連續型隨機變量數學期望的求法探究

劉仁彬

（重慶理工大學 數學與統計學院，重慶 400054）

連續型隨機變量數學期望的求法探究

劉仁彬

（重慶理工大學 數學與統計學院，重慶 400054）

通過實例介紹了連續型隨機變量數學期望的一些求法，包括Laplace-Stieltjes變換法、重期望公式法、利用相同概率性質的隨機變量分解法和計算高維Markov過程平均吸收時間的方法。

連續型隨機變量；期望；求法

如何快速有效地計算隨機變量的數學期望是學習概率統計課程和隨機過程理論必須掌握的一個知識點，但在一般的概率統計和隨機過程教材（如[1，2]）中，計算數學期望主要采用的是定義和性質等常規方法。基于此，文[3]針對離散型隨機變量期望計算，給出了對稱法、公式法、分解法、遞推法和母函數等求法及其技巧。在這些工作的基礎上，本文針對連續型隨機變量期望計算，通過實例介紹了Laplace-Stieltjes變換法、重期望公式法、利用相同概率性質的隨機變量分解法和計算高維Markov過程平均吸收時間的方法。

一、Laplace-Stieltjes變換法

解：因F（t）的Laplace-Stieltjes變換為，故

二、重期望公式法

例2 設供貨商每月向某經銷商供應的貨物量X服從（10，30）（單位：1萬件）上的均勻分布，該經銷商每月實際需要的貨物量Y服從（10，20）（單位：1萬件）上的均勻分布。若該經銷商能從供貨商得到足夠的貨物，則每1萬件貨物可獲30萬元利潤，若得不到足夠貨物則需從其他途徑進貨，此時每1萬件可獲10萬元利潤。求該經銷商每月的平均利潤。

解：因每月利潤Z取決于貨物供應量X，故由重期望公式得：

三、利用相同概率性質的隨機變量分解法

例3 在M/G/1排隊系統[4]中，顧客的到達是參數為λ的Poisson流，顧客的服務時間獨立同分布，具有分布函數G（t），t＞0和有限均值α。到達和服務獨立。證明對服務臺忙期b的數學期望E（b），當λα小于1時，E（b）=α（1-λα）-1，當λα大于或等于1時，E（b）=∞。

證明：設η表示忙期b中首個顧客的服務時間γ內到達的顧客數，則E（η）=λα。稱服務時間γ內到達的η個顧客ξ1，…，ξη為“特殊顧客”，其后到達的顧客為“普通顧客”。因顧客類型和服務順序不影響忙期b的長度，為研究需要，重新定義服務順序為：服務完忙期首個顧客后，立即服務ξ1和除ξ2，…，ξη外的“普通顧客”，直到沒有新到“普通顧客”時為止（這段時間記為X1），接著開始服務ξ2和除ξ3，…，ξη外的“普通顧客”，直到沒有新到“普通顧客”時為止（這段時間記為X2），如此下去，直到最后開始服務ξη及其后所有新到的“普通顧客”（這段時間記為Xη），于是得到分解式b=γ+X1+…+Xη。由于b，X1，…，Xη都表示從一個顧客開始服務直到服務結束的一段時間，故它們具有相同的概率性質，分布相同，且X1，…，Xη獨立于γ和η。從而

四、計算高維Markov過程平均吸收時間的方法

例4 對兩部件串聯系統，若部件1、2的壽命分別服從參數為λ1的負指數分布和分布函數為X2（t）的一般概率分布，修理時間的分布函數為Yi（t），i=1，2，部件修復如新。t=0時刻部件全新且同時開始工作。求系統的首次平均壽命。

解：定義狀態1：系統工作；狀態2：部件1在修理，系統故障；狀態3：部件2待修，系統故障。設部件2壽命的危險率函數為λ2（t），時刻t系統所處的狀態為S（t），ξ2（t）表示時刻t部件2的年齡，ηi（t）表示時刻t部件i已用去的修理時間（i=1，2）。令狀態2，3為吸收狀態，則{S（t），ξ2（t），ηi（t），t＞0，i=1，2}為帶兩個吸收狀態的向量Markov過程。定義狀態概率P1（t，x）dx=Pr{S（t）=1，x≤ξ2（t）＜x+dx}，則：

邊界條件P1（t，0）=δ（t），初始條件P1（0，x）=δ（x），這里δ（t）為狄拉克函數。

注1：當X2（t）=1-e-λ2t，t＞0時，可得E（X）=（λ1+λ2）-1，與文[5]運用概率分析方法得到的結果（n=2的情形）完全一樣。

五、結語

通過實例可以看到，本文介紹的連續型隨機變量數學期望的求法可以解決一些具體問題中的期望計算，可為學習概率統計、隨機過程及工程概率應用提供重要的參考，因此，理解和掌握這些方法是大有裨益的。

[1]李賢平.概率論基礎[M].第二版.北京：高等教育出版社，1997.

[2]張波，張景肖.應用隨機過程[M].北京：清華大學出版社，2004.

[3]徐傳勝.離散型隨機變量數學期望的求法探究[J].高等數學研究，2005，8，（1）.

[4]唐應輝，唐小我.排隊論——基礎與分析技術[M].高等教育出版社，2006.

[5]盛驟，謝式千.概率論與數理統計及其應用[M].北京：高等教育出版社，2004.

G642.41

A

1674-9324（2014）36-0078-02

劉仁彬（1972-），男，四川自貢人，博士，副教授，研究方向：概率統計和隨機模型。