由一道數(shù)學行程問題引發(fā)的思考
——淺談數(shù)學習題的功能

馬鴻曉

（北京市海淀區(qū)北大附中香山學校，北京 100093）

由一道數(shù)學行程問題引發(fā)的思考
——淺談數(shù)學習題的功能

馬鴻曉

（北京市海淀區(qū)北大附中香山學校，北京 100093）

數(shù)學習題的練習在數(shù)學學習中具有重要功能——知識功能和教育功能。教師選擇每一道數(shù)學習題，都應(yīng)該考慮到它的兩種功能，不僅僅教給學生知識，同時還注重學生思維發(fā)展和心理健康成長。可怎樣發(fā)揮這些功能？值得我們深思和探討。

數(shù)學；習題功能；行程問題

數(shù)學習題練習是中學數(shù)學教學過程中的重要一環(huán)。數(shù)學習題具有兩種功能：第一，它是數(shù)學知識的載體，習題練習可以鞏固知識、靈活運用知識、并引入新知識。第二，數(shù)學習題還具有重要的教育功能，它能培養(yǎng)學習興趣、增強學習信心，養(yǎng)成良好數(shù)學學習習慣和學習思維，提高學生應(yīng)對挫折的能力。

下面是一道數(shù)學行程問題的教學片斷，借用該教學片斷來探討如何發(fā)揮數(shù)學習題的這些功能。

一、數(shù)學行程問題教學片段

（一）例題

甲、乙兩車相距480km，甲車速度為80km/h，乙車速度為100km/h，若甲、乙兩車同時同向而行，兩車何時相距600km？

解：設(shè)x小時后兩車相距600km。

1.若甲、乙兩車同向由甲到乙方向行駛，如下頁圖1所示，則：

圖1

100x+480＝80x+600

解之得：x=6

即：6小時后甲、乙兩車相距600km。

2.若甲、乙兩車同向且由乙到甲方向行駛，如圖2所示，則只有乙追上甲并超過甲時才可能相距600km

圖2

100x=80x+480+600

解之得：x=54

即：54小時后甲、乙兩車相距600km。

（二）拓展

若上述數(shù)據(jù)都不變，設(shè)計一道題，使之結(jié)果有三種情形。

學生：編不出來，能否改變數(shù)據(jù)？

老師：如果可以改變數(shù)據(jù)，你如何設(shè)計？

學生甲：將“甲、乙兩車相距480km”更改為“甲、乙兩車同在一個地方”，則：

（1）甲、乙同時同地同向右出發(fā)（如圖3）。

（2）甲、乙同時同地同向左出發(fā)（如圖4）。

（3）甲、乙同時同地反向出發(fā)（如圖5）。

圖3

圖4

圖5

學生乙質(zhì)疑：（1）、（2）屬同一種情況。（其他學生都贊同）

學生丙：將“甲、乙兩車相距480km”更改為“甲、乙兩車相距650km”，刪去“甲、乙兩車同時同向而行“，則：

（1）甲、乙同時相向而行（如圖6）。

（2）甲、乙同時同向出發(fā)，此時不可能出現(xiàn)同時向由甲到乙的方向行駛（甲比乙慢，由甲到乙方向行駛，只會導致相距距離越來越大）。

①乙追上甲之前相距600km（如圖7）。

②乙追上甲之后相距600km（如圖7）。

圖6

圖7

學生丁質(zhì)疑：（1）情況下應(yīng)該也有兩種可能性：甲、乙相遇前相距480km；甲、乙相遇后相距480km。

學生丙：將“甲、乙兩車相距480km，甲車速度為80km/h，乙車速度為100km/h”更改為“甲、乙兩車相距600km，甲車速度為100km/h，乙車速度為100km/h”

學生群體質(zhì)疑：甲、乙兩車只要同時同向行駛，永遠相距600km，沒有太多意義。

最后此拓展題只得以“課下再思考”而結(jié)束。

二、從行程問題知識本身的角度反思

此題如果不更改任何數(shù)據(jù)，能否設(shè)計出有三種情形的一道題？

行程問題一般涉及三個變量：速度、時間、路程，三個變量相互作用、相互影響。若行程問題只涉及到一個對象，當確定其中兩個變量時，第三個變量隨之可以確定。若行程問題涉及到兩個對象或兩個以上對象（比如：此例題中出現(xiàn)了甲、乙兩個對象），除了三個變量外一般還涉及到兩個對象的行駛方向，以及是否同時行駛兩個要素。對于同時與否，其實質(zhì)為改變兩車之間最初的距離，而方向一般會涉及八種情況（見表1）。

表1

本題中甲乙兩車速度不變，最終要相距600km，屬于相距問題。

1.若兩車最開始相距0＜S＜600km，則只可能出現(xiàn)表中的①、④、⑦、⑧四種情況。

2.若兩車最開始相距S＞600km，則只可能出現(xiàn)表中的③、④、⑥、⑦四種情況。

3.特殊情況之一：兩車在同一地點即S＝0km，此時只可能出現(xiàn)同向相距或反向相距兩種情況。

4.特殊情況之二：兩車最開始相距600km即S＝600km，此時只可能出現(xiàn)表中的④、⑦兩種情況。

綜上所述，無論從“方向”還是從“同時與否”這兩個角度思考，最終都會出現(xiàn)四種情況或兩種情況，不可能出現(xiàn)三種情況。

三、從數(shù)學習題的教育功能方面來看

數(shù)學習題對學生的智力方面和非智力方面都有重要的功能。

從智力方面來說，數(shù)學習題能培養(yǎng)學生思維的靈活性、敏捷性、深刻性、批判性、廣闊性、創(chuàng)造性等品質(zhì)。本題是一道開放性習題，由于答案的不確定性，不能按照常規(guī)的思路解決問題，要求學生從整體看行程問題，全局把握條件和結(jié)論之間的關(guān)系，在學生已有的解題方法、運算技巧和探索能力的基礎(chǔ)上，擺脫局部細節(jié)，主動、獨立、別出心裁的提出新方法、新見解，同時對自己提出的新方法、新見解提出質(zhì)疑，發(fā)現(xiàn)問題，從而擯棄錯誤，尋找出最后的解決方案。所以，此題對學生思維的品質(zhì)提出了很高的要求，能促進學生的思維縱向深層次發(fā)展。

從非智力方面來說，經(jīng)拓展后的習題難度系數(shù)較大，要求學生頑強的、堅持不懈地挑戰(zhàn)已有知識和能力的極限，能培養(yǎng)學生的堅韌和挑戰(zhàn)精神。但學生無論付出多少努力最終也無法成功找到解決方案，會讓學生產(chǎn)生挫折感，習題本身具有的激勵作用也蕩然無存，長此以往，學生就會對具有挑戰(zhàn)性的習題失去興趣和動力。如果我們把這道拓展題的結(jié)論稍作修改，結(jié)果就會大相徑庭。比如：我們將問題“若上述數(shù)據(jù)都不變，設(shè)計一道題，使之結(jié)果有三種情形。”更改為“若上述數(shù)據(jù)都不變，我們能否設(shè)計一道題，使之結(jié)果有三種情形？如果能，請寫出來。如果不能，請找出原因”，此時學生可從“存在”和“不存在”兩方面思考問題。除此以外，我們還可以將問題更改為“若上述數(shù)據(jù)都不變，設(shè)計一道題，使之結(jié)果有四種情形。”，學生因此也能獲得成功，但相比前者，后者對學生的數(shù)學思維能力的要求就降低了許多。

此外，由于數(shù)學習題本身具有的獨特特點，使之較其他學科抗干擾的能力強，學生容易靜下心來，迅速投入到數(shù)學習題解決的過程中去，對于促進學生良好的學習習慣有重要的作用。數(shù)學習題不僅能促進學生獨立思考，還能促進學生養(yǎng)成良好的思維習慣和敢于質(zhì)疑的習慣。

問題是數(shù)學的心臟，問題解決是數(shù)學教育的核心。數(shù)學習題不僅能鞏固學生所學知識，發(fā)展學生的智力，同時對學生情感、心理等方面都有很大的影響。此外，數(shù)學習題還深刻影響著學生進入社會后分析身邊問題、解決身邊問題的能力。所以我們需要慎重地看待每一道數(shù)學習題，認真地思考數(shù)學習題的教育功能，在有限的課堂時間里最大限度地發(fā)揮每一道習題的教育功能。

G633.6

A

1674-9324（2014）36-0082-03

馬鴻曉，北大附中香山學校數(shù)學教師，中學一級教師，海淀區(qū)數(shù)學學科帶頭人。