基于貝葉斯理論的導(dǎo)彈發(fā)動機可靠性研究＊

洪 亮 楊春周 衣冠琛 陳 健

（海軍航空工程學(xué)院 煙臺 264001）

1 引言

導(dǎo)彈是一種結(jié)構(gòu)復(fù)雜的武器裝備，由于有著長期貯存、一次性使用的特點，因此，其發(fā)生故障的可能性就會隨著貯存時間變長而逐步增大。作為導(dǎo)彈的心臟，導(dǎo)彈發(fā)動機的可靠性更是值得我們重視的現(xiàn)實問題。如何運用科學(xué)的方法對導(dǎo)彈發(fā)動機可靠性進行科學(xué)評判，是當前需要研究的一項現(xiàn)實而又緊迫的課題。

2 SPOT方法理論

關(guān)于序貫的檢驗方法，人們通常所熟悉的是A.Wald提出的序貫概率比檢驗（Sequential Probability Ratio Test，SPRT）方法［1］。這種方法的平均試驗次數(shù)較之傳統(tǒng)的檢驗方法要少，易于組織實施，因此對于成本高昂的試驗，人們樂于采用。但是由于這種方法對驗前信息沒有考慮，所需試驗次數(shù)仍然比較大。為了對小子樣條件下的試驗結(jié)果進行分析，得出合理的結(jié)論，需要充分利用驗前信息，所以我們采用序貫驗后加權(quán)檢驗（Sequential Posterior Odd Test，SPOT）方法對R＆M 指標進行驗證［2］。

SPOT方法以Baves理論為基礎(chǔ)，不僅運用了總體分布未知參數(shù)的驗前信息，而且決策的過程是“序貫”的，即在每次試驗之后，連同以往試驗的結(jié)果，進行統(tǒng)計推斷，看能否做出統(tǒng)計決策。如果尚不足以作出決策，那么再進行下一次試驗，因此在這種決策過程中樣本的容量不是事先固定的，而是視出現(xiàn)的樣本而定，即試驗數(shù)是隨機的。所以運用SPOT方法對戰(zhàn)技指標進行驗證，當試驗信息已足夠用于得出統(tǒng)計推斷時，就停止試驗，這樣就可以避免不必要的試驗，達到節(jié)省費用、縮短試驗周期和提高試驗質(zhì)量的作用。

由于在實際的試驗方案制訂過程中，考慮到試驗費用和時間等因素的影響，受武器裝備試驗數(shù)量的限制，不能任試驗無限制地“序貫”下去，往往一般要求預(yù)先確定試驗次數(shù)的上界，即規(guī)定最大試驗樣本量，在這種情況下，如果未能在規(guī)定的樣本量內(nèi)得出指標合格與否的結(jié)論，就需要采用截尾SPOT方法對指標進行驗證。

3 MTBF驗證約束條件

一般情況下，在研制合同中根據(jù)作戰(zhàn)需要會要求戰(zhàn)技指標為某一個數(shù)值，要求檢驗的指標不大于或不小于另一個數(shù)值，這個數(shù)通常表示軍方最大限度的可接受值，如果不滿足要求，則可能對作戰(zhàn)任務(wù)造成重大影響。對于可靠性指標參數(shù)的驗證而言，設(shè)θ表示裝備的平均故障間隔時間（Mean Time Between Failures，MTBF），根據(jù)作戰(zhàn)任務(wù)的要求，這里規(guī)定θ應(yīng)不小于θ1，θ1表示軍方最大限度的可接受值，由于試驗結(jié)果的隨機性，統(tǒng)計檢驗結(jié)果帶有一定的誤判風險，即生產(chǎn)方風險α和使用方風險β（生產(chǎn)方風險α表示產(chǎn)品實際上合格時，由于是抽樣試驗而被判定為不合格的概率，這種錯誤使產(chǎn)品的生產(chǎn)方受到損失；使用方風險β表示產(chǎn)品不合格時，而被判定為合格的概率，這種錯誤將導(dǎo)致用戶方受到損失。）。并且為了兼顧研制方的利益，設(shè)定檢出比為λ，令θ0表示參數(shù)θ希望達到的值（檢驗上限）。

設(shè)可靠性真值為θ，希望達到的可靠性值為θ0（檢驗上限），最大可接受值為θ1（檢驗下限），基于簡單假設(shè)的SPOT方法，就是通過借助驗前信息，在每次試驗之后對所有試驗數(shù)據(jù)進行分析，對試驗結(jié)果進行統(tǒng)計推斷，判斷在可靠性檢驗下限和檢驗上限中究竟取哪個值更為合適。

4 導(dǎo)彈發(fā)動機MTBF的驗證過程

在已知生產(chǎn)方、使用方兩類風險，軍方對某型導(dǎo)彈發(fā)動機MTBF［3］規(guī)定值以及最大試驗樣本量的條件下，通過現(xiàn)場試驗，獲取一組現(xiàn)場試驗數(shù)據(jù)。將導(dǎo)彈發(fā)動機MTBF的仿真信息和專家信息這兩種驗前信息以分布函數(shù)的形式進行描述，獲得各自的先驗分布。通過D－S證據(jù)融合方法將先驗分布進行融合，獲得最終的先驗分布。最后，利用現(xiàn)場試驗數(shù)據(jù)和最終的先驗分布，通過SPOT方法及截尾SPOT方法對某型導(dǎo)彈發(fā)動機系統(tǒng)的MTBF做出驗證，判斷其是否符合軍方對導(dǎo)彈發(fā)動機系統(tǒng)的可靠性要求，具體過程如圖1所示。

圖1 某型導(dǎo)彈發(fā)動機MTBF的驗證過程

5 導(dǎo)彈發(fā)動機可靠性數(shù)據(jù)需求分析

在某型導(dǎo)彈發(fā)動機系統(tǒng)的可靠性指標驗證過程中，需要綜合利用專家信息、仿真信息等形成可靠性指標參數(shù)的先驗分布，進而結(jié)合現(xiàn)場試驗數(shù)據(jù)進行可靠性指標的驗證。下面給出進行驗證試驗前的數(shù)據(jù)需求分析。

5.1 研制方、使用方需求數(shù)據(jù)

α為生產(chǎn)方風險；β為使用方風險；θ1為軍方最大限度的可接受值；N為最大試驗樣本量；

通過對某型導(dǎo)彈發(fā)動機系統(tǒng)的工程需求的分析，試驗單位需對平均故障間隔時間MTBF按如下條件進行驗證：α＝β＝0.2，θ1＝4.5m，N＝5。

5.2 驗前信息

由于導(dǎo)彈發(fā)動機壽命的現(xiàn)場試驗數(shù)據(jù)為小樣本，因此需要對導(dǎo)彈發(fā)動機可靠性的驗前信息進行分析，形成先驗分布，進而用于Bayes統(tǒng)計推斷。假設(shè)在對某型導(dǎo)彈發(fā)動機系統(tǒng)的驗前信息分析中共得到仿真信息和專家信息兩類，下面分別對這兩種信息進行分析。

5.2.1 仿真信息分析

對于導(dǎo)彈發(fā)動機系統(tǒng)的可靠性分析，仿真信息是一種主要的驗前信息來源。對該導(dǎo)彈通過仿真模型仿真得到500組仿真數(shù)據(jù)，在表1中列出了其中50組數(shù)據(jù)的MTBF估計結(jié)果。

得到仿真數(shù)據(jù)后，可以利用極大似然法得出每次仿真后系統(tǒng)θ（MTBF）的點估計，這樣針對上述500組數(shù)據(jù)就有500個數(shù)據(jù)點可供分析。進一步假設(shè)系統(tǒng)B的先驗分布為逆Gamma分布IG（a，b），則由矩等效法即可求出超參數(shù)（a，b）［4］。由逆Gamma分布IG（a，b）的期望和方差的計算公式，有

聯(lián)合上述兩個公式求解得到：

經(jīng)過分析仿真所得的500組數(shù)據(jù)，得出系統(tǒng)MTBF點估計的均值為4.60，方差為0.40，分別代入a、b的計算公式，得到

所以在做系統(tǒng)的可靠性分析中，可以以仿真試驗分析所得的可靠性指標MTBF的先驗分布IG（54.9000，247.94）作為θ的先驗分布。

表1 MTBF估計結(jié)果

5.2.2 專家信息分析

對于導(dǎo)彈發(fā)動機系統(tǒng)的MTBF的估計，專家信息是一種常用的驗前信息，通過模擬對3名專家進行咨詢得到表2所示的模擬驗前信息。

通過對表2的分析，由專家信息的規(guī)范化描述方案，可以求解出導(dǎo)彈發(fā)動機系統(tǒng)MTBF的先驗分布，如表2所示。

表2 模擬驗前信息

5.3 信息融合

出于計算與繪圖簡便的考慮，將上述四種先驗分布轉(zhuǎn)化為Gamma分布后的圖像如圖2所示，對驗前信息融合過程，可以得出系統(tǒng)可靠性指標θ的先驗分布，由數(shù)據(jù)融合方法，可以得到如圖3所示的由直方圖表示的融合結(jié)果［5］。

5.4 先驗分布的確定

在5.3中已得出驗前信息融合結(jié)果的離散化表示，為了對系統(tǒng)的MTBF進行驗證，需要利用Gamma分布的形式對上述融合結(jié)果進行擬合，得到其中的超參數(shù)，進而轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)MTBF的逆Gamma分布描述。通過運用矩等效法求解超參數(shù)，得到融合先驗分布為Gamma分布G（228.1772，1042.4），如圖4所示。因此，通過對四種驗前信息的規(guī)范化描述和合理融合，得到系統(tǒng)MTBF的融合先驗分布為IG（228.1772，1042.4）。

圖2 四種先驗概率密度函數(shù)圖形顯示

圖3 驗前信息融合結(jié)果的直方圖顯示

圖4 融合先驗分布概率密度函數(shù)

6 可靠性指標仿真驗證分析

首先設(shè)統(tǒng)計假設(shè)為

此時，θ0＝｛0＜θ≤4.5｝，θ1＝｛θ＞4.5｝。

由前面的計算可得θ（MTBF）的先驗分布為（228.1772，1042.4），由驗后分布的超參數(shù)與先驗分布的超參數(shù)的關(guān)系可知，其驗后分布為IG（232.1772，1057.9）。計算后加權(quán)比為

其中α1＝232.1772，β1＝1057.9，θ1＝4.5。

經(jīng)模擬現(xiàn)場試驗獲得第五發(fā)導(dǎo)彈發(fā)動機無故障時間為4.6734m，此時現(xiàn)場試驗數(shù)據(jù)為4.5573，4.5665，1.7811，4.6734，故ˉx＝4.0329。根據(jù)前面的計算公式可知θ的先驗分布為IG（232.1772，1042.4），則其后驗分布為IG（232.1772，1062.6）。

此時驗后加權(quán)比為

顯然A＜O5＜B，O5仍處于繼續(xù)試驗區(qū)，但由于在實驗之前就已規(guī)定了最大試驗樣本量為五發(fā)，所以此時根據(jù)截尾SPOT方法，需要在決策閾值A(chǔ)，B之間嵌入閾值C，當A＜O5＜C時，接受原假設(shè)H0；當C≤O5＜B時，接受備擇假設(shè)H1。

由以上分析與計算結(jié)果可以看出，通過試驗五枚此類型導(dǎo)彈，即可以對此導(dǎo)彈發(fā)動機的可靠性指標MTBF做出驗證。相比傳統(tǒng)統(tǒng)計試驗方法，基于Bayes理論的SPOT方法大大減低了試驗次數(shù)。大量可信的驗前信息是對Bayes序貫檢驗方法統(tǒng)計推斷優(yōu)良性的保證。當給定的驗前信息越可信、越有效時，基于多源驗前信息［6］的指標驗證方法越可以充分體現(xiàn)它的優(yōu)勢，可以在小樣本的條件下對指標作出合理的驗證，從而達到了節(jié)省試驗費用，縮短試驗周期和提高試驗質(zhì)量的目的。

7 結(jié)語

基于貝葉斯理論下小子樣可靠性評定方法對某型導(dǎo)彈發(fā)動機質(zhì)量可靠性進行分析和研究，運用SPOT法對導(dǎo)彈系統(tǒng)可靠性分析進行模型的構(gòu)建與仿真，針對系統(tǒng)性能可靠性評定面臨數(shù)據(jù)不足的實際情況，提出了利用仿真進行系統(tǒng)性能可靠性評定的方法，工程上易于實現(xiàn)，對高可靠性的復(fù)雜系統(tǒng)可靠性評定更加準確有效。

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