矩陣冪級(jí)數(shù)及其收斂性

宋林鋒

摘 要 本文首先給出矩陣冪級(jí)數(shù)的幾個(gè)相關(guān)概念，然后證明了矩陣冪級(jí)數(shù)收斂的定理，最后用一個(gè)具體的例子討論了矩陣冪級(jí)數(shù)的收斂性。

關(guān)鍵詞 矩陣冪級(jí)數(shù) 譜半徑 收斂性

中圖分類號(hào)：O151.21 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Matrix Power Series and its Convergence

SONG Linfeng

（Department of Mathematics and Information Engineering，

Puyang Vocational and Technical College， Puyang， Henan 457000）

Abstract This paper first gives a matrix power series of several related concepts， and then gives the convergence theorem of matrix power series， and finally with a specific example discussed matrix power series convergence.

Key words Matrix power series； cape radius； convergence property

矩陣?yán)碚撌菙?shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，要建立矩陣函數(shù)，矩陣冪級(jí)數(shù)是重要依據(jù)，而學(xué)習(xí)矩陣冪級(jí)數(shù)自然要討論其收斂性。本文首先給出了矩陣冪級(jí)數(shù)的幾個(gè)相關(guān)概念，然后證明了矩陣冪級(jí)數(shù)收斂性的定理，最后用一個(gè)具體例子討論了冪級(jí)數(shù)的收斂性。

1 矩陣冪級(jí)數(shù)的相關(guān)概念

定義1 設(shè)是復(fù)數(shù)域上的階方陣，， = 0，1，2，…

稱 = + + + … + + …為矩陣的冪級(jí)數(shù)。

定義2 矩陣冪級(jí)數(shù)的前 + 1項(xiàng)的和稱為矩陣冪級(jí)數(shù)的部分和，記為（）。

定義3 若矩陣冪級(jí)數(shù)的部分和序列{（）}收斂，則稱收斂；否則，稱發(fā)散。當(dāng)（） = 時(shí)，則稱為矩陣的冪級(jí)數(shù)的和矩陣。

定義4 設(shè)是復(fù)數(shù)域上的階方陣，其全部特征值為，，…，則 = 為的譜半徑。

譜半徑是證明矩陣冪級(jí)數(shù)收斂的一個(gè)重要概念，特別是譜半徑具有一個(gè)重要的性質(zhì)：的譜半徑是的任意一種模的下界。

2 矩陣冪級(jí)數(shù)的收斂定理

定理，設(shè)復(fù)方陣的譜半徑為，復(fù)變量的冪級(jí)數(shù)為，其收斂半徑為，則（1）當(dāng)<時(shí)，矩陣冪級(jí)數(shù)收斂；（2）當(dāng)>時(shí)，矩陣冪級(jí)數(shù)發(fā)散。

證明：若有個(gè)互相不相同的特征值，，…，則存在可逆矩陣，使得

其中

于是

這樣，矩陣序列{（）}收斂當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)矩陣塊序列（）收斂，而

其中（），表示在 = 處的階導(dǎo)數(shù)，是約當(dāng)塊的階數(shù)。

（1）若<，則∣∣<，此時(shí)下列各序列

{（）}，{（）}，…{（）}

都收斂，從而{（）}收斂，進(jìn)而收斂。

（2）若>，則一定存在某一特征值∣∣>，

于是冪級(jí)數(shù)發(fā)散，從而相應(yīng)的{（）}發(fā)散，進(jìn)而發(fā)散。

說明：定理對(duì)>和<時(shí)的斂散性給出了判斷，對(duì)于 = ，定理失效，需用其它方法來判斷。

3 矩陣冪級(jí)數(shù)收斂的一個(gè)例子

例題 討論矩陣冪級(jí)數(shù) = + + + … + + …的收斂性；當(dāng)它收斂時(shí)，求它的和矩陣。 分析：由定理知，是否收斂，需求出的譜半徑與相應(yīng)復(fù)數(shù)的冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，當(dāng)<時(shí)，矩陣冪級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)>時(shí)，矩陣冪級(jí)數(shù)發(fā)散，然后在<條件下求出其和函數(shù)即可。

解：矩陣冪級(jí)數(shù)所對(duì)應(yīng)的復(fù)變量的冪級(jí)數(shù)為，很顯然其收斂半徑 = 1，故當(dāng)<1時(shí)，收斂，進(jìn)而得到，當(dāng)?shù)乃刑卣髦档哪６夹∮?時(shí)，收斂，只要有一個(gè)特征值的模大于1時(shí)，發(fā)散。

當(dāng)<1時(shí)，1不是矩陣的特征值，有∣∣≠0，進(jìn)而矩陣可逆，記 = + + … +

又 = （）（ + + … + ）= （）

于是 （）= （ ）=

而 （）= （）=

故 = = 。

參考文獻(xiàn)

[1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等代數(shù)（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

[3] 黃有度，朱士信.矩陣?yán)碚摷捌鋺?yīng)用[M].合肥：合肥工業(yè)大學(xué)出版社，2005.