狀態誤差協方差的一步預測。

式中:Ak—系統動態特性的方程匹配系數，其取值為:Ak=1。

(4)觀測變量yk+1|k的一步預測。

(5)次優漸消因子的引入。

其推導過程如公式(10～16)。

(6)奇異值分解及采樣點確定。

其推導過程如公式(6～7)。

此外，與采樣點對應的權值定義為:

式中:β—狀態分布參數。

(7)濾波增益陣的計算。

至此，若算法達到設定結束步數，則終止;否則，k=k+1，轉向第(3)步，繼續迭代循環。

3 實驗分析

該實驗選用的單體電池是型號為WX11U3215的磷酸鐵鋰聚合物動力電池，該電池的額定電壓為3.2 V，額定容量≥15 Ah，額定放電電流為15 A，放電時的額定工作溫度范圍為－10℃ ～45℃[14]。其中，本研究所采用數據的實驗對象為四節單體磷酸鐵鋰聚合物動力電池串聯組成的電池組，由此可知，電池組的額定電壓為12.8 V，額定容量為15 Ah。

為了更好驗證所提出的改進算法應對模型誤差的魯棒性，本研究在算法模型輸入參數K0中引入了隨機噪聲，其中，電池模型輸入參數K0在引入隨機噪聲后的曲線圖如圖1所示。

圖1 電池模型參數K0加噪后的曲線圖

此外，為了驗證算法跟蹤突變狀態的能力，本研究通過在UDDS工況下對電池進行放電操作以模擬突變狀態，并對電池端電流加入隨機噪聲以加大算法的模型誤差。其中，加噪后的電池端電流波形圖如圖2所示。

圖2 加噪后放電電流波形圖

為了更全面地驗證所提出的算法的有效性，除了對SS-KSPKF算法進行了仿真實驗外，本研究還對改進型EKF(在EKF中考慮了環境溫度影響因子和充放電倍率影響因子)和SVD-KSPKF算法進行了仿真實驗，以更全面地對算法估計結果進行比較分析。其中，電池SOC估計結果局部仿真放大圖如圖3所示。

圖3 電池SOC估計結果局部仿真放大圖

觀察圖3可以發現，3種算法在大約80 s后均能較好地實現SOC值的準確估計。而在起初的0～80 s內，SS-KSPKF算法具有比SVD-KSPKF算法和改進型EKF算法更快的收斂速度和更好的收斂精度。可見，本研究提出的算法具有應對模型不準確以及跟蹤突變狀態的能力，很適合于礦用電池SOC估計。

4 結束語

本研究詳細介紹了礦用電池狀態觀測復合模型，通過采用加權統計線性回歸法，實現了非線性函數的統計線性化過程。針對電池復合模型的特殊性，將標準卡爾曼濾波算法與SPKF算法組合使用，減少了計算量。通過奇異值分解和強跟蹤原理的引入，提出了改進型SPKF算法，并將其應用于礦用電池SOC估計。此外，本研究分析了改進型SPKF算法的遞推過程，并進行了仿真驗證。仿真結果表明:對于含有模型誤差和狀態突變的系統中，該算法依然具有較快的收斂速度以及較好的收斂精度。

綜上所述，本研究提出的基于改進型的SPKF算法在保證了濾波精度和收斂速度的同時，還兼顧了計算量。可見，該算法可應用于礦用電池SOC估計。

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