談解圓錐曲線的兩種方法

劉亞艷

借助坐標系研究幾何圖形的方法叫做坐標法.解析幾何就是用坐標法研究幾何圖形的知識，因此說，解析幾何是用代數方法研究幾何問題的一門數學學科.

平面解析幾何研究的主要問題是：

（1）根據已知條件，求出表示平面曲線的方程；

（2）通過方程，研究平面曲線的性質.

對解析幾何問題，要把“形”等價“翻譯”轉化為“數”，幾何問題代數化（也就是方程化），數形結合，這是解析幾何的靈魂.

一、曲線和方程

1.概念

在平面直角坐標系中，如果曲線C和二元方程f（x，y）=0有如下關系：

（1）曲線上的點的坐標都是這個方程的解；

（2）以這個方程的解為坐標的點都在曲線上.

那么，這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線.

曲線的方程是曲線的代數刻畫；方程的曲線是方程的幾何表示.“數”與“形”角度不同，但二者是“等價”的.

2.求曲線的方程

求曲線的方程，就是把曲線上點的運動規律用代數方程表示出來，也就是求動點M的坐標x，y之間的關系式，即方程，而不是求x，y.要知道，x，y不是要被消滅的，而恰是我們要保留的.這點尤要注意。求曲線方程的一般步驟如下：

（1）建立適當的坐標系，設出曲線上任意一點M的坐標；（例如設M（x，y））

（2）寫出適合條件p的M的集合P={M│p（M）}；

（3）用坐標表示p（M），列出方程f（x，y）=0；

（4）整理化簡方程f（x，y）=0為最簡形式；

（5）證明以化簡后的方程的解為坐標的點都在曲線上.

一般情況下，化簡前后的方程解集相同，步驟（5）可以省略，特殊情況，可適當予以說明.

二、求曲線方程的基本方法

主要有兩類基本方法：待定系數法和代入法.

1.待定系數法：根據已知條件，可以確定曲線類型和方程形式，只需確定方程中幾個參量（系數），便可求出曲線的方程，這類問題一般用待定系數法。設出曲線的方程，列出關于參量的方程組，求出參量，代入所設方程，整理即可.

這類問題，求方程變成了求參量，因為方程“什么樣”已經知道.

想一想，求直線的方程基本上都是待定系數法.

2.代入法：根據已知條件，無法判斷曲線類型和方程形式，這類問題一般用代入法.常用的代入法有：（1）直接代入；（2）相關點代入；（3）消參代入.

這說明Q點的軌跡是中心在原點，焦點在y軸上，長軸長為8、短軸長為4的橢圓，且除去短軸端點.

（作者單位 吉林省松原市長嶺縣第三中學）