解析幾何中的數(shù)學思想

李文生

解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)的方法研究幾何問題，解幾知識中，蘊含著深刻的數(shù)學思想，對解幾本質(zhì)的考查往往通過對其思想應用的考查得以體現(xiàn)。首先是由解幾本質(zhì)特征所決定的函數(shù)與方程思想，數(shù)形結(jié)合思想，其次是研究幾何問題常用到的化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法，分類與整合的思想方法，一般與特殊的思想方法等。

一、數(shù)形結(jié)合思想

解析幾何的基本思想就是數(shù)形結(jié)合，因為數(shù)與形是數(shù)學中最古老、最基本的研究對象，在解題中要善于將數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想運用于對圓錐曲線和平面幾何性質(zhì)以及相互關(guān)系的研究，即通過“以形輔數(shù)”“以數(shù)解形”“數(shù)形結(jié)合”將抽象的數(shù)學問題與直觀的幾何圖形相結(jié)合，從而達到優(yōu)化解題的途徑。

二、函數(shù)與方程的思想

函數(shù)思想與方程思想之間，相輔相成。函數(shù)問題與方程問題可以相互轉(zhuǎn)化解決、函數(shù)與方程之間的辯證關(guān)系形成了函數(shù)與方程思想，函數(shù)與方程思想就是用動靜結(jié)合，相互轉(zhuǎn)化的觀點看待問題，從而解決問題的一種思維方式，是很重要的數(shù)學思想。在解析幾何中應用函數(shù)思想就是用運動、變化、聯(lián)系的觀點，分析問題中的數(shù)量關(guān)系、構(gòu)造函數(shù)來解決問題。

評析：本題需通過方程的聯(lián)立，函數(shù)的構(gòu)造以及方程的解與函數(shù)零點的關(guān)系轉(zhuǎn)化問題。

解析幾何是一門以代數(shù)方法研究幾何問題的學科，主要涉及函數(shù)與方程等知識，因此是考查函數(shù)與方程思想的良好素材。所以，考生若能真正領(lǐng)會函數(shù)與方程思想，就能克服對解析幾何解答題的畏難情緒。

而解析幾何的題目都以方程形式給定直線和圓錐曲線，因此，把直線與圓錐曲線的相交問題利用韋達定理進行整體處理，以及直線方程思想的應用，都可以大大簡化解題過程。

三、化歸與轉(zhuǎn)化思想

數(shù)學對象的內(nèi)部或者不同的數(shù)學對象之間，往往會以某種形式相互聯(lián)系，在一定的條件下能夠相互轉(zhuǎn)化，針對面臨的數(shù)學問題，實施或轉(zhuǎn)化問題的條件，或轉(zhuǎn)化問題的結(jié)論或轉(zhuǎn)化問題的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，或轉(zhuǎn)化問題的外部表現(xiàn)形式等行動策略去解決有關(guān)的數(shù)學問題，能促進問題的解決，可以說，數(shù)學解題的過程就是不斷化歸與轉(zhuǎn)化的過程。

在解析幾何中主要是研究直線、圓、圓錐曲線這些圖形的位置關(guān)系及其幾何性質(zhì)。對于一時難以解決的問題，可運用轉(zhuǎn)化與化歸思想經(jīng)過觀察、分析、類比、聯(lián)想等思維過程，運用恰當?shù)臄?shù)學方法進行變換，將原問題化歸為一類已經(jīng)能解決或者比較容易解決的問題。

變與不變是一對辨證的矛盾，它們相互依存且可以在一定條件下相互轉(zhuǎn)化，要注意尋找數(shù)和形的不變量。如：方程的解、點的坐標、角的大小、線段的長度、定點、定值等，在解析幾何中，若有意識尋求蘊含其中的不變量或不變的性質(zhì)（如公其的對稱軸、公共的點、不變的斜率、不變的截距、不變的離心率等），便能認清問題的本質(zhì)，通過恒等轉(zhuǎn)化、合理化歸、便能實現(xiàn)將復雜問題化歸為簡單的問題。

總之，在數(shù)學學習中，若不研究數(shù)學思想的應用，所謂的解題方法就無基礎(chǔ)，解題的過程只不過是簡單的機械活動，而數(shù)學思想猶如一盞為船只指明航向的明燈，只要能自覺應用它指導解題，思路就能豁然開朗，解題自然就成為一種享受。

（作者單位 福建省連城縣第一中學）