汽車非線性懸架系統的分數階PDμ控制研究

高 遠，張一飛，袁海英，范健文

（1.廣西科技大學 電氣與信息工程學院，柳州 545006；2.廣西科技大學 鹿山學院 汽車工程系，柳州 545006；3. 廣西科技大學 廣西汽車零部件與整車技術重點實驗室，柳州 545006）

0 引言

汽車懸架是影響乘坐舒適性和操縱穩定性的重要部件。目前，可控懸架是現代車輛懸架技術發展的重要趨勢?？刂撇呗允菍崿F懸架系統最優控制的保證，也是當前懸架控制系統研究發展的一個重要方面[1]。實際汽車懸架是受隨機路面激勵的非線性系統。迄今，人們結合汽車懸架系統模型，提出了許多單一的懸架系統控制方法，這些方法幾乎涉及控制理論的所有分支，但各有優缺點[2]。

近年來，分數階微積分理論被廣泛應用于物理、材料、信號處理及自動控制等領域[3]。人們研究發現分數階的控制器能獲得比整數階情形更優的控制動態性能和魯棒性，這極大地促進了分數階數學理論在控制領域中的應用發展[4]。迄今，人們提出了TID控制器[5]、CRONE控制器[6]、PIλDμ控制器[7]等不同類型的分數階控制器。已有學者將分數階理論應用于汽車懸架系統的設計及控制方面，但研究成果報道尚少。文獻[8]提出CRONE懸架，采用分數階阻尼的機械系統代替傳統被動懸架中的彈簧和阻尼器，分析表明該懸架系統具有很強的魯棒性和穩定度；文獻[9]為提高汽車行駛平順性，采用CRONE控制方法對不同荷載的懸架模型進行控制；文獻[10]和文獻[11]以分數階“天棚”阻尼控制的車輛懸架為參考模型，分別提出懸架系統的自適應控制方法和滑模主動控制方法。

本文根據1/4車非線性懸架系統模型，采用線性系統頻域分析和時間乘誤差平方積分（ITSE）控制性能優化方法，設計出非線性懸架系統的分數階PDμ控制器。仿真結果表明，在不同車速和等級道路行駛工況條件下，相比整數階PD控制，分數階PDμ控制器因其增加了可調的微分階次參數，從而具有更好的汽車懸架系統控制性能和魯棒性，可進一步降低懸架垂直振動位移、速度和加速度，更好地提高了車輛的行駛平順性。

1 汽車懸架非線性系統模型

考慮圖1所示的單自由度1/4車主動懸架系統模型。通過該圖可得系統的微分運動方程[12]：

上式中： m是1/4車體質量，k1是車身剛度，Fzhi為滯后非線性阻尼力，x是車體垂直振動位移，x0為路面位移激勵，u代表懸架系統的主動控制力。滯后非線性阻尼力Fzhi形為：

其中k2是非線性剛度系數，c1和c2分別代表線性阻尼系數和非線性阻尼系數。因此非線性懸架系統的動力學方程可進一步表示為：

本文所采用的非線性懸架系統參數如表1所示。

圖1 1/4車懸架簡化模型

表1 1/4汽車懸架系統模型參數

2 分數階微積分簡要介紹[13]

分數階微積分運算是整數階微積分理論的推廣，整數階情形是分數階微積分的特例。目前，分數階微積分運算雖然有多種不同的定義形式，但在實際應用中，Riemann-Liouville(R-L)定義是最常用的一種。對于一元函數f(t)的α階微積分，其R-L定義為：

式中(m-1)＜α＜m, m為整數, a為f(t)的初始時

在零初始條件下，信號f(t)的R-L定義α階微分的拉氏變換為[14]：

其中，F(s)為f(t)普通的拉氏變換，sα是復頻域表示的α階微分算子。

對于如下的分數階常系數線性微分系統：

式中：y(t)和u(t)分別代表系統的輸出響應和輸入激勵；αi, βj(i=0,1,…,n; j=0,1,…, m)為任意數，且有關系αn＞αn-1＞…＞α1＞α0，βm＞βm-1＞…＞β1＞β0；ai, bj(i=0,1, …,n; j=0,1,…, m)為常數。系統(6)的傳遞函數可表示為：

當s=jω，則傳遞函數對應分數階系統的頻率特性。

3 分數階PDμ控制器

3.1 控制器數學模型

類似整數階PD控制器，本文所采用的分數階PDμ控制器，其傳遞函數形式為：

式中：kp和kd是控制參數，微分階次 m ∈ ( 0,1]。當μ=1時，C(s)則變為傳統的整數階PD控制器。由式(8)可求出控制器的頻率特性：

根據上式可進一步得到控制器的相頻和幅頻特性：

3.2 控制器設計準則

假定已知被控對象模型P(s)，期望的增益交越頻率ωc和相位穩定裕度φm，為使控制系統滿足穩定性和控制魯棒性要求，根據交越頻率和相位裕度的基本定義[15]，可得到控制系統開環傳遞函數G(s)=C(s)P(s)所應滿足的相位和幅值準則[16]：

i 相位裕度準則

ii 系統增益變化的魯棒性準則

iii 幅值準則

4 汽車懸架系統的分數階PDμ控制器設計

4.1 PDμ控制器的頻域設計方法

鑒于非線性懸架系統的強非線性和隨機路面載荷會造成系統模型的結構及其參數辨識困難，同時為便于采用線性系統頻域理論設計懸架系統的分數階PDμ控制器，因此在不考慮隨機路面激勵和系統非線性環節作用的情況下，根據式(3)可以獲得可控懸架系統的線性化運動方程：

在零初始狀態條件下，線性懸架系統的傳遞函數為：

式中： B1= c1/m，= k1/m。結合上式可分別得到線性系統的相頻特性和幅頻特性：

結合(10)、(11)、(17)和(18)，可求出控制系統開環傳遞函數G(s)=C(s)P(s)的相位及幅度頻率特性：

根據準則i，由式(19)可得到kd和μ之間關系：

根據準則ii和式(19)可建立起如下形式的kd方程

式中：

求解式 (22)可得到關于kd和μ之間的另一關系式：

根據準則iii和式(20)，可求出kp和μ間的關系式：

顯然，求解式(21)、(23)和(24)可得出kd、μ和kp。

4.2 圖解方法求解控制參數

鑒于(21)、(23)和(24)表達式復雜，直接解析求解較困難，因此采用如下的圖解方法步驟求出控制參數kd、μ和kp。

1)設定線性懸架控制系統增益交越頻率ωc以及期望的相位穩定裕度φm；

2)根據 (21) 式和(23)畫式出kd和μ間的關系曲線；

3)通過曲線交點確定kd和μ的圖解值；

4)將kd和μ代入到 (24) 式計算出kp。

本文選取ωc=100rad/s，φm=60o，利用表1的系統參數值以及上述的控制參數求解步驟計算出kd=1.95，μ=0.68，kp=169.33。對于整數階PD控制器(μ=1)，可設計出控制參數kd=1.1和kp=90.3。

圖2和圖3分別示出了整數階PD控制和分數階PDμ控制條件下，開環傳遞函數G(s)=C(s)P(s)的Bode圖。比較圖2和圖3可見，兩種控制器均滿足所設定的交越頻率和相位裕度設計要求，然而，相比整數階控制情形，分數階控制系統開環傳遞函數在諧振頻率處的幅度峰值較小，諧振頻率至交越頻率間的幅頻曲線負斜率小于-40dB/dec；同時，交越頻率ωc附近的較寬頻段范圍內，相頻曲線平滑且對頻率的變化律為零，這表明分數階控制器具有更好的控制穩定度及魯棒性。

圖2 整數階控制的開環傳遞函數Bode圖

圖3 分數階控制的開環傳遞函數Bode圖

4.3 控制器μ參數的優化

為提高汽車的行駛平順性，以非線性懸架系統的垂直振動位移x和加速度x˙均趨于零作為控制目標，并構造如下形式的ITSE控制性能指標函數：

并考慮車輛非線性懸架系統受圖4所示的路面沖擊載荷作用，基于ITSE性能指標最小準則，利用Matlab優化工具箱的fmincon命令對分數階控制器中的μ參數在(0,1]范圍內進行調整優化。通過優化計算后，μ調整為0.97。因此，所設計出的非線性懸架系統PDμ控制器表達式為：

圖5示出了三種不同PDμ控制器作用條件下，非線性懸架系統ITSE控制性能指標函數的時域演化曲線。根據圖5比較可見，分數階PDμ控制器的ITSE數值明顯小于整數階控制情形(μ=1)，且μ參數優化后的分數階控制器(μ=0.97)具有更好的控制性能指標。

5 懸架系統的控制仿真結果及分析

在Matlab/Simulink環境下，對非線性懸架系統模型式(3)、PDμ控制器式(26)以及路面輸入模型模塊化程序實現。其中系統參數同上述，路面激勵x0通過濾波白噪聲方法產生[17]，分數階微分數值計算采用Oustaloup濾波算法[18]。 為驗證PDμ控制器的有效性和先進性，控制仿真中考慮汽車以不同車速在不同等級路面行駛的多種工況，以及對比被動懸架、整數階PD控制方法的控制效果。

當車輛以70km/h行駛在C等級路面，圖6、圖7分別是懸架系統的垂直振動位移、速度x˙的時域響應曲線圖。圖8為懸架系統垂直振動加速度x˙的功率譜密度圖。表2給出了不同等級路面和車速行駛工況情況下，懸架系統垂直振動位移、速度和加速度的均方根值。由這些圖表比較可見，傳統的整數階PD控制和分數階PDμ控制均能有效降低非線性懸架系統的垂直振動位移、速度和加速度，特別是汽車振動固有固有頻率范圍(0.7Hz～15Hz)以及人體敏感振動頻率范圍(4Hz～8Hz)的振動加速度值明顯減小，提高了汽車的乘坐舒適性。相比整數階控制情形，分數階PDμ控制器對汽車非線性懸架系統具有更好的控制效果，這也表明分數階PDμ控制器增加了可調的分數階次參數μ，使得控制器的整定范圍變大，控制被控對象更加靈活，通過合理設計控制器的kd、μ和kp參數，可獲得非線性懸架系統更優的控制性能和魯棒性。

圖4 沖擊載荷波形圖

圖5 控制性能指標函數 (a) μ=1; (b) μ=0.68; (c) μ=0.97

圖6 振動位移時域響應曲線

圖7 振動速度時域響應曲線

圖8 振動加速度功率譜

表2 不同行駛工況條件下，汽車懸架系統垂直振動位移、速度及加速度均方根值

6 結束語

本文采用線性系統頻域理論和ITSE控制性能指標優化方法，設計出非線性懸架系統的分數階PDμ控制器。分數階PDμ控制器增加了可調的分數階次微分參數，相比整數階控制情形，具有更為靈活的調節結構和更寬的整定參數范圍，可獲得更好的汽車非線性懸架系統控制效果和魯棒性，尤其是分數階PDμ控制器在降低人體敏感頻率范圍振動加速度方面具有明顯優勢；同時分數階微積分運算工程可實現，因此，研究結果可望為設計可控懸架系統提高汽車乘坐舒適性，提供有用的控制方法參考。

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