基于貝葉斯理論的導彈發動機可靠性研究＊

洪 亮 楊春周 衣冠琛 陳 健

（海軍航空工程學院 煙臺 264001）

1 引言

導彈是一種結構復雜的武器裝備，由于有著長期貯存、一次性使用的特點，因此，其發生故障的可能性就會隨著貯存時間變長而逐步增大。作為導彈的心臟，導彈發動機的可靠性更是值得我們重視的現實問題。如何運用科學的方法對導彈發動機可靠性進行科學評判，是當前需要研究的一項現實而又緊迫的課題。

2 SPOT方法理論

關于序貫的檢驗方法，人們通常所熟悉的是A.Wald提出的序貫概率比檢驗（Sequential Probability Ratio Test，SPRT）方法［1］。這種方法的平均試驗次數較之傳統的檢驗方法要少，易于組織實施，因此對于成本高昂的試驗，人們樂于采用。但是由于這種方法對驗前信息沒有考慮，所需試驗次數仍然比較大。為了對小子樣條件下的試驗結果進行分析，得出合理的結論，需要充分利用驗前信息，所以我們采用序貫驗后加權檢驗（Sequential Posterior Odd Test，SPOT）方法對R＆M 指標進行驗證［2］。

SPOT方法以Baves理論為基礎，不僅運用了總體分布未知參數的驗前信息，而且決策的過程是“序貫”的，即在每次試驗之后，連同以往試驗的結果，進行統計推斷，看能否做出統計決策。如果尚不足以作出決策，那么再進行下一次試驗，因此在這種決策過程中樣本的容量不是事先固定的，而是視出現的樣本而定，即試驗數是隨機的。所以運用SPOT方法對戰技指標進行驗證，當試驗信息已足夠用于得出統計推斷時，就停止試驗，這樣就可以避免不必要的試驗，達到節省費用、縮短試驗周期和提高試驗質量的作用。

由于在實際的試驗方案制訂過程中，考慮到試驗費用和時間等因素的影響，受武器裝備試驗數量的限制，不能任試驗無限制地“序貫”下去，往往一般要求預先確定試驗次數的上界，即規定最大試驗樣本量，在這種情況下，如果未能在規定的樣本量內得出指標合格與否的結論，就需要采用截尾SPOT方法對指標進行驗證。

3 MTBF驗證約束條件

一般情況下，在研制合同中根據作戰需要會要求戰技指標為某一個數值，要求檢驗的指標不大于或不小于另一個數值，這個數通常表示軍方最大限度的可接受值，如果不滿足要求，則可能對作戰任務造成重大影響。對于可靠性指標參數的驗證而言，設θ表示裝備的平均故障間隔時間（Mean Time Between Failures，MTBF），根據作戰任務的要求，這里規定θ應不小于θ1，θ1表示軍方最大限度的可接受值，由于試驗結果的隨機性，統計檢驗結果帶有一定的誤判風險，即生產方風險α和使用方風險β（生產方風險α表示產品實際上合格時，由于是抽樣試驗而被判定為不合格的概率，這種錯誤使產品的生產方受到損失；使用方風險β表示產品不合格時，而被判定為合格的概率，這種錯誤將導致用戶方受到損失。）。并且為了兼顧研制方的利益，設定檢出比為λ，令θ0表示參數θ希望達到的值（檢驗上限）。

設可靠性真值為θ，希望達到的可靠性值為θ0（檢驗上限），最大可接受值為θ1（檢驗下限），基于簡單假設的SPOT方法，就是通過借助驗前信息，在每次試驗之后對所有試驗數據進行分析，對試驗結果進行統計推斷，判斷在可靠性檢驗下限和檢驗上限中究竟取哪個值更為合適。

4 導彈發動機MTBF的驗證過程

在已知生產方、使用方兩類風險，軍方對某型導彈發動機MTBF［3］規定值以及最大試驗樣本量的條件下，通過現場試驗，獲取一組現場試驗數據。將導彈發動機MTBF的仿真信息和專家信息這兩種驗前信息以分布函數的形式進行描述，獲得各自的先驗分布。通過D－S證據融合方法將先驗分布進行融合，獲得最終的先驗分布。最后，利用現場試驗數據和最終的先驗分布，通過SPOT方法及截尾SPOT方法對某型導彈發動機系統的MTBF做出驗證，判斷其是否符合軍方對導彈發動機系統的可靠性要求，具體過程如圖1所示。

圖1 某型導彈發動機MTBF的驗證過程

5 導彈發動機可靠性數據需求分析

在某型導彈發動機系統的可靠性指標驗證過程中，需要綜合利用專家信息、仿真信息等形成可靠性指標參數的先驗分布，進而結合現場試驗數據進行可靠性指標的驗證。下面給出進行驗證試驗前的數據需求分析。

5.1 研制方、使用方需求數據

α為生產方風險；β為使用方風險；θ1為軍方最大限度的可接受值；N為最大試驗樣本量；

通過對某型導彈發動機系統的工程需求的分析，試驗單位需對平均故障間隔時間MTBF按如下條件進行驗證：α＝β＝0.2，θ1＝4.5m，N＝5。

5.2 驗前信息

由于導彈發動機壽命的現場試驗數據為小樣本，因此需要對導彈發動機可靠性的驗前信息進行分析，形成先驗分布，進而用于Bayes統計推斷。假設在對某型導彈發動機系統的驗前信息分析中共得到仿真信息和專家信息兩類，下面分別對這兩種信息進行分析。

5.2.1 仿真信息分析

對于導彈發動機系統的可靠性分析，仿真信息是一種主要的驗前信息來源。對該導彈通過仿真模型仿真得到500組仿真數據，在表1中列出了其中50組數據的MTBF估計結果。

得到仿真數據后，可以利用極大似然法得出每次仿真后系統θ（MTBF）的點估計，這樣針對上述500組數據就有500個數據點可供分析。進一步假設系統B的先驗分布為逆Gamma分布IG（a，b），則由矩等效法即可求出超參數（a，b）［4］。由逆Gamma分布IG（a，b）的期望和方差的計算公式，有

聯合上述兩個公式求解得到：

經過分析仿真所得的500組數據，得出系統MTBF點估計的均值為4.60，方差為0.40，分別代入a、b的計算公式，得到

所以在做系統的可靠性分析中，可以以仿真試驗分析所得的可靠性指標MTBF的先驗分布IG（54.9000，247.94）作為θ的先驗分布。

表1 MTBF估計結果

5.2.2 專家信息分析

對于導彈發動機系統的MTBF的估計，專家信息是一種常用的驗前信息，通過模擬對3名專家進行咨詢得到表2所示的模擬驗前信息。

通過對表2的分析，由專家信息的規范化描述方案，可以求解出導彈發動機系統MTBF的先驗分布，如表2所示。

表2 模擬驗前信息

5.3 信息融合

出于計算與繪圖簡便的考慮，將上述四種先驗分布轉化為Gamma分布后的圖像如圖2所示，對驗前信息融合過程，可以得出系統可靠性指標θ的先驗分布，由數據融合方法，可以得到如圖3所示的由直方圖表示的融合結果［5］。

5.4 先驗分布的確定

在5.3中已得出驗前信息融合結果的離散化表示，為了對系統的MTBF進行驗證，需要利用Gamma分布的形式對上述融合結果進行擬合，得到其中的超參數，進而轉化為系統MTBF的逆Gamma分布描述。通過運用矩等效法求解超參數，得到融合先驗分布為Gamma分布G（228.1772，1042.4），如圖4所示。因此，通過對四種驗前信息的規范化描述和合理融合，得到系統MTBF的融合先驗分布為IG（228.1772，1042.4）。

圖2 四種先驗概率密度函數圖形顯示

圖3 驗前信息融合結果的直方圖顯示

圖4 融合先驗分布概率密度函數

6 可靠性指標仿真驗證分析

首先設統計假設為

此時，θ0＝｛0＜θ≤4.5｝，θ1＝｛θ＞4.5｝。

由前面的計算可得θ（MTBF）的先驗分布為（228.1772，1042.4），由驗后分布的超參數與先驗分布的超參數的關系可知，其驗后分布為IG（232.1772，1057.9）。計算后加權比為

其中α1＝232.1772，β1＝1057.9，θ1＝4.5。

經模擬現場試驗獲得第五發導彈發動機無故障時間為4.6734m，此時現場試驗數據為4.5573，4.5665，1.7811，4.6734，故ˉx＝4.0329。根據前面的計算公式可知θ的先驗分布為IG（232.1772，1042.4），則其后驗分布為IG（232.1772，1062.6）。

此時驗后加權比為

顯然A＜O5＜B，O5仍處于繼續試驗區，但由于在實驗之前就已規定了最大試驗樣本量為五發，所以此時根據截尾SPOT方法，需要在決策閾值A，B之間嵌入閾值C，當A＜O5＜C時，接受原假設H0；當C≤O5＜B時，接受備擇假設H1。

由以上分析與計算結果可以看出，通過試驗五枚此類型導彈，即可以對此導彈發動機的可靠性指標MTBF做出驗證。相比傳統統計試驗方法，基于Bayes理論的SPOT方法大大減低了試驗次數。大量可信的驗前信息是對Bayes序貫檢驗方法統計推斷優良性的保證。當給定的驗前信息越可信、越有效時，基于多源驗前信息［6］的指標驗證方法越可以充分體現它的優勢，可以在小樣本的條件下對指標作出合理的驗證，從而達到了節省試驗費用，縮短試驗周期和提高試驗質量的目的。

7 結語

基于貝葉斯理論下小子樣可靠性評定方法對某型導彈發動機質量可靠性進行分析和研究，運用SPOT法對導彈系統可靠性分析進行模型的構建與仿真，針對系統性能可靠性評定面臨數據不足的實際情況，提出了利用仿真進行系統性能可靠性評定的方法，工程上易于實現，對高可靠性的復雜系統可靠性評定更加準確有效。

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