解析幾何中的數(shù)學(xué)思想

李文生

解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)的方法研究幾何問(wèn)題，解幾知識(shí)中，蘊(yùn)含著深刻的數(shù)學(xué)思想，對(duì)解幾本質(zhì)的考查往往通過(guò)對(duì)其思想應(yīng)用的考查得以體現(xiàn)。首先是由解幾本質(zhì)特征所決定的函數(shù)與方程思想，數(shù)形結(jié)合思想，其次是研究幾何問(wèn)題常用到的化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法，分類(lèi)與整合的思想方法，一般與特殊的思想方法等。

一、數(shù)形結(jié)合思想

解析幾何的基本思想就是數(shù)形結(jié)合，因?yàn)閿?shù)與形是數(shù)學(xué)中最古老、最基本的研究對(duì)象，在解題中要善于將數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想運(yùn)用于對(duì)圓錐曲線和平面幾何性質(zhì)以及相互關(guān)系的研究，即通過(guò)“以形輔數(shù)”“以數(shù)解形”“數(shù)形結(jié)合”將抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題與直觀的幾何圖形相結(jié)合，從而達(dá)到優(yōu)化解題的途徑。

二、函數(shù)與方程的思想

函數(shù)思想與方程思想之間，相輔相成。函數(shù)問(wèn)題與方程問(wèn)題可以相互轉(zhuǎn)化解決、函數(shù)與方程之間的辯證關(guān)系形成了函數(shù)與方程思想，函數(shù)與方程思想就是用動(dòng)靜結(jié)合，相互轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)看待問(wèn)題，從而解決問(wèn)題的一種思維方式，是很重要的數(shù)學(xué)思想。在解析幾何中應(yīng)用函數(shù)思想就是用運(yùn)動(dòng)、變化、聯(lián)系的觀點(diǎn)，分析問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系、構(gòu)造函數(shù)來(lái)解決問(wèn)題。

評(píng)析：本題需通過(guò)方程的聯(lián)立，函數(shù)的構(gòu)造以及方程的解與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系轉(zhuǎn)化問(wèn)題。

解析幾何是一門(mén)以代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題的學(xué)科，主要涉及函數(shù)與方程等知識(shí)，因此是考查函數(shù)與方程思想的良好素材。所以，考生若能真正領(lǐng)會(huì)函數(shù)與方程思想，就能克服對(duì)解析幾何解答題的畏難情緒。

而解析幾何的題目都以方程形式給定直線和圓錐曲線，因此，把直線與圓錐曲線的相交問(wèn)題利用韋達(dá)定理進(jìn)行整體處理，以及直線方程思想的應(yīng)用，都可以大大簡(jiǎn)化解題過(guò)程。

三、化歸與轉(zhuǎn)化思想

數(shù)學(xué)對(duì)象的內(nèi)部或者不同的數(shù)學(xué)對(duì)象之間，往往會(huì)以某種形式相互聯(lián)系，在一定的條件下能夠相互轉(zhuǎn)化，針對(duì)面臨的數(shù)學(xué)問(wèn)題，實(shí)施或轉(zhuǎn)化問(wèn)題的條件，或轉(zhuǎn)化問(wèn)題的結(jié)論或轉(zhuǎn)化問(wèn)題的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，或轉(zhuǎn)化問(wèn)題的外部表現(xiàn)形式等行動(dòng)策略去解決有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，能促進(jìn)問(wèn)題的解決，可以說(shuō)，數(shù)學(xué)解題的過(guò)程就是不斷化歸與轉(zhuǎn)化的過(guò)程。

在解析幾何中主要是研究直線、圓、圓錐曲線這些圖形的位置關(guān)系及其幾何性質(zhì)。對(duì)于一時(shí)難以解決的問(wèn)題，可運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想經(jīng)過(guò)觀察、分析、類(lèi)比、聯(lián)想等思維過(guò)程，運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法進(jìn)行變換，將原問(wèn)題化歸為一類(lèi)已經(jīng)能解決或者比較容易解決的問(wèn)題。

變與不變是一對(duì)辨證的矛盾，它們相互依存且可以在一定條件下相互轉(zhuǎn)化，要注意尋找數(shù)和形的不變量。如：方程的解、點(diǎn)的坐標(biāo)、角的大小、線段的長(zhǎng)度、定點(diǎn)、定值等，在解析幾何中，若有意識(shí)尋求蘊(yùn)含其中的不變量或不變的性質(zhì)（如公其的對(duì)稱(chēng)軸、公共的點(diǎn)、不變的斜率、不變的截距、不變的離心率等），便能認(rèn)清問(wèn)題的本質(zhì)，通過(guò)恒等轉(zhuǎn)化、合理化歸、便能實(shí)現(xiàn)將復(fù)雜問(wèn)題化歸為簡(jiǎn)單的問(wèn)題。

總之，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，若不研究數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，所謂的解題方法就無(wú)基礎(chǔ)，解題的過(guò)程只不過(guò)是簡(jiǎn)單的機(jī)械活動(dòng)，而數(shù)學(xué)思想猶如一盞為船只指明航向的明燈，只要能自覺(jué)應(yīng)用它指導(dǎo)解題，思路就能豁然開(kāi)朗，解題自然就成為一種享受。

（作者單位 福建省連城縣第一中學(xué)）endprint

解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)的方法研究幾何問(wèn)題，解幾知識(shí)中，蘊(yùn)含著深刻的數(shù)學(xué)思想，對(duì)解幾本質(zhì)的考查往往通過(guò)對(duì)其思想應(yīng)用的考查得以體現(xiàn)。首先是由解幾本質(zhì)特征所決定的函數(shù)與方程思想，數(shù)形結(jié)合思想，其次是研究幾何問(wèn)題常用到的化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法，分類(lèi)與整合的思想方法，一般與特殊的思想方法等。

一、數(shù)形結(jié)合思想

解析幾何的基本思想就是數(shù)形結(jié)合，因?yàn)閿?shù)與形是數(shù)學(xué)中最古老、最基本的研究對(duì)象，在解題中要善于將數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想運(yùn)用于對(duì)圓錐曲線和平面幾何性質(zhì)以及相互關(guān)系的研究，即通過(guò)“以形輔數(shù)”“以數(shù)解形”“數(shù)形結(jié)合”將抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題與直觀的幾何圖形相結(jié)合，從而達(dá)到優(yōu)化解題的途徑。

二、函數(shù)與方程的思想

函數(shù)思想與方程思想之間，相輔相成。函數(shù)問(wèn)題與方程問(wèn)題可以相互轉(zhuǎn)化解決、函數(shù)與方程之間的辯證關(guān)系形成了函數(shù)與方程思想，函數(shù)與方程思想就是用動(dòng)靜結(jié)合，相互轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)看待問(wèn)題，從而解決問(wèn)題的一種思維方式，是很重要的數(shù)學(xué)思想。在解析幾何中應(yīng)用函數(shù)思想就是用運(yùn)動(dòng)、變化、聯(lián)系的觀點(diǎn)，分析問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系、構(gòu)造函數(shù)來(lái)解決問(wèn)題。

評(píng)析：本題需通過(guò)方程的聯(lián)立，函數(shù)的構(gòu)造以及方程的解與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系轉(zhuǎn)化問(wèn)題。

解析幾何是一門(mén)以代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題的學(xué)科，主要涉及函數(shù)與方程等知識(shí)，因此是考查函數(shù)與方程思想的良好素材。所以，考生若能真正領(lǐng)會(huì)函數(shù)與方程思想，就能克服對(duì)解析幾何解答題的畏難情緒。

而解析幾何的題目都以方程形式給定直線和圓錐曲線，因此，把直線與圓錐曲線的相交問(wèn)題利用韋達(dá)定理進(jìn)行整體處理，以及直線方程思想的應(yīng)用，都可以大大簡(jiǎn)化解題過(guò)程。

三、化歸與轉(zhuǎn)化思想

數(shù)學(xué)對(duì)象的內(nèi)部或者不同的數(shù)學(xué)對(duì)象之間，往往會(huì)以某種形式相互聯(lián)系，在一定的條件下能夠相互轉(zhuǎn)化，針對(duì)面臨的數(shù)學(xué)問(wèn)題，實(shí)施或轉(zhuǎn)化問(wèn)題的條件，或轉(zhuǎn)化問(wèn)題的結(jié)論或轉(zhuǎn)化問(wèn)題的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，或轉(zhuǎn)化問(wèn)題的外部表現(xiàn)形式等行動(dòng)策略去解決有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，能促進(jìn)問(wèn)題的解決，可以說(shuō)，數(shù)學(xué)解題的過(guò)程就是不斷化歸與轉(zhuǎn)化的過(guò)程。

在解析幾何中主要是研究直線、圓、圓錐曲線這些圖形的位置關(guān)系及其幾何性質(zhì)。對(duì)于一時(shí)難以解決的問(wèn)題，可運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想經(jīng)過(guò)觀察、分析、類(lèi)比、聯(lián)想等思維過(guò)程，運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法進(jìn)行變換，將原問(wèn)題化歸為一類(lèi)已經(jīng)能解決或者比較容易解決的問(wèn)題。

變與不變是一對(duì)辨證的矛盾，它們相互依存且可以在一定條件下相互轉(zhuǎn)化，要注意尋找數(shù)和形的不變量。如：方程的解、點(diǎn)的坐標(biāo)、角的大小、線段的長(zhǎng)度、定點(diǎn)、定值等，在解析幾何中，若有意識(shí)尋求蘊(yùn)含其中的不變量或不變的性質(zhì)（如公其的對(duì)稱(chēng)軸、公共的點(diǎn)、不變的斜率、不變的截距、不變的離心率等），便能認(rèn)清問(wèn)題的本質(zhì)，通過(guò)恒等轉(zhuǎn)化、合理化歸、便能實(shí)現(xiàn)將復(fù)雜問(wèn)題化歸為簡(jiǎn)單的問(wèn)題。

總之，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，若不研究數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，所謂的解題方法就無(wú)基礎(chǔ)，解題的過(guò)程只不過(guò)是簡(jiǎn)單的機(jī)械活動(dòng)，而數(shù)學(xué)思想猶如一盞為船只指明航向的明燈，只要能自覺(jué)應(yīng)用它指導(dǎo)解題，思路就能豁然開(kāi)朗，解題自然就成為一種享受。

（作者單位 福建省連城縣第一中學(xué)）endprint

解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)的方法研究幾何問(wèn)題，解幾知識(shí)中，蘊(yùn)含著深刻的數(shù)學(xué)思想，對(duì)解幾本質(zhì)的考查往往通過(guò)對(duì)其思想應(yīng)用的考查得以體現(xiàn)。首先是由解幾本質(zhì)特征所決定的函數(shù)與方程思想，數(shù)形結(jié)合思想，其次是研究幾何問(wèn)題常用到的化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法，分類(lèi)與整合的思想方法，一般與特殊的思想方法等。

一、數(shù)形結(jié)合思想

解析幾何的基本思想就是數(shù)形結(jié)合，因?yàn)閿?shù)與形是數(shù)學(xué)中最古老、最基本的研究對(duì)象，在解題中要善于將數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想運(yùn)用于對(duì)圓錐曲線和平面幾何性質(zhì)以及相互關(guān)系的研究，即通過(guò)“以形輔數(shù)”“以數(shù)解形”“數(shù)形結(jié)合”將抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題與直觀的幾何圖形相結(jié)合，從而達(dá)到優(yōu)化解題的途徑。

二、函數(shù)與方程的思想

函數(shù)思想與方程思想之間，相輔相成。函數(shù)問(wèn)題與方程問(wèn)題可以相互轉(zhuǎn)化解決、函數(shù)與方程之間的辯證關(guān)系形成了函數(shù)與方程思想，函數(shù)與方程思想就是用動(dòng)靜結(jié)合，相互轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)看待問(wèn)題，從而解決問(wèn)題的一種思維方式，是很重要的數(shù)學(xué)思想。在解析幾何中應(yīng)用函數(shù)思想就是用運(yùn)動(dòng)、變化、聯(lián)系的觀點(diǎn)，分析問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系、構(gòu)造函數(shù)來(lái)解決問(wèn)題。

評(píng)析：本題需通過(guò)方程的聯(lián)立，函數(shù)的構(gòu)造以及方程的解與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系轉(zhuǎn)化問(wèn)題。

解析幾何是一門(mén)以代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題的學(xué)科，主要涉及函數(shù)與方程等知識(shí)，因此是考查函數(shù)與方程思想的良好素材。所以，考生若能真正領(lǐng)會(huì)函數(shù)與方程思想，就能克服對(duì)解析幾何解答題的畏難情緒。

而解析幾何的題目都以方程形式給定直線和圓錐曲線，因此，把直線與圓錐曲線的相交問(wèn)題利用韋達(dá)定理進(jìn)行整體處理，以及直線方程思想的應(yīng)用，都可以大大簡(jiǎn)化解題過(guò)程。

三、化歸與轉(zhuǎn)化思想

數(shù)學(xué)對(duì)象的內(nèi)部或者不同的數(shù)學(xué)對(duì)象之間，往往會(huì)以某種形式相互聯(lián)系，在一定的條件下能夠相互轉(zhuǎn)化，針對(duì)面臨的數(shù)學(xué)問(wèn)題，實(shí)施或轉(zhuǎn)化問(wèn)題的條件，或轉(zhuǎn)化問(wèn)題的結(jié)論或轉(zhuǎn)化問(wèn)題的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，或轉(zhuǎn)化問(wèn)題的外部表現(xiàn)形式等行動(dòng)策略去解決有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，能促進(jìn)問(wèn)題的解決，可以說(shuō)，數(shù)學(xué)解題的過(guò)程就是不斷化歸與轉(zhuǎn)化的過(guò)程。

在解析幾何中主要是研究直線、圓、圓錐曲線這些圖形的位置關(guān)系及其幾何性質(zhì)。對(duì)于一時(shí)難以解決的問(wèn)題，可運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想經(jīng)過(guò)觀察、分析、類(lèi)比、聯(lián)想等思維過(guò)程，運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法進(jìn)行變換，將原問(wèn)題化歸為一類(lèi)已經(jīng)能解決或者比較容易解決的問(wèn)題。

變與不變是一對(duì)辨證的矛盾，它們相互依存且可以在一定條件下相互轉(zhuǎn)化，要注意尋找數(shù)和形的不變量。如：方程的解、點(diǎn)的坐標(biāo)、角的大小、線段的長(zhǎng)度、定點(diǎn)、定值等，在解析幾何中，若有意識(shí)尋求蘊(yùn)含其中的不變量或不變的性質(zhì)（如公其的對(duì)稱(chēng)軸、公共的點(diǎn)、不變的斜率、不變的截距、不變的離心率等），便能認(rèn)清問(wèn)題的本質(zhì)，通過(guò)恒等轉(zhuǎn)化、合理化歸、便能實(shí)現(xiàn)將復(fù)雜問(wèn)題化歸為簡(jiǎn)單的問(wèn)題。

總之，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，若不研究數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，所謂的解題方法就無(wú)基礎(chǔ)，解題的過(guò)程只不過(guò)是簡(jiǎn)單的機(jī)械活動(dòng)，而數(shù)學(xué)思想猶如一盞為船只指明航向的明燈，只要能自覺(jué)應(yīng)用它指導(dǎo)解題，思路就能豁然開(kāi)朗，解題自然就成為一種享受。

（作者單位 福建省連城縣第一中學(xué)）endprint