淺談初中數(shù)學(xué)的思想方法教學(xué)

李潔

數(shù)學(xué)思想，就是在本質(zhì)上對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法產(chǎn)生的認(rèn)識(shí)，是一種理性認(rèn)識(shí)。所謂數(shù)學(xué)方法，是把數(shù)學(xué)問題進(jìn)行解決的策略，是數(shù)學(xué)思想的更深一步的體現(xiàn)。數(shù)學(xué)思想是思維，數(shù)學(xué)方法則是思維指導(dǎo)下的行動(dòng)。在運(yùn)用數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)方法解決問題的過程中，感性認(rèn)識(shí)會(huì)上升為理性認(rèn)識(shí)，產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)思想。若把數(shù)學(xué)理論看作一座宏偉的大廈，那么數(shù)學(xué)方法就是施工的材料和手段，而這張施工的設(shè)計(jì)圖紙就是數(shù)學(xué)思想。

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的主體和精髓，數(shù)學(xué)思想方法能將數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化成學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。進(jìn)行初中數(shù)學(xué)思想方法教育，為的是全面提高初中生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)觀念，形成良好數(shù)學(xué)素養(yǎng)的有效途徑。《義務(wù)教育初中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》中明確指出：“初中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)主要是初中代數(shù)、幾何中的概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理以及由其內(nèi)容所反映出來的數(shù)學(xué)思想和方法。”大綱把數(shù)學(xué)思想和方法視為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，是以前教學(xué)大綱中從來沒有的。新的課程標(biāo)準(zhǔn)突出強(qiáng)調(diào)：“在教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)好概念的基礎(chǔ)上掌握數(shù)學(xué)規(guī)律（包括法則、性質(zhì)、公式、公理、定理、數(shù)學(xué)思想和方法）。”因此，開展數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)應(yīng)作為新課程改革中的必要教學(xué)要求。重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)具有非常重要的意義。

現(xiàn)在的初中教材中，所滲透的數(shù)學(xué)思想方法大概可以分成三種：第一種是技巧型的，有消元、換元、降次、配方等，這種方法是通過一些操作過程才能實(shí)現(xiàn)的。第二種是推理型的，有分類、類比、抽象、概括、完全歸納、分析、綜合、演繹、特殊化方法、反證法等，這種方法需要運(yùn)用邏輯思維。第三種是觀察型的，包括用字母表示數(shù)、數(shù)形結(jié)合、歸納猜想、化歸、數(shù)學(xué)模型等，這類方法較多地需要運(yùn)用直觀形象思維，對(duì)于數(shù)學(xué)的發(fā)展起著非常重要的作用。

那么如何在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中滲透這些數(shù)學(xué)思想方法呢？下面我談四點(diǎn)通過自己親身的教學(xué)實(shí)踐產(chǎn)生的看法。

一、在揭示新知識(shí)的過程中滲透數(shù)學(xué)思想方法

由于初中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)比較少，把數(shù)學(xué)思想方法作為獨(dú)立的一部分知識(shí)這是不現(xiàn)實(shí)的。教師應(yīng)該在教學(xué)過程中把數(shù)學(xué)知識(shí)看作載體，在關(guān)鍵的時(shí)刻進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的滲透。教師要把握好滲透的關(guān)鍵時(shí)機(jī)，重視數(shù)學(xué)新內(nèi)容的提出過程，知識(shí)的形成和發(fā)展過程，解決問題和規(guī)律的掌握過程，使學(xué)生在這些過程中運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法去解決問題。不重視這些過程，一味地灌輸，就會(huì)失去滲透數(shù)學(xué)思想方法的一次次重要時(shí)機(jī)。比如，在蘇科版數(shù)學(xué)八年級(jí)教材中，將平方根知識(shí)轉(zhuǎn)移到勾股定理之后，這樣在教學(xué)過程中就比較巧妙地滲透了數(shù)形結(jié)合的思想。平方根的知識(shí)本來比較抽象和枯燥，但是這樣的教材內(nèi)容安排就抓住了契機(jī)。

在滲透數(shù)學(xué)思想方法的過程中，教師要認(rèn)真設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)、有效結(jié)合相關(guān)內(nèi)容，有意識(shí)地、恰當(dāng)?shù)貙?duì)數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行滲透，千萬不能生搬硬套，全盤托出，做出脫離實(shí)際等錯(cuò)誤做法。思想方法不可以脫離知識(shí)和技能。空談思想方法，學(xué)生感覺空洞無味，無法運(yùn)用，思想方法只有通過具體的知識(shí)、技能才可呈現(xiàn)。蘇科版數(shù)學(xué)八年級(jí)教材中，平方根和勾股定理次序的交換就是一種合理的滲透。對(duì)于勾股定理，平方根知識(shí)就變成解決問題的一種思想方法，讓學(xué)生體會(huì)學(xué)以致用。

二、讓學(xué)生學(xué)會(huì)在分析過程中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法

在解決數(shù)學(xué)問題之前進(jìn)行分析，對(duì)于領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法能起非常大的作用。在教學(xué)過程中要教會(huì)學(xué)生如何去分析問題，在分析問題的過程中發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)思想方法，這種分析出的數(shù)學(xué)思想方法學(xué)生將終身難忘。例如，在教授使用加減消元法解二元一次方程組的過程中，可以讓學(xué)生進(jìn)行這樣的分析：前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了代入消元法，可以向?qū)W生提問：這種方法的作用是什么？相信很多學(xué)生會(huì)回答，是消去一個(gè)未知數(shù)。那么教師可以給出一個(gè)二元一次方程組，一個(gè)方程中未知數(shù)x前的系數(shù)是3，另一個(gè)方程中未知數(shù)x前的系數(shù)是-3，提問：如何消去這個(gè)方程組中的未知數(shù)x呢？學(xué)生這時(shí)就會(huì)分析得出：因?yàn)?x和-3x互為相反數(shù)，而互為相反數(shù)之和等于零，所以只要運(yùn)用等式性質(zhì)將這兩個(gè)方程的左右兩邊各自相加，就可以消去未知數(shù)x，達(dá)到消元的目的。這樣分析就把消元的思想介紹得非常清楚，學(xué)生學(xué)會(huì)了分析的方法，養(yǎng)成了分析的習(xí)慣，便可以在分析中真正領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想方法。這樣的學(xué)習(xí)是真正主動(dòng)的學(xué)習(xí)。

三、運(yùn)用多媒體滲透形象化的數(shù)學(xué)思想方法

多媒體技術(shù)在現(xiàn)代課堂上的利用已經(jīng)越來越廣泛，現(xiàn)代教育技術(shù)資源的充分開發(fā)，綜合利用各種有益而豐富的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資源，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)越來越形象化。教師應(yīng)該加強(qiáng)熟練多媒體操作技能，學(xué)會(huì)利用各種媒體工具，發(fā)揮多媒體優(yōu)勢(shì)，取得最優(yōu)化的教學(xué)效果，使數(shù)學(xué)思想、方法借助于知識(shí)、技能的載體更加形象化地出示在學(xué)生面前。比如，在教授《直線和圓的位置關(guān)系》以及《圓和圓的位置關(guān)系》時(shí)，運(yùn)用多媒體動(dòng)畫的演示，能讓學(xué)生直觀地發(fā)現(xiàn)半徑和圓心距的大小跟圖形位置的聯(lián)系。

四、在重視分層教學(xué)的原則下滲透數(shù)學(xué)思想方法

首先要在教學(xué)中鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑。任何探索沖動(dòng)都來自疑惑問題的刺激，學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)問題、提出問題是培養(yǎng)創(chuàng)新技能的第一步。使學(xué)生明白：有價(jià)值的問題遠(yuǎn)比解決問題更有意義的道理。因?yàn)橹挥邪l(fā)現(xiàn)了問題，才有可能將問題解決。而解決問題的方法首先是猜想，然后舉例求證，并可從不同的角度去驗(yàn)證，從中獲得創(chuàng)新成功的體驗(yàn)。民主和諧的教學(xué)氛圍是學(xué)生敢想敢說的催化劑，學(xué)生的創(chuàng)新思維必然引發(fā)教師的即時(shí)思維，有的還能促進(jìn)新的教學(xué)生成。我們否定“滿堂灌”，必須將封閉的課堂變成開放的課堂，師生之間可以開誠(chéng)布公地交換看法，大家可以在平等、民主、和諧、寬松的氛圍中學(xué)習(xí)。只有這樣才有可能讓課堂變成師生思維暴露的場(chǎng)所，讓學(xué)生體會(huì)到教師思維的過程，而教師的思維也會(huì)被學(xué)生的思維所激發(fā)，并作用于學(xué)生的思維。可以肯定地說：沒有思維含量的師生互動(dòng)是形式上的互動(dòng)，是假互動(dòng)。那種簡(jiǎn)單的“是”與“不是”的互動(dòng)應(yīng)該盡量少用。鼓勵(lì)猜想、鼓勵(lì)探索，注重追求思維的過程而不盲從于結(jié)論結(jié)果。

我曾做過這樣一個(gè)教學(xué)實(shí)驗(yàn)：在補(bǔ)充正比例函數(shù)的教學(xué)中，先討論了在函數(shù)y=2x中，y隨著x的增大而增大；在函數(shù)y=-2x中，y隨著x的增大而減小。

師：當(dāng)k取何值時(shí)，y隨著x的增大而增大；k取何值時(shí)，y隨著x的增大而減小？

生1：當(dāng)k>1時(shí)，y隨著x的增大而增大。

生2：當(dāng)k>0時(shí)，y隨著x的增大而增大。

師：哪位同學(xué)的回答更合理，為什么？

生眾：第2位同學(xué)的更合理。

師：為什么？

生：一時(shí)語塞。

師：提示在幾何證明題里，若要否定一個(gè)命題，應(yīng)該用什么方法？

生4：（非常積極）：舉一個(gè)反例。如k=0.5，所以應(yīng)該是當(dāng)k>0時(shí)，y隨著x的增大而增大……再得出結(jié)論：當(dāng)k>0時(shí)，k越大，y隨x的變化就越快；當(dāng)k<0時(shí)，k越小，y隨x的變化也就越快。

師：能否用一句話概括出這兩層意思呢？

生5（迅速地）：當(dāng)k的平方越大，y隨x的變化就越快。

生6：當(dāng)k的絕對(duì)值越大，y隨x的變化就越快。

生7：當(dāng)k≠0時(shí)，k的平方越大，y隨x的變化就越快。

師：為什么k要求≠0呢？

生7：因?yàn)楫?dāng)k=0時(shí)，y始終為0。

師：非常棒。三位同學(xué)的回答都很好。用平方和絕對(duì)值都可以。只是平方計(jì)算稍微復(fù)雜一些，人們一般用絕對(duì)值來度量。

不會(huì)猜想與探索，就不會(huì)有實(shí)踐與創(chuàng)新；不敢反駁，就不會(huì)有“新人輩出”。我們既要充分肯定數(shù)學(xué)思想方法在創(chuàng)新思維培養(yǎng)中的作用，又要看到猜想反駁在數(shù)學(xué)教學(xué)中的難以培養(yǎng)的艱巨性。

數(shù)學(xué)思想方法的形成應(yīng)是一種階梯式的，從一般到特殊，從感性到理性的上升過程。在教學(xué)的時(shí)候，要弄清楚不同的數(shù)學(xué)思想方法在不同的教學(xué)階段的不同要求，在某一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)滲透某一種數(shù)學(xué)思想方法時(shí)要把握好尺度和分寸，分層次進(jìn)行教學(xué)。數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)知識(shí)一樣，它的教學(xué)要求可劃分為三個(gè)階段：了解、理解和掌握。“了解”只要求學(xué)生明確思想方法是什么，認(rèn)識(shí)是認(rèn)知的感性階段。“理解”要求學(xué)生在這個(gè)基礎(chǔ)上學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，它是認(rèn)知的理性階段。“掌握”則要求學(xué)生會(huì)合理地選用方法。比如，數(shù)形結(jié)合思想方法的滲透，在七年級(jí)講數(shù)軸時(shí)，學(xué)生能借助數(shù)軸比較有理數(shù)的大小，八年級(jí)講到不等式組的解法時(shí)，學(xué)生能通過數(shù)軸來找不等式組的解集。這個(gè)時(shí)候，學(xué)生已經(jīng)能通過數(shù)軸的形象來解決數(shù)學(xué)問題。在七年級(jí)下學(xué)習(xí)乘法公式時(shí)，可以借助拼圖來導(dǎo)出乘法公式，讓學(xué)生初步體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想方法的作用。到了初三學(xué)習(xí)函數(shù)的知識(shí)時(shí)，在教師的精心指導(dǎo)下，通過反復(fù)畫圖，結(jié)合函數(shù)圖像求解析式，這時(shí)大多數(shù)學(xué)生都能逐步形成數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，因?yàn)楹瘮?shù)這部分內(nèi)容很多題目求解都要求學(xué)生主動(dòng)畫出函數(shù)圖像，主動(dòng)畫圖解題的數(shù)形結(jié)合思想在學(xué)生解題過程中屢次出現(xiàn)。此時(shí)教學(xué)時(shí)不僅要求學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合具有簡(jiǎn)化、轉(zhuǎn)化和溝通的作用，還要要求他們合理地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想。

當(dāng)然，要使學(xué)生真正地去掌握更多的數(shù)學(xué)思想方法，并不是通過幾堂課，或者就單單做到上述所談的四點(diǎn)就能達(dá)到，只要我們?cè)诮虒W(xué)中大膽實(shí)踐，積極鉆研，大膽創(chuàng)新，我們一定能更好地在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)教學(xué)的根本目的是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，這就要求我們廣大的教師在知識(shí)的傳道授業(yè)解惑過程中，通過知識(shí)的傳授、數(shù)學(xué)思想方法的滲透與應(yīng)用來開發(fā)學(xué)生的智力，培養(yǎng)他們大膽創(chuàng)新的能力，而這正是目前所進(jìn)行的創(chuàng)新教育所要求的。教學(xué)實(shí)踐證明，加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)對(duì)于提高教學(xué)質(zhì)量具有重大而深遠(yuǎn)的意義。

（作者單位 浙江師范大學(xué) 江蘇省無錫市東林中學(xué)）