永磁同步電機新型矢量控制

陳俊碩， 劉景林， 張 穎

(西北工業大學 自動化學院，陜西 西安 710072)

現代交流伺服系統中，永磁同步電機(PMSM)由于具有體積小、重量輕、結構簡單、維護方便、運行可靠且具備高效率、高功率密度等優點[1-2]，在航空航天領域以及工業自動化、機器人等場所得到了廣泛應用．常規的基于比例積分控制(PI)的矢量控制方案依然能滿足一定范圍內的控制要求，但其依賴于系統的準確模型，極易受到外來的擾動以及電機內部參數變化的影響，系統的魯棒性不夠理想[3-4]．

近年來預測控制理論中一些新型的模型預測控制(Model Predictive Control，MPC)方法被相繼提出，該模型可以有效地解決類似永磁同步電機這樣多變量、強耦合、非線性、變參數的復雜系統控制難題，如H∞魯棒模型預測控制、約束線性模型預測控制及非線性模型預測控制(Nonlinear Model Predictive Control， NMPC)等[5-7]．美國NASA Glenn研究中心從控制角度討論了智能發動機的發展，介紹了有關非線性模型預測控制的應用．該方法通過預測優化手段準確控制目標，在有擾動或模型失配的情況下具有良好的魯棒性．但是，非線性模型預測控制基本都以單步長泰勒級數法為基礎，求解泰勒級數也就是求解多次微積分過程，計算非常復雜．因此，現有的非線性模型預測控制大部分只能用于較慢的過程控制．隨著計算方法和電力電子技術的快速發展，近些年非線性模型預測控制也被嘗試應用于各類快動態系統中．

由于在實際利用非線性最小二乘法實時求解預測控制的應用中，計算效率對于控制方案可行性至關重要，為此，筆者提出了基于預測控制的新型矢量控制方案，針對非線性模型預測控制求解泰勒級數復雜問題，引入簡單有效的計算泰勒級數的自動微分方法[8]，提高了預測控制算法的效率，降低了對模型的依賴性，并設計了一個永磁同步電機調速系統新型矢量控制器．實驗結果表明，該控制方案滿足了動態較快的電動機實時性要求，具有一定的抗干擾能力．

1 基于自動微分的非線性模型預測控制基本原理

首先以常見的一階非線性系統為例，對基于自動微分的非線性模型預測控制基本原理進行說明，即

(1)

其中，u(t)∈R，是控制輸入；y(t) ∈Rm，是系統輸出；h為步長．若令z=f(x)，則其為一個連續微分方程，f:Rn→Rm．假設輸入u(υ)=u[0]+u[1]υ+ …+u[r]υr，r≤d(d為泰勒展開次數)，其中所有的輸入系數u[k]，k=1，2，…，r為已知，令矢量v= [u[0]T，u[1]T， …，u[r]T]T， 利用自動微分方法，x(υ)和y(υ)的泰勒級數可以由x[0]和v通過鏈式法則得到[8]，其結果如下:

(2)

其中，z[k]為z對時間t的d次泰勒展開系數被系數向量x[k]惟一確定．

用自動微分法對z[k]求偏微分，定義如下:

(3)

其中，A[k]∈Rn×n，k=0，1，…，d， 為泰勒級數的雅克比路徑，其定義為

(4)

由式(4)可得，f′(x(t))可以表示為

f′(x(t))=A[0]+A[1]t+…+A[d]td+ξ(td+1) ．

(5)

對于類似式(1)中的微分方程x=f(x(t))，由于展開系數x[k+1]=z[k]/(k+1)，令x[0]=x(0)，則在t時刻的任意階泰勒級數都可遞推獲得．從式(4)可得，x[k]對于x[0]和v的靈敏度為

(6)

其中，矩陣B[0]=[I|0]．

針對在非線性模型預測控制中求解泰勒級數的不便，引入自動微分方法使泰勒級數計算變為簡單的數值運算．把求解雅克比矩陣轉化為求解泰勒極數的靈敏度，得出其對于初始量x[0]的靈敏度矩陣，進一步簡化了非線性模型預測控制中的計算量，使其能滿足動態較快的永磁同步電機矢量控制要求．

2 永磁同步電機數學模型

2.1 永磁同步電機基本矢量控制數學模型

基于表面式永磁同步電機，假設磁路不飽和，在空間磁場呈正弦分布，不計磁滯和渦流損耗影響的條件下，采用id=0 的永磁同步電機矢量控制[9]，轉矩大小只與定子電流的幅值成正比，實現了永磁同步電機解耦控制．此時，永磁同步電機的d-q軸數學模型為

(7)

其中，ud和uq分別為d和q軸的電壓；id和iq分別為d和q軸的電流；Ld和Lq分別為d軸和q軸的電感；R為定子電阻；J為轉動慣量；Te為電磁轉矩；TL為負載轉矩；np為極對數；ω為轉子機械角速度；B為粘滯摩擦系數；φ為永磁體與定子交鏈的磁鏈．

2.2 永磁同步電機新型矢量控制數學模型

對永磁同步電機基本模型進行基于自動微分的泰勒展開[10]，對式(7)中的id、iq和ω在t時刻針對于t0時刻d次泰勒展開，其中展開系數id[0]、iq[0]和ω[0]由t0時刻初始值確定，即

(8)

假設控制量、負載轉矩在t0到t時刻不變，當展開次數k=1時，泰勒系數id[1]、iq[1]和ω[1]可由式(7)得到，即

(9)

當展開次數k>1時，由式(7)得

(10)

由鏈式法則及自動微分算法進行迭代，可以得到階數k>1時的泰勒系數，即

(11)

式(8)、(9)和(11)構成了一個完整的永磁同步電機的泰勒系數計算方案．令tf=tn+1和ti+1=ti+h，i=0，1，…，n，在初始值id[0]、iq[0]和ω[0]已知時，在ti時刻永磁同步電機的id、iq和ω的數值大小可用它們在t時刻針對于t0時刻d次泰勒展開式遞推獲得，最后得到在tf時刻的計數值．

3 靈敏度計算

在實際利用非線性最小二次方實時求解預測控制的應用中，計算效率是控制方案能否可行的重要條件．實驗結果表明，在非線性控制中，超過90%的計算量都消耗在微分計算中[11]．因此，為了加快永磁同步電機新型矢量控制的計算速度，根據式(7)推導出了一個適合永磁同步電機的基于自動微分的泰勒級數靈敏度的計算方法．

根據永磁同步電機新型矢量控制的數學模型，由式(2)中的x和v可定義永磁同步電機控制系統的狀態向量s= [id，iq，ω]，控制量u= [ud，uq]．可定義式(7)的靈敏度矩陣為

(12)

由上述靈敏度矩陣，通過式(6)的靈敏度推導，定義永磁同步電機泰勒級數展開式t+h時刻對t時刻的靈敏度，即

(13)

對于文中的控制器，滾動優化模塊是為了在電流、轉速等限制約束范圍內，最優地實現電機轉速恒定．該問題可表示為

(14)

(15)

上述目標函數可以轉換為求控制量u對E的雅克比矩陣J，使得V為最小．根據求解非線性方程組的全局收斂的Levenberg-Marquardt算法，結合雅克比矩陣J和性能矢量E，在輸入約束的條件下，得到優化控制序列U= [uT(t0)，uT(t1)，…，uT(tn)]T，可通過下式遞推更新:

Uk+1=Uk-(JTJ+λI)-1JTE,

(16)

其中，λ是性能控制參數，使得性能指標每一步都收斂．計算得到的控制量U*中只有第1個控制量uT(t0)應用到下一個采樣周期中，完成當前控制；重復上述步驟，進行下一步的控制．

圖1 永磁同步電機系統非線性模型預測控制框圖

4 新型矢量控制

結合文中所提的控制方法，新型矢量控制系統框圖如圖1所示．

ω*(t+1)=αωr(t)+(1-α)ω0，α=exp(-T/τ) ,

(17)

其中，ω*(t+1)為t+1時刻轉速期望輸出，ωr為t時刻的系統實際輸出，ω0為期望系統穩定輸出，τ為參考軌跡的時間常數．

圖2 dSPACE實時仿真系統的硬件框圖

5 實驗驗證

基于上述設計 ， 在德斯拜思(dSPACE)實時仿真系統中進行了實驗驗證．設定系統仿真算法為固定步長Fixed-step，Euler算法，基本步長為 0.000 1．永磁同步電機的dSPACE半實物仿真系統如圖2所示．為了保護dSPACE系統的接口安全，由DS1005板卡各模塊發出的信號經過隔離電路后最終加到驅動功率主電路上．系統控制需要的電流、電壓、轉速等物理信號都需要通過隔離電路傳回dSPACE的各組件模塊中，完成系統的閉環回路．實驗所用永磁同步電機參數為：極對數np=4，交直軸電感Lq=Ld= 0.009 2 H，定子電阻R=3.3 Ω，轉子永磁體磁鏈φ=0.18 Wb，轉動慣量J=0.005 kg·m2．

系統采樣時間為0.1 ms，參考軌跡中τ=13，狀態增益矩陣Q= [1/Ld，1/Lq，1/J]，控制增益矩陣R= [1，0.1]，兼顧系統允許誤差為10-9，選用相對較小又能快速穩定的泰勒展開次數d=3．系統初始速度為0，在 2 s 時加入 600 r/m 的期望轉速，同時加入 12 N·m 的負載轉矩．圖3為采集的電機轉速從0到 600 r/m 的啟動過程中參考轉速n*、轉速n和相電流I的波形．由于實驗中電源電壓不能加的太快，實際轉速比參考轉速上升的稍慢，但從中可以看到，在新型矢量控制下電機啟動轉速波動小，穩態性能好．

圖3 啟動過程轉速和相電流的波形

圖4是在10 s時，增加2 N·m負載轉矩，新型矢量控制系統的轉速和相電流的波形．可以看出，基于新型矢量控制系統對于轉矩的突變有更強的適應性，轉速基本不發生變化；從相電流波形可以看到，在突變過程新型矢量控制系統中電流較傳統矢量控制變化較小．由于在反饋校正環節中加入轉速偏差可以有效地消除靜差，保證系統具有較好的抗干擾效果．

圖4 負載轉矩變化時轉速和相電流的波形(新型矢量控制)

圖5為采用傳統矢量控制，當轉矩發生同樣的變化時，卻導致轉速有10%的下降，經過 10 s 才能恢復到 600 r/m．同時從相電流波形可以看到，在突變過程中傳統矢量控制系統中相電流明顯增大．

圖5 負載轉矩變化時轉速和相電流的波形(傳統矢量控制)

6 結 束 語

設計了永磁同步電機基于預測控制的新型矢量控制器，針對在預測控制中求解泰勒級數的不便，引入自動微分方法使泰勒級數計算變成簡單的數值運算．實驗結果表明，文中設計的新型矢量控制器應用于永磁同步電機調速系統中是有效可行的；與常規矢量控制相比，不僅能夠較好地保證調速系統的動態性能，而且可以有效地改善系統的魯棒性，使系統具有更好的抗干擾能力．

[1] Zhang Xiaoguang, Sun Lizhi, Zhao Ke, et al. Nonlinear Speed Control for PMSM System Using Sliding-Mode Control and Disturbance Compensation Techniques[J]. IEEE Transactions on Power Electronics, 2013, 28(3): 1358-1365.

[2] 張細政, 王耀南, 楊民生. 永磁同步電機無位置傳感器雙滑模魯棒控制[J]. 電機與控制學報, 2008, 12(6): 696-700.

Zhang Xizheng, Wang Yaonan, Yang Minsheng. Double-sliding-mode Based Sensorless Robust Control of PMSM[J]. Electric Machines and Control, 2008, 12(6): 696-700.

[3] 孫強, 程明, 周鶚, 等. 新型雙凸極永磁同步電機調速系統的變參數PI控制[J]. 中國電機工程學報, 2003, 23(6): 117-123.

Sun Qiang, Cheng Ming, Zhou E, et al. Variable PI Control of a Novel Doubly Salient Permanent Magnet Motor Drive[J]. Proceedings of the CSEE, 2003, 23(6): 117-123.

[4] Lai C K, Shyu K K. A Novel Motor Drive Design for Incremental Motion System via Sliding-mode Control Method[J]. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2005, 52(2): 499-507.

[5] 于水情, 李俊民. 變采樣周期網絡控制系統的模態依賴的H∞預測控制[J]. 西安電子科技大學學報, 2012, 39(5): 147-155.

Yu Shuiqing, Li Junmin. Mode DependentH∞Predictive Control of Networked Control Systems under Variable-period Sampling[J]. Journal of Xidian University, 2012, 39(5): 147-155.

[6] 黃進, 董正良. 一類柔性懸索結構的自適應滑模控制[J]. 西安電子科技大學學報, 2007, 34(1): 11-15.

Huang Jin, Dong Zhengliang. Adaptive Sliding Mode Control of a Flexible Cable Structure[J]. Journal of Xidian University, 2007, 34(1): 11-15.

[7] Preindl M, Bolognani S. Model Predictive Direct Speed Control with Finite Control Set of PMSM Drive Systems[J]. IEEE Transactions on Power Electronics, 2013, 28(2): 1007-1015.

[8] Cao, Y. A Formulation of Nonlinear Model Predictive Control Using Automatic Differentiation[J]. Journal of Process Control, 2005, 15(8): 851-858.

[9] Mishra A, Makwana J A, Agarwal P, et al. Modeling and Implementation of Vector Control for PM Synchronous Motor Drive[C]//Proceedings of International Conference on Advances in Engineering, Science and Management. Piscataway: IEEE, 2012: 582-585.

[10] Liu Jinglin, Chen Junshuo. Predictive Control for Permanent Magnet Synchronous Machine Based on Automatic Differentiation Method[C]//Proceedings of International Conference on Electrical Machines and Systems. Piscataway: IEEE, 2011: 1-4.

[11] 裘君, 趙光宙, 齊東蓮. PMSM的哈密頓反饋耗散增益調度控制[J]. 控制工程, 2010, 17(2): 149-153.

Qiu Jun, Zhao Guangzhou, Qi Donglian. PMSM Gain Scheduling Control Based on Hamiltonian Feedback Dissipation[J]. Control Engineering of China, 2010, 17(2): 149-153.