基于一元線性回歸分析的大壩預測模型的建立及其引用建模樣本數量對預測效果的影響

楊顏江+楊雷

【摘 要】 本文主要介紹一元線性回歸分析的基本原理和方法，并結合實例分析。在建模過程中采用不同數量的檢測數據進行建模，得出用該模型預測變形的合理性，引入變量多的模型的預測的效果較好。

【關鍵詞】 回歸分析 沉降預測 模型

0 引言

隨著國內外病險壩的逐漸增多，要求實時或及時了解大壩的安全狀況，掌握變形規律。而預測大壩沉降的方法有多種，本文主要介紹了檢測統計模型中的一元線性回析歸分析方法，并且將其運用在大壩變形預測分析中。

1 一元線性回歸分析的基本原理和方法

我們可以用一條直線來表示x和y的關系，并借助最小二乘法，可得到一元線性回歸的回歸方程[5]：

=a+bx （1.1）

a，b又叫做回歸方程的回歸系數。

下面根據最小二乘法原則來確定a，b的取值。

對于每一個，由方程（1.1）可以確定一個回歸值=a+b。這個回歸值與實際觀測值之差-=-a-b，刻劃了與回歸直線=a+bx的偏離程度。對于所有的，若與的偏離程度越小，則直線和所有的試驗點擬合得：

（1.2）

由最小二乘法可知要使達到極小值，只要對上式分別對a，b求偏導，并令它們等于零，于是可以推導出a，b的值：

（1.3）

（1.4）

上式中和分別表示、的算術平均值，則式（1.3-1.4）可變為如下簡單的形式：

（1.5）

2 預報原理

如果回歸方程通過了統計檢驗，而且其擬合得比較好，那么就可以利用所求得的回歸方程對有關測量數據進行預報和控制。下面先討論預報問題。

對任一給定的，由回歸方程可得回歸值：

， （2.1）

是處的觀測值：

（2.2）

所謂預報，就是在一定的顯著水平下，尋找一個正數，使得實際觀測值以的概率落在區間（）內，即：

， （2.3）

其中

（2.4）

上式表明，利用回歸方程預報實際觀測值的偏差不僅與顯著水平有關，與N有關，而且與觀測點有關。

在沒有重復試驗的情況下，剩余平方和可以提供的無偏估計。

（2.5）

（2.6）

給出了的無偏估計。

在重復試驗的情況下，誤差平方和可以提供的無偏估計。

3 回歸模型的建立過程

一元線性回歸模型雖然簡單，但它的統計思想非常重要，所以我們有必要對一元線性回歸模型及應用方面作一些討論。

第一步，提出因變量與自變量。

第二步，搜集數據。

第三步，根據數據畫散點圖。

第四步，設定理論模型。

第五步，計算。

第六步，回歸診斷，分析計算結果。

第七步，模型的應用。當所建模型通過所有檢驗之后，就可結合實際問題進行應用。

4 應用實例分析

某拱壩，為雙曲薄拱壩，最大壩高68.7m，壩頂最小厚度2.5m，壩底厚度5m，壩頂長150m，河谷寬約90m，半徑28.2～59.65m，該壩與1952年開始觀測，1955年底前水庫一直未蓄水，僅有氣溫作用。其中位移為拱冠位移，氣溫是由距壩3km的某縣的氣象站所得。一共選取15期數據來進行分析。

1）用數據2～10期進行建模分析，圖1為1～10期數據散點圖，從位移的散點圖可以看出，位移與溫度呈線性關系，所以可以建立一元線性回歸模型進行分析，位移量為因變量，氣溫為自變量。

由以上理論分析計算得以下結果見表1。

從計算得結果表1可以看出，=-0.522，=1.8833，有效樣本容量n=9。y的標準差=2.70123。

從表2中可知，相關系數r=-0.993，單側檢驗顯著性sig≈0.000，說明y與x有顯著的線性相關，這與散點圖的直觀分析是一致的。

從表3中看到，決定系數r2=0.986，從相對水平上看，回歸方程能夠減少因變量y的98.6%的方差波動。回歸標準差=0.34651，從絕對水平上看，y的標準差從回歸前的2.70123減少到回歸后的0.34651。

從表4中看到，F=479.153，顯著性sig≈0.000，說明y對x的線性回歸高度顯著，這與相關系數的檢驗結果是一致的。

從表5中得到回歸方程為，回歸系數檢驗的t值=-21.890，顯著性sig≈0.000，與F檢驗和相關系數r的檢驗結果一直。另外常數項的置信度95%的區間估計為（1.437，1.984），系數的置信度95%的區間估計為（-0.367，-0.295）。

2）利用數據1-10進行回歸建模分析，同樣可得與模型1模的方式相同，計算得出結果相關系數r=-0.995，說明y與x有顯著的線性相關，與散點圖的直觀分析是一致的。在統計檢驗方面，決定系數r2=0.990，從相對水平上看，回歸方程能夠減少因變量y的99.0%的方差波動。回歸標準差=0.33265，從絕對水平上看，y的標準差從回歸前的3.11219減少到回歸后的0.33265。在方差分析方面，F=779.791，顯著性sig≈0.000，說明y對x的線性回歸高度顯著，這與相關系數的檢驗結果也是一致的。表8為模型系數計算表。

從表8中得到回歸方程為，回歸系數檢驗的t值=-27.925，顯著性sig≈0.000，與F檢驗和相關系數r的檢驗結果一直。另外常數項的置信度95%的區間估計為（1.476，1.976），系數的置信度95%的區間估計為（-0.364，-0.308）。用此模型對11～15期數據預測結果如下。

結果分析：在增加一個自變量的情況下所作出的預測更加穩定，精度也更高，從圖3中可以看出。另外，從兩模型的殘差比較圖4上看，模型2的殘差大部分要比模型1更小，從對兩個模型的回歸診斷上可以發現模型2的R為0.995大于模型1的0.993，模型2決定系數0.990也大于模型10.986，且模型2y的回歸后的標準差0.33265要小于模型1的0.34651，由此可見：模型2在增加了一個觀測數據的情況下所建立的回歸模型要比模型1更顯著，更優，這點從殘差比較圖中可以明顯看出。比較兩個模型的擬合圖如圖2，好像并不能看出哪個模型更優，甚至由兩個模型中實測值與模型對2～9期數據的擬合相對誤差表比較似乎更傾向于模型1比模型2更優，但是由后期兩個模型對11～15期數據的預測精度。

5 結語

綜上所述，回歸模型運用于大壩變形預測是可行的，并且選用自變量多的方式進行建模的預測結果優于少自變量建模預測的結果。筆者對多個大壩變形實例進行試驗，大多數可以得到比較理想的預測效果。

參考文獻：

[1]吳中如.水工建筑物安全監控理論及其應用.北京：高等教育出版社，2001.

[2]王孝仁，王松桂編譯.實用多元統計分析[M].上海科學技術出版社，1990，195-264.

[3]徐培亮.大壩變形預測方法的擴展.測繪學報，1987，16（4）：280-290.

[4]RogerAH，CharlesRJ.楊奇譯.矩陣分析[M].北京：機械工業出版社，2005.

[5]何曉群，劉文卿.應用回歸分析.中國人民出版社.

[6]張正祿，汪宏晨.滑坡變形分析與預報的新方法[J].武漢大學學報-信息科學版，2009，34（12）：1387～1389.endprint

【摘 要】 本文主要介紹一元線性回歸分析的基本原理和方法，并結合實例分析。在建模過程中采用不同數量的檢測數據進行建模，得出用該模型預測變形的合理性，引入變量多的模型的預測的效果較好。

【關鍵詞】 回歸分析 沉降預測 模型

0 引言

隨著國內外病險壩的逐漸增多，要求實時或及時了解大壩的安全狀況，掌握變形規律。而預測大壩沉降的方法有多種，本文主要介紹了檢測統計模型中的一元線性回析歸分析方法，并且將其運用在大壩變形預測分析中。

1 一元線性回歸分析的基本原理和方法

我們可以用一條直線來表示x和y的關系，并借助最小二乘法，可得到一元線性回歸的回歸方程[5]：

=a+bx （1.1）

a，b又叫做回歸方程的回歸系數。

下面根據最小二乘法原則來確定a，b的取值。

對于每一個，由方程（1.1）可以確定一個回歸值=a+b。這個回歸值與實際觀測值之差-=-a-b，刻劃了與回歸直線=a+bx的偏離程度。對于所有的，若與的偏離程度越小，則直線和所有的試驗點擬合得：

（1.2）

由最小二乘法可知要使達到極小值，只要對上式分別對a，b求偏導，并令它們等于零，于是可以推導出a，b的值：

（1.3）

（1.4）

上式中和分別表示、的算術平均值，則式（1.3-1.4）可變為如下簡單的形式：

（1.5）

2 預報原理

如果回歸方程通過了統計檢驗，而且其擬合得比較好，那么就可以利用所求得的回歸方程對有關測量數據進行預報和控制。下面先討論預報問題。

對任一給定的，由回歸方程可得回歸值：

， （2.1）

是處的觀測值：

（2.2）

所謂預報，就是在一定的顯著水平下，尋找一個正數，使得實際觀測值以的概率落在區間（）內，即：

， （2.3）

其中

（2.4）

上式表明，利用回歸方程預報實際觀測值的偏差不僅與顯著水平有關，與N有關，而且與觀測點有關。

在沒有重復試驗的情況下，剩余平方和可以提供的無偏估計。

（2.5）

（2.6）

給出了的無偏估計。

在重復試驗的情況下，誤差平方和可以提供的無偏估計。

3 回歸模型的建立過程

一元線性回歸模型雖然簡單，但它的統計思想非常重要，所以我們有必要對一元線性回歸模型及應用方面作一些討論。

第一步，提出因變量與自變量。

第二步，搜集數據。

第三步，根據數據畫散點圖。

第四步，設定理論模型。

第五步，計算。

第六步，回歸診斷，分析計算結果。

第七步，模型的應用。當所建模型通過所有檢驗之后，就可結合實際問題進行應用。

4 應用實例分析

某拱壩，為雙曲薄拱壩，最大壩高68.7m，壩頂最小厚度2.5m，壩底厚度5m，壩頂長150m，河谷寬約90m，半徑28.2～59.65m，該壩與1952年開始觀測，1955年底前水庫一直未蓄水，僅有氣溫作用。其中位移為拱冠位移，氣溫是由距壩3km的某縣的氣象站所得。一共選取15期數據來進行分析。

1）用數據2～10期進行建模分析，圖1為1～10期數據散點圖，從位移的散點圖可以看出，位移與溫度呈線性關系，所以可以建立一元線性回歸模型進行分析，位移量為因變量，氣溫為自變量。

由以上理論分析計算得以下結果見表1。

從計算得結果表1可以看出，=-0.522，=1.8833，有效樣本容量n=9。y的標準差=2.70123。

從表2中可知，相關系數r=-0.993，單側檢驗顯著性sig≈0.000，說明y與x有顯著的線性相關，這與散點圖的直觀分析是一致的。

從表3中看到，決定系數r2=0.986，從相對水平上看，回歸方程能夠減少因變量y的98.6%的方差波動。回歸標準差=0.34651，從絕對水平上看，y的標準差從回歸前的2.70123減少到回歸后的0.34651。

從表4中看到，F=479.153，顯著性sig≈0.000，說明y對x的線性回歸高度顯著，這與相關系數的檢驗結果是一致的。

從表5中得到回歸方程為，回歸系數檢驗的t值=-21.890，顯著性sig≈0.000，與F檢驗和相關系數r的檢驗結果一直。另外常數項的置信度95%的區間估計為（1.437，1.984），系數的置信度95%的區間估計為（-0.367，-0.295）。

2）利用數據1-10進行回歸建模分析，同樣可得與模型1模的方式相同，計算得出結果相關系數r=-0.995，說明y與x有顯著的線性相關，與散點圖的直觀分析是一致的。在統計檢驗方面，決定系數r2=0.990，從相對水平上看，回歸方程能夠減少因變量y的99.0%的方差波動。回歸標準差=0.33265，從絕對水平上看，y的標準差從回歸前的3.11219減少到回歸后的0.33265。在方差分析方面，F=779.791，顯著性sig≈0.000，說明y對x的線性回歸高度顯著，這與相關系數的檢驗結果也是一致的。表8為模型系數計算表。

從表8中得到回歸方程為，回歸系數檢驗的t值=-27.925，顯著性sig≈0.000，與F檢驗和相關系數r的檢驗結果一直。另外常數項的置信度95%的區間估計為（1.476，1.976），系數的置信度95%的區間估計為（-0.364，-0.308）。用此模型對11～15期數據預測結果如下。

結果分析：在增加一個自變量的情況下所作出的預測更加穩定，精度也更高，從圖3中可以看出。另外，從兩模型的殘差比較圖4上看，模型2的殘差大部分要比模型1更小，從對兩個模型的回歸診斷上可以發現模型2的R為0.995大于模型1的0.993，模型2決定系數0.990也大于模型10.986，且模型2y的回歸后的標準差0.33265要小于模型1的0.34651，由此可見：模型2在增加了一個觀測數據的情況下所建立的回歸模型要比模型1更顯著，更優，這點從殘差比較圖中可以明顯看出。比較兩個模型的擬合圖如圖2，好像并不能看出哪個模型更優，甚至由兩個模型中實測值與模型對2～9期數據的擬合相對誤差表比較似乎更傾向于模型1比模型2更優，但是由后期兩個模型對11～15期數據的預測精度。

5 結語

綜上所述，回歸模型運用于大壩變形預測是可行的，并且選用自變量多的方式進行建模的預測結果優于少自變量建模預測的結果。筆者對多個大壩變形實例進行試驗，大多數可以得到比較理想的預測效果。

參考文獻：

[1]吳中如.水工建筑物安全監控理論及其應用.北京：高等教育出版社，2001.

[2]王孝仁，王松桂編譯.實用多元統計分析[M].上海科學技術出版社，1990，195-264.

[3]徐培亮.大壩變形預測方法的擴展.測繪學報，1987，16（4）：280-290.

[4]RogerAH，CharlesRJ.楊奇譯.矩陣分析[M].北京：機械工業出版社，2005.

[5]何曉群，劉文卿.應用回歸分析.中國人民出版社.

[6]張正祿，汪宏晨.滑坡變形分析與預報的新方法[J].武漢大學學報-信息科學版，2009，34（12）：1387～1389.endprint

【摘 要】 本文主要介紹一元線性回歸分析的基本原理和方法，并結合實例分析。在建模過程中采用不同數量的檢測數據進行建模，得出用該模型預測變形的合理性，引入變量多的模型的預測的效果較好。

【關鍵詞】 回歸分析 沉降預測 模型

0 引言

隨著國內外病險壩的逐漸增多，要求實時或及時了解大壩的安全狀況，掌握變形規律。而預測大壩沉降的方法有多種，本文主要介紹了檢測統計模型中的一元線性回析歸分析方法，并且將其運用在大壩變形預測分析中。

1 一元線性回歸分析的基本原理和方法

我們可以用一條直線來表示x和y的關系，并借助最小二乘法，可得到一元線性回歸的回歸方程[5]：

=a+bx （1.1）

a，b又叫做回歸方程的回歸系數。

下面根據最小二乘法原則來確定a，b的取值。

對于每一個，由方程（1.1）可以確定一個回歸值=a+b。這個回歸值與實際觀測值之差-=-a-b，刻劃了與回歸直線=a+bx的偏離程度。對于所有的，若與的偏離程度越小，則直線和所有的試驗點擬合得：

（1.2）

由最小二乘法可知要使達到極小值，只要對上式分別對a，b求偏導，并令它們等于零，于是可以推導出a，b的值：

（1.3）

（1.4）

上式中和分別表示、的算術平均值，則式（1.3-1.4）可變為如下簡單的形式：

（1.5）

2 預報原理

如果回歸方程通過了統計檢驗，而且其擬合得比較好，那么就可以利用所求得的回歸方程對有關測量數據進行預報和控制。下面先討論預報問題。

對任一給定的，由回歸方程可得回歸值：

， （2.1）

是處的觀測值：

（2.2）

所謂預報，就是在一定的顯著水平下，尋找一個正數，使得實際觀測值以的概率落在區間（）內，即：

， （2.3）

其中

（2.4）

上式表明，利用回歸方程預報實際觀測值的偏差不僅與顯著水平有關，與N有關，而且與觀測點有關。

在沒有重復試驗的情況下，剩余平方和可以提供的無偏估計。

（2.5）

（2.6）

給出了的無偏估計。

在重復試驗的情況下，誤差平方和可以提供的無偏估計。

3 回歸模型的建立過程

一元線性回歸模型雖然簡單，但它的統計思想非常重要，所以我們有必要對一元線性回歸模型及應用方面作一些討論。

第一步，提出因變量與自變量。

第二步，搜集數據。

第三步，根據數據畫散點圖。

第四步，設定理論模型。

第五步，計算。

第六步，回歸診斷，分析計算結果。

第七步，模型的應用。當所建模型通過所有檢驗之后，就可結合實際問題進行應用。

4 應用實例分析

某拱壩，為雙曲薄拱壩，最大壩高68.7m，壩頂最小厚度2.5m，壩底厚度5m，壩頂長150m，河谷寬約90m，半徑28.2～59.65m，該壩與1952年開始觀測，1955年底前水庫一直未蓄水，僅有氣溫作用。其中位移為拱冠位移，氣溫是由距壩3km的某縣的氣象站所得。一共選取15期數據來進行分析。

1）用數據2～10期進行建模分析，圖1為1～10期數據散點圖，從位移的散點圖可以看出，位移與溫度呈線性關系，所以可以建立一元線性回歸模型進行分析，位移量為因變量，氣溫為自變量。

由以上理論分析計算得以下結果見表1。

從計算得結果表1可以看出，=-0.522，=1.8833，有效樣本容量n=9。y的標準差=2.70123。

從表2中可知，相關系數r=-0.993，單側檢驗顯著性sig≈0.000，說明y與x有顯著的線性相關，這與散點圖的直觀分析是一致的。

從表3中看到，決定系數r2=0.986，從相對水平上看，回歸方程能夠減少因變量y的98.6%的方差波動。回歸標準差=0.34651，從絕對水平上看，y的標準差從回歸前的2.70123減少到回歸后的0.34651。

從表4中看到，F=479.153，顯著性sig≈0.000，說明y對x的線性回歸高度顯著，這與相關系數的檢驗結果是一致的。

從表5中得到回歸方程為，回歸系數檢驗的t值=-21.890，顯著性sig≈0.000，與F檢驗和相關系數r的檢驗結果一直。另外常數項的置信度95%的區間估計為（1.437，1.984），系數的置信度95%的區間估計為（-0.367，-0.295）。

2）利用數據1-10進行回歸建模分析，同樣可得與模型1模的方式相同，計算得出結果相關系數r=-0.995，說明y與x有顯著的線性相關，與散點圖的直觀分析是一致的。在統計檢驗方面，決定系數r2=0.990，從相對水平上看，回歸方程能夠減少因變量y的99.0%的方差波動。回歸標準差=0.33265，從絕對水平上看，y的標準差從回歸前的3.11219減少到回歸后的0.33265。在方差分析方面，F=779.791，顯著性sig≈0.000，說明y對x的線性回歸高度顯著，這與相關系數的檢驗結果也是一致的。表8為模型系數計算表。

從表8中得到回歸方程為，回歸系數檢驗的t值=-27.925，顯著性sig≈0.000，與F檢驗和相關系數r的檢驗結果一直。另外常數項的置信度95%的區間估計為（1.476，1.976），系數的置信度95%的區間估計為（-0.364，-0.308）。用此模型對11～15期數據預測結果如下。

結果分析：在增加一個自變量的情況下所作出的預測更加穩定，精度也更高，從圖3中可以看出。另外，從兩模型的殘差比較圖4上看，模型2的殘差大部分要比模型1更小，從對兩個模型的回歸診斷上可以發現模型2的R為0.995大于模型1的0.993，模型2決定系數0.990也大于模型10.986，且模型2y的回歸后的標準差0.33265要小于模型1的0.34651，由此可見：模型2在增加了一個觀測數據的情況下所建立的回歸模型要比模型1更顯著，更優，這點從殘差比較圖中可以明顯看出。比較兩個模型的擬合圖如圖2，好像并不能看出哪個模型更優，甚至由兩個模型中實測值與模型對2～9期數據的擬合相對誤差表比較似乎更傾向于模型1比模型2更優，但是由后期兩個模型對11～15期數據的預測精度。

5 結語

綜上所述，回歸模型運用于大壩變形預測是可行的，并且選用自變量多的方式進行建模的預測結果優于少自變量建模預測的結果。筆者對多個大壩變形實例進行試驗，大多數可以得到比較理想的預測效果。

參考文獻：

[1]吳中如.水工建筑物安全監控理論及其應用.北京：高等教育出版社，2001.

[2]王孝仁，王松桂編譯.實用多元統計分析[M].上海科學技術出版社，1990，195-264.

[3]徐培亮.大壩變形預測方法的擴展.測繪學報，1987，16（4）：280-290.

[4]RogerAH，CharlesRJ.楊奇譯.矩陣分析[M].北京：機械工業出版社，2005.

[5]何曉群，劉文卿.應用回歸分析.中國人民出版社.

[6]張正祿，汪宏晨.滑坡變形分析與預報的新方法[J].武漢大學學報-信息科學版，2009，34（12）：1387～1389.endprint