群體決策基數表示的一個充要條件

劉 冰，劉 鵬

(1.南京工業職業技術學院 文理學院，江蘇 南京 210023;2.東南大學 數學系，江蘇 南京 210096)

人們研究群體決策問題時，更多的是在序數意義下進行各種情況的討論，其中偏愛規則(或稱多數規則)［1，2］是群體決策中基本的決策規則。文［3］研究了該規則所滿足的充分和必要條件;文［4］、［5］研究了較多規則的擴展形式，文［6］、［7］、［8］探討了不同的集結規則;對于隨機情況下，文［9］提出群體隨機偏愛規則(映射)及隨機偏愛公理，并且建立了相應的不可能性定理;文［10］、［11］和［12］則各給出隨機偏愛群體決策的一些選優排序方法。

然而，現實生活中，更多的情況是由評委直接給出被評對象的分數或效用值，這涉及的是群體決策的基數表示形式。文獻［13-16］研究了福利經濟學中的貧困問題，給出其數值表示形式以及相應的公理。本文借鑒其研究方法，對于供選方案中個體具有多個屬性時的基數表示問題，給出一個效用集結函數，證明了該效用集結函數滿足文獻［14］、［17］、［18］中給出的六個公理，在其中幾個公理的組合下，可以證明效用集結函數恰能用我們所給出的形式表示，即為一個充分必要條件。最后我們提出在該效用集結函數下對方案集的群體排序算法。

1 問題表述

對于被評對象具有多個屬性時的選優排序問題，我們給出一個框架，并提出一個效用集結函數。

設X={x1，…，xs}(s≥2)是供選方案集，其中xi=(xi1，xi2，…，xin)∈Rn表示第 i組方案的 n 個屬性集，G={DM1，…，DMl}是決策群體，其中 DMr(r=1，…，l;l≥2)是第 r個決策個體。

定義 2.1［1］設 ur(xij)∈［0，1］(i=1，…，s;j=1，…，n;r=1，…，l)是 DMr關于 xij的效用函數值，Ur是 DMr關于 xi的效用函數，(ur(xi1)，ur(xi2)，…，ur(xin))(r=1，…，l;i=1，…，s)是效用函數值斷面，記Δ是效用函數值斷面集，則有Δ={(ur(xi1)，ur(xi2)，…，ur(xin))|i=1，…，s;r=1，…，l}。

定義 2.2設映射F:Δ→R+

為效用集結函數(其中R+是非負實數)。

下面我們給出F的一種具體表達形式，并進行相關闡述和證明。我們取

其中當 α =1時，有 F1(ur(xi1)，ur(xi2)，…，當α→0時，我們有下面引理:

引理1對所有的 U=(ur(xi1)，ur(xi2)，…，ur(xin))∈Δ 和任意的 α∈(0，1)，都有

2 基本知識

公理O［14］(單調性條件)映射F滿足單調性公理，如果對任意的 U =(ur(xi1)，ur(xi2)，…，ur(xin))∈ Δ 和 U'= (u'r(xi1)，u'r(xi2)，…，u'r(xin))∈Δ使得?j，ur(xij)≥u'r(xij)，并且?k，ur(xik)＞u'r(xik)，那么F(U)＞F(U')。

說明:由Fα的構造，易得其滿足單調性公理。

公理T［14］(傳遞性公理)映射F滿足傳遞性公理，如果對任意的 U=(ur(xi1)，ur(xi2)，…，ur(xin))∈Δ 和U'=(u'r(xi1)，u'r(xi2)，…，u'r(xin))∈Δ使得，ur(xik)=u'r(xik)?k≠i，jur(xii)≥u'r(xij)并且有u'r(ii)=ur(ii)+ε≤1和u'r(xij)=ur(xij)－ε≥0(ε ＞0)，那么F(U')＞ F(U)。

引理 2對所有的 U=(ur(xi1)，ur(xi2)，…，ur(xin))∈Δ和任意的α∈(0，1)，都有Fα滿足傳遞性公理。

上述證明中之所以取“＞”是因為ur(xii)≥u'r(xij)，ε ＞ 0，α ∈ (0，1)。

公理E［18］(公平性公理)映射F滿足公平性公理，如果對任意的U=(ur(xi1)，ur(xi2)，…，ur(xin))∈nu*，并且U≠U*，那么F(U)＞F(U')

引理3 如果映射F滿足傳遞性公理，那么其必滿足公平性公理。

證 設F是滿足傳遞性公理的映射，U=(ur(xi1)，ur(xi2)，…，ur(xin))和 U* =(u*，u*，…，u*)滿足公平性公理中的條件，即U，U* ∈Δ，U≠U*，且有

定義集合S?Δ使得

這里有 U'=(u'r(xi1)，u'r(xi2)，…，u'r(xin))，u'r(xik)=ur(xik)，?ur(xik)≠(U)，(U)，且u'r(ii)=(U)+ ε(ur(xii)=(U))，u'r(xij)=(U)－ ε(ur(xij)=(U))，由傳遞性公理，可以得到F(U)＞F(φ(U))。考慮無限序列{U1，U2，…}使得U1=U且有Ut+1=φ(Ut)?t＞1。必然存在某個使得?t≥，Ut=U*。因此 F(U1)＞F(Ut)?t＞1，從而有F(U)＞F(U*)。

引理4 任意的效用集結函數Fα，滿足公平性公理。

公理C［17］(一致性)映射F滿足一致性公理，如果對任意的 U=(ur(xi1)，ur(xi2)，…，ur(xin))∈Δ，使得ur(xi1)=ur(xi2)= … =ur(xin)=u，則有F(U)=u。

公理A［17］(匿名性)映射F滿足匿名性公理，如果對任意的 U=(ur(xi1)，ur(xi2)，…，ur(xin))∈Δ，對所有的排列變換 σ:{1，…，n}→ {1，…，n}，F(U)=F(ur(xiσ(1))，ur(xiσ(2))，…，ur(xiσ(n)))。

公理R(表示公理) 對于每個個體i，都存在一個函數vi:［0，1］→R+(R+表示正實數)，并且對每個n∈Z+(Z+表示正整數)，存在集結映射P:→R，使得對所有的效用函數值斷面 U=(ur(xi1)，ur(xi2)，…，ur(xin))(ur(xij)∈ ［0，1］)，F(U)=P(v1(ur(xi1))，v2(ur(xi2))，…，vn(ur(xin)))和

(1)［18］對每個 i，v是仿射的和減的。

(2)［17］P 滿足匿名性。即，對所有的 v=(v1，v2，…，vn)∈和排列 σ:{1，…，n}→ {1，…，n}，P(v1，v2，…，vn)=P(vσ(1)，vσ(2)，…，vσ(n))。

(3)［18］P 滿足標量獨立性。即，由 P(v1，v2，…，vn)≥ P(v'1，v'2，…，v'n)和(b1，b2，…，bn)∈，可知 P(b1v1，b2v2，…，bnvn) ≥ P(b1v'1，b2v'2，…，bnv'n)。

3 充要條件

現在，給出并證明:一個效用集結函數可以用(1)式來表示的充分必要條件。

定理 映射F滿足公理A，C，O和R當且僅當F可以用(1)式表出，即對任意的 U=(ur(xi1)，ur(xi2)，…，ur(xin))∈ Δ，有

其中 α ∈ (0，1)。

證 先證明充分性條件，由上述知識，公理A，C，O顯然成立。對于公理R，作代換，定義映射F如下:

可知(2)式滿足公理R。

再證明必要性條件，設映射F滿足公理A，C，O和R。由公理R，我們知道存在集結映射P使得，對任意的 U=(ur(xi1)，ur(xi2)，…，ur(xin))∈ Δ，

接下來分為四步來證明。

第一步:我們首先來證明P是元素乘積的變換，即

由公理R(ii)得

由公理R(iii)得

如果，那么就有P(v)=P(t)。因此，存在函數 ψ，使得

第二步:接著我們來證明P是元素乘積的負單調變換。也就是?ψ:R→［0，1］，使得x，y∈R，x ＞ y，則ψ(x)＞ ψ(y)。設 U=(ur(xi1)，ur(xi2)，…，ur(xin))∈Δ和U'=(u'r(xi1)，u'r(xi2)，…，u'r(xin))∈Δ，并且 ur(xi1)＞ u'r(xi1)，ur(xij)=u'r(xij)，?j∈ {2，3，…，n}。由公理O，F(U')＞ F(U)。由公理R，對每個i，vi是減函數，我們有

再利用公理R，可得

因此F(U')＞F(U)，從而ψ是減函數。由上述兩步可知存在減函數ψ使得

第 三 步: 考 慮 U =(ur(xi*)，ur(xi2)，…，ur(xin))∈ Δ，由公理 A，F(ur(xi*)，ur(xi2)，…，ur(xin))=F(ur(xi2)，ur(xi*)，…，ur(xin))。因此由

因為ψ是減函數，我們有

同理可得vj(ur(xij))=v1(ur(xij))vj(ur(xi*))v1(ur(xi*))，Vjj= 1，2，…，n。 因 此 ?(ur(xi1)，ur(xi2)，…，里從上可知，如果存在減函數ψ滿足(3)式，那么就存在減函數φ，使得 ?U=(ur(xi1)，ur(xi2)，…，ur(xin))∈ Δ，

為了簡單，我們用v(ur(xij))代替v1(ur(xij))則有

第四步:由公理 C，可知?u∈［0，1］，u=φ(v(ur(xij)n))。記 x=v(ur(xij)n)，則有 φ(x)=v－1()，由公理 R(i)，記 v(u)=A －Bu，B ＞0。因此 φ

利用(4)式有

因為v(1)=A－B＞0，所以A＞B，即α＜1，又可知α＞0。綜上可知，必要性得證。

4 群體排序算法

最后，我們給出群體排序方法。

算法一:

(1)由各決策個體給出各組n個成員的效用值ur(xij);

(4)根據總體效用值U(i)的大小，對s個方案進行排序，U(i)值越大，方案越好。

算法二:

(1)由各決策個體給出各組n個成員的效用值ur(xij);

(2)計算第r個決策者對第i組n個成員的總效用值

(4)根據總體效用值Fα(U(i))的大小，對s個方案進行排序，Fα(U(i))值越小，方案越好。

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