由課本上的一道例題所引出的變式訓練

劉學軍

摘 要：數學課堂的關鍵是要揭示數學思維活動的全過程，正確、巧妙地使用變式訓練，對于拓寬學生思維視野，激發學習興趣，提高數學能力是非常有效的教學策略。特別是一些典型例題的教學，用好變式訓練，對于那些重要的數學概念、定理等的理解和應用可以收到事半功倍的效果。

關鍵詞：課本；例題；變式

變式訓練是課堂教學中最常見的一種訓練方法，教師只要善于挖掘，就會發現課本上的很多問題，包括例題和習題都可以進行變式，這對于強化和鞏固所學知識點常常會收到較好的效果。九年級數學上冊《證明（三）》一章就有一道這樣的例題，稍加拓展就能成為一道很好的變式訓練題。

原題是：如圖（圖略），任意作一四邊形，并將其四邊的中點依次連接起來，得到一個新的四邊形，這個新四邊形的形狀有什么特征？并證明你的結論。該題是出現在三角形中位線性質定理之后的，所以只要老師稍加分析，中等以上水平的學生很快就會得到結論是平行四邊形。當然，分析后教師要求學生很快寫出證明過程，并加以講評。這時，教師要注意把握好時機，趁熱打鐵乘勢提出下面的問題：該題已知的是什么四邊形？是用什么方法得到平行四邊形的？那么，如果把任意四邊形換成平行四邊形，結果怎樣呢？（變式1）問題提出后，由于學生有前一題的經驗，順著這一思路，同桌相互討論，很快就會得出結論，仍是平行四邊形，其證明思路與前一題完全相同。

接著，進行下一輪變式，如果改成矩形，結果怎樣？（變式2）啟發學生思考，矩形一個重要特征是兩條對角線相等，所以得到的平行四邊形鄰邊一定相等，那么一組鄰邊相等的平行四邊形是什么特殊的四邊形呢？是菱形。

變式3，如果將任意四邊形改成菱形呢？這一問題有點難度，要充分考慮菱形的特征。菱形的對角線互相垂直，但不相等，所以順次連接各邊中點所得四邊形的四邊不可能相等，考慮菱形兩條對角線互相垂直，所以得到的平行四邊形有一個角一定是直角，故結果一定是矩形。這樣的分析學生一定會豁然開朗，對矩形、菱形的特征有了進一步的理解。

變式4，如果將任意四邊形換成正方形呢？正方形是最特殊的平行四邊形，具有平行四邊形、矩形、菱形的所有特征，所以如果順次連接各邊中點所得四邊形一定也很特殊，可以這樣去思考：正方形對角線相等，所得四邊形四邊一定相等，是菱形；正方形對角線互相垂直，所得四邊形定是矩形，故綜合起來一定是正方形。分析到這里，學生對平行四邊形有關定理一定有了全面的理解，特別對有關性質和判定方法一定會有一個全新的認識，從而激起學生對數學的興趣，會覺得數學真是神奇，看似一道簡單的題竟會變成這么多！正當學生驚訝于數學神奇時，教師又適時提出下面的變式，將他們的精力又帶入另一輪研究之中。

變式5，將任意四邊形改成等腰梯形，情況又怎樣呢？這里同樣提醒學生注意其對角線特征，等腰梯形的對角線相等，故所得四邊形的四邊一定相等，有了前面的分析所得，學生會很快得出結論，是菱形。

上面的變式訓練后，學生對這方面的知識有了基本的理解，教師要及時引導學生進行必要的歸納和總結，讓所學知識進一步升華到一定理論層面。可以設計下面的問題請學生思考：剛進行的變式訓練中，已知四邊形有哪些形狀？結果都有哪幾種？結論與已知之間有什么關系？學生如果回答有困難，教師不要急于告知，可以讓學生之間相互討論，注意觀察他們的表現，特別要注意傾聽他們的意見，然后再做必要的點撥。最后引導得出：順次連接四邊形各邊中點所得四邊形是什么形狀，關鍵是看已知四邊形對角線具有什么特征，大體可分四種情況：（1）當對角線不相等不垂直時，那么所得四邊形一定是平行四邊形；（2）當對角線相等但不垂直時，那么所得四邊形一定是菱形；（3）當對角線垂直但不相等時，所得四邊形一定是矩形；（4）當對角線垂直且相等時，那么所得四邊形一定是正方形。至此，本節課的變式訓練就達到了預定目的，相信大多數學生有了上面的變式訓練，對平行四邊形這一部分知識一定有了更深刻的理解。事實上，這節課的變式訓練就是對平行四邊形相關知識的一個全面復習。由此可見，變式訓練用好了可以起到事半功倍的效果。

（作者單位 陜西省西鄉縣柳樹鎮民族學校）endprint