具有非線性邊值條件的二階脈沖積微分方程的解

張海麗

（山西交通職業技術學院，太原030031）

具有非線性邊值條件的二階脈沖積微分方程的解

張海麗

（山西交通職業技術學院，太原030031）

脈沖微分方程在理論方面已取得重大進展，應用極其廣泛。文中介紹了上下解的定義、單調迭代方法并給出幾個引理。最后用上下解方法和單調迭代技巧討論了具有非線性邊值條件的二階脈沖積微分方程，得到了最大解和最小解的存在性。

上下解；單調迭代；脈沖；積-微分方程；最大解和最小解

引言

脈沖微分方程反映了微分方程在固定或不固定時刻的瞬時改變，不僅豐富了微分方程理論，而且更真實更廣泛地描述了自然規律，近年來，脈沖微分方程在理論方面已取得了重大進展。文獻［1-2］討論了一階脈沖微分方程，泛函微分方程周期邊值問題，反周期邊值問題極值解的存在性，文獻［3］中給出了二階脈沖泛函微分方程周期邊值問題及線性周期邊值問題極值解的存在性。但這些文章大部分都是在邊界條件是線性的條件下進行討論的，研究非線性的文章不多，文獻［4］介紹了一階脈沖積微分方程非線性邊值問題解的情況。本文利用上下解方法和單調迭代的技巧討論了二階脈沖積微分方程非線性邊值問題最大和最小解的存在性。

考慮下列二階脈沖積微分方程邊值問題：

其中，

分別代表u（t）在t=tk處的左右極限，u′（t-k），u′（t+k）分別代表u′（t）在t=tk處的左右極限，

1 預備知識

定義1稱α∈PC2（J）是邊值問題（1）的一個下解，如果：

稱β∈PC2（J）是邊值問題（1）的一個上解，如果：

引理1［5］設s∈［0，T），ck≥0，αk，k=1，…，p是常數，設p，q∈PC（J，R），u∈PC1（J，R），若

則對?t∈［s，T）有

引理2設u∈PC2（J），

其中

且

其中，a=M+2πNk0+2πN1h0，則u（t）≤0，t∈J。

證明假設結論不成立，即u（t）＞0，則有兩種情況：

存在ˉ使得u（ˉ有u（t）≥0。

（2）使u（t*）＞0，u（t*）＜0。

對于情況（1），由（3）式得u″（t）≤0，?t≠tk，Δu（tk）≤0，（k=1，2，…p），Δu′（t+k）≤（1-L*k）u′（tk），由引理1有，令t=2π有，當λ=1時，有），可得u′（0）≤0，推出u′（t）≤0。同時u（t+k）≤（1-Lk）u（tk）≤u（tk），因此?t∈J，u（t）是非增的，有u（2π）≤u（~t）≤u（0），考慮到當λ=1，u（0）≤u（2π）知u（t）≡C，0≤u″（~t）≤-Mu（~t）＜0矛盾。同理當0＜λ＜1時，

同樣得出矛盾。

由引理1有

在（5）式中t=2π有

可得

由（5）式和（6）式有

由

若t*＞~t在（7）式中令t=t*，有

因此

與（4）式矛盾，因此u（t）≤0，t∈J。若t*＜~t，不失一般性，令~t∈（tm-1，tm］，t*∈（tq，tq+1］，0≤q≤m-1由引理1有

另一方面

將（9）式代入（S）有

即

與（4）式矛盾，因此u（t）≤0，?t∈J。對于u∈PC2（J），考慮下列線性邊值問題：

其中，ak，bk是常數，M1，M2＞0，且。

引理3［5］若α，β∈PC2（J）分別是（10）式的下解和上解，且α≤β，且（4）式成立，則（10）式在［α，β］上存在一個解。

2 主要結果

定理1假設（4）式成立且滿足下列條件：

（H1）α，β分別是（1）式的下解和上解且α≤β。

（H2）f∈C（J×R×R×R→R）滿足：

其中，t∈J0，α≤x1≤x2≤β，Kα≤u1≤u2≤Kβ，Sα≤1≤2≤Sβ，M＞0，N，N1≥0。

（H3）Ik∈C（R，R），I*k∈C（R，R）滿足：

其中，α（tk）≤y（tk）≤x（tk）≤β（tk），0≤Lk＜1，0≤。

（H4）函數g∈C（R×R，R）滿足：

其中，α（0）≤x1≤x2≤β（0），α（2π）≤y1≤y2≤，則存在單調序列｛αn｝，｛βn｝∈PC2（J），其中α0（t）=α（t），β0（t）=β（t），它們在J上分別一致收斂于（1）式在［α，β］中的最小解x*與最大解x*，

［α，β］=｛x∈PC2（J）：α（t）≤x（t）≤β（t），t∈J｝

證明對固定的η∈［α，β］，考察如下問題：

其中

由引理3知（11）式有唯一解x（t）∈［α，β］。

定義算子A：［α，β］→PC2（J），Aη=x，則算子A有下列性質：

首先證明（ⅰ）成立，設m=α0-α1，其中α1= Aα0，由（H2），（H3），（H4）可以得到，

同理可證

同理可證m′（0）≤λm′（2π），由引理2得m（t）≤0，t∈J，即α0≤Aα0，同理可證，Aβ0≤β0，從而（ⅰ）成立。

證明（ⅱ）成立，設u1=Aη1，u2=Aη2，m=u1-u2，與證明（ⅰ）同理，由引理2可得m（t）≤0，t∈J，即Aη1≤Aη2，從而（ⅱ）成立。

假設αn=Aαn-1，βn=Aβn-1，n=1，2，…，從（?。┖停áⅲ┛傻忙?≤α1≤…≤αn≤…≤βn≤…≤β1≤β0，顯然每個αi，βi（i=1，2，…）滿足以下關系式，

式的最大解和最小解，任取x∈［α，β］，假設存在正整數n使得αn（t）≤x（t）≤βn（t），?t∈J，令m（t）= αn+1（t）-x（t），由條件（H2），（H3），（H4）可得，

同理可證

同理，m′（0）≤λm′（2π）由引理2得m′（t）≤0，t∈J，即αn+1同理可證，x（t）≤βn+1所以有x*（t）≤x（t）≤x*（t），?t∈J。

注：本文定理1將文獻［3]中邊界條件推廣為一般的非線性條件，在文獻［4]一階方程的基礎上論證了二階脈沖積微分方程。

［1]Zhang F Q，Li M L，Yan J R.Periodic boundary value problem for first order impulsive differential equations［J].Computer and Appl Math，2006，51:927_936.

［2]Yang X X，Shen JH.Nonlinear boundary value problems for first order impulsive functional differential equations［J].J.Math.Compt，2007，189:1943_1952.

［3]Chen L J，Sun J T.Boundary value problem of second order impulsive functional differential equations［J].J. Math.Appl，2006，323:708_720.

［4]Li J L.Periodic boundary value problems for second order impulsive integro_differential equations［J].Com_ puter and Appl Math，2008，198:317_325.

［5]Bainow D D，Simenov P S.Impulsive Differential quations:Periodic Solutions and Applications［M].Har_ low:Longman Scientific and Technical，1993.

［6]Tariboon J.Boundary Value Problems for First Order Functional Differential Equationsw ith Impulsive Integral Conditions［J].J.Comput.Appl.Math，2010，234:2411_ 2419.

［7]郭大鈞，非線性泛函分析［M].濟南:山東科學技術出版社，1985.

［8]郭大鈞，孫經先，劉兆理.非線性常微分泛函方法［M].2版.濟南:山東科學技術出版社，2005.

Solutions of Second_order Impulsive Integro_differential Equations with Nonlinear Boundary Value Conditions

ZHANG Haili
（Shanxi Traffic Vocational and Technical College，Taiyuan 030031，China）

Agreat Progress in theory of imPulsive differential equations has been made，which are widely aPPlied.The definition of the uPPer and lower solutions and monotone iterative techniques are introduced and several lemmas are given. Finally，through discussing the second order imPulsive integro_differential equation with nonlinear boundary value conditions by its uPPer and lower solutions and monotone iterative techniques，the existence of themaximal and minimal has been got.

uPPer and lower solution；monotone iterative；imPulsive；integro_differential equations；maximal and mini_ mal solutions

O25

A

1673_1549(2014)02_096_05

10.11863/j.suse.2014.02.21

2013_12_12

山西自然科學基金（201001102S）

張海麗（19S3_），女，山西五臺人，助教，碩士，主要從事非線性泛函分析方面的研究，（E_mail）1S739S192@qq.com）