巧用遷移思想，解決高代難題

何守元

摘 要： 本文從三個方面闡述了中學數學思想和方法在高等代數解題中的應用，并指出它既是解決高等代數疑難問題的有效途徑，又是學習、研究高等代數的有效方法.

關鍵詞： 遷移 中學數學思想和方法 高等代數

高等代數中的許多內容很抽象，邏輯十分嚴密，初學者在學習中普遍感到困難.這不僅與學生的數學基礎有關，而且與學生的認識方法論也有很大關系.越是抽象內容的學習，越是迫切需要初學者在已有認知結構和認識結構中找到理解抽象知識的支撐點.

中學數學是學習高等代數的基礎，其豐富的數學思想和方法對高等代數的學習具有重要的指導作用.正確遷移中學數學知識特別是思想和方法解決高等代數的問題，既是解決高等代數疑難問題的有效途徑，又是一種高效的學習方法.

一、遷移中學數學的思想和方法，解決多項式的疑難問題

多項式中命題的證明，是初學者首先會碰到的一個難題.導致學習困難的主要原因是脫離中學數學，認識方法不當.解決這個問題的有效方法就是：歸類認識，總結規律，正確遷移中學數學的思想和方法.

1.凡結論只涉及正反兩面的命題，均可嘗試用反證法證之.

反證法的本質是證明命題的逆否命題成立.相當于換一個途徑證明命題，蘊含了化歸思想.程序是：否定結論，推出矛盾.在高等代數各章內容中都有廣泛的應用.

例1：證明：若f（x）是一個正系數多項式，且f（0）、f（1）都是奇數，則f（x）沒有整數根.

證明：假設f（x）存在整數根x，則必存在q（x）∈z[x]，使得： f（x）=（x-α）q（x），從而有：f（0）=（-α）q（0）f（1）=（1-α）q（1），因為f（0）、f（1）都是奇數，q（0）、q（1）都是整數，由整數的奇偶性關系知：-α、1-α必是奇數，即：α既是奇數又是偶數，這不可能.故f（x）沒有整數根.

2.凡證明互素的命題，都可嘗試用配湊法證之.

證明互素的命題，關鍵是要根據已知條件，應用中學數學的配湊法，找到多項式u（x）、v（x），使f（x）u（x）+g（x）v（x）=1成立.其本質是：代數式的恒等變形思想.

例2：已知：f（x）、g（x）互素，證明：（f（x），f（x）+g（x））=（f（x）+g（x），g（x））=（f（x）g（x），f（x）+g（x））=1.

證明：由（f（x），g（x））=1？圳？堝u（x）、v（x），使得：f（x）u（x）+g（x）v（x）=1，配湊得：f（x）[u（x）-v（x）]+[f（x）+g（x）]v（x）=1[f（x）+g（x）]u（x）+g（x）[v（x）-u（x）]=1.

從而有：（f（x），f（x）+g（x））=（f（x）+g（x），g（x））=1.

又因為：f（x）g（x）[u（x）-v（x）]+[f（x）+g（x）]g（x）v（x）= g（x），所以f（x）g（x），f（x）+g（x）的任意公因式h（x），都是f（x）、g（x）的公因式；反之亦然.從而有：（f（x）g（x），f（x）+g（x））=（f（x），g（x））=1.[1]

4.凡涉及多項式、商式、余式系數的命題，都可嘗試用待定系數法解之.

使用待定系數法時，多項式應設為標準式，且遵循次數定理.

例4：設多項式f（x）被x-1、x-2、x-3除所得余數依次為4、8、16，求f（x）被（x-1）（x-2）（x-3）除所得余式.

由余數定理可得方程組：f（1）=a+b+c=4f（x）=4a+2b+c=8f（3）=9a+3b+c=16，解之得：a=2，b=-2，c=4.

5.涉及多項式函數值及判別抽象數的屬性的命題，可嘗試用構造法證之.

根據已知條件構造方程（組）、函數或多項式證明命題，是中學數學常用的方法，在高等代數中也有廣泛應用.

二、遷移中學數學因式分解的方法和公式，證明矩陣可逆并求出逆矩陣

三、涉及抽象矩陣的特征根與特征向量的問題，可遷移等量替換、恒等變形的思想求解

參考文獻：

[1]馬訾偉等主編.高等代數全程導學及習題全解（第五版）.中國時代經濟出版社，2010.11：29、52.

[2]楊子胥主編.高等代數精選題解（第一版），高等教育出版社，2008.6：180-182.

[3][4]毛綱源.線性代數解題方法技巧歸納（第2版），華中科技大學出版社，2003.3：90，322.endprint

摘 要： 本文從三個方面闡述了中學數學思想和方法在高等代數解題中的應用，并指出它既是解決高等代數疑難問題的有效途徑，又是學習、研究高等代數的有效方法.

關鍵詞： 遷移 中學數學思想和方法 高等代數

高等代數中的許多內容很抽象，邏輯十分嚴密，初學者在學習中普遍感到困難.這不僅與學生的數學基礎有關，而且與學生的認識方法論也有很大關系.越是抽象內容的學習，越是迫切需要初學者在已有認知結構和認識結構中找到理解抽象知識的支撐點.

中學數學是學習高等代數的基礎，其豐富的數學思想和方法對高等代數的學習具有重要的指導作用.正確遷移中學數學知識特別是思想和方法解決高等代數的問題，既是解決高等代數疑難問題的有效途徑，又是一種高效的學習方法.

一、遷移中學數學的思想和方法，解決多項式的疑難問題

多項式中命題的證明，是初學者首先會碰到的一個難題.導致學習困難的主要原因是脫離中學數學，認識方法不當.解決這個問題的有效方法就是：歸類認識，總結規律，正確遷移中學數學的思想和方法.

1.凡結論只涉及正反兩面的命題，均可嘗試用反證法證之.

反證法的本質是證明命題的逆否命題成立.相當于換一個途徑證明命題，蘊含了化歸思想.程序是：否定結論，推出矛盾.在高等代數各章內容中都有廣泛的應用.

例1：證明：若f（x）是一個正系數多項式，且f（0）、f（1）都是奇數，則f（x）沒有整數根.

證明：假設f（x）存在整數根x，則必存在q（x）∈z[x]，使得： f（x）=（x-α）q（x），從而有：f（0）=（-α）q（0）f（1）=（1-α）q（1），因為f（0）、f（1）都是奇數，q（0）、q（1）都是整數，由整數的奇偶性關系知：-α、1-α必是奇數，即：α既是奇數又是偶數，這不可能.故f（x）沒有整數根.

2.凡證明互素的命題，都可嘗試用配湊法證之.

證明互素的命題，關鍵是要根據已知條件，應用中學數學的配湊法，找到多項式u（x）、v（x），使f（x）u（x）+g（x）v（x）=1成立.其本質是：代數式的恒等變形思想.

例2：已知：f（x）、g（x）互素，證明：（f（x），f（x）+g（x））=（f（x）+g（x），g（x））=（f（x）g（x），f（x）+g（x））=1.

證明：由（f（x），g（x））=1？圳？堝u（x）、v（x），使得：f（x）u（x）+g（x）v（x）=1，配湊得：f（x）[u（x）-v（x）]+[f（x）+g（x）]v（x）=1[f（x）+g（x）]u（x）+g（x）[v（x）-u（x）]=1.

從而有：（f（x），f（x）+g（x））=（f（x）+g（x），g（x））=1.

又因為：f（x）g（x）[u（x）-v（x）]+[f（x）+g（x）]g（x）v（x）= g（x），所以f（x）g（x），f（x）+g（x）的任意公因式h（x），都是f（x）、g（x）的公因式；反之亦然.從而有：（f（x）g（x），f（x）+g（x））=（f（x），g（x））=1.[1]

4.凡涉及多項式、商式、余式系數的命題，都可嘗試用待定系數法解之.

使用待定系數法時，多項式應設為標準式，且遵循次數定理.

例4：設多項式f（x）被x-1、x-2、x-3除所得余數依次為4、8、16，求f（x）被（x-1）（x-2）（x-3）除所得余式.

由余數定理可得方程組：f（1）=a+b+c=4f（x）=4a+2b+c=8f（3）=9a+3b+c=16，解之得：a=2，b=-2，c=4.

5.涉及多項式函數值及判別抽象數的屬性的命題，可嘗試用構造法證之.

根據已知條件構造方程（組）、函數或多項式證明命題，是中學數學常用的方法，在高等代數中也有廣泛應用.

二、遷移中學數學因式分解的方法和公式，證明矩陣可逆并求出逆矩陣

三、涉及抽象矩陣的特征根與特征向量的問題，可遷移等量替換、恒等變形的思想求解

參考文獻：

[1]馬訾偉等主編.高等代數全程導學及習題全解（第五版）.中國時代經濟出版社，2010.11：29、52.

[2]楊子胥主編.高等代數精選題解（第一版），高等教育出版社，2008.6：180-182.

[3][4]毛綱源.線性代數解題方法技巧歸納（第2版），華中科技大學出版社，2003.3：90，322.endprint

摘 要： 本文從三個方面闡述了中學數學思想和方法在高等代數解題中的應用，并指出它既是解決高等代數疑難問題的有效途徑，又是學習、研究高等代數的有效方法.

關鍵詞： 遷移 中學數學思想和方法 高等代數

高等代數中的許多內容很抽象，邏輯十分嚴密，初學者在學習中普遍感到困難.這不僅與學生的數學基礎有關，而且與學生的認識方法論也有很大關系.越是抽象內容的學習，越是迫切需要初學者在已有認知結構和認識結構中找到理解抽象知識的支撐點.

中學數學是學習高等代數的基礎，其豐富的數學思想和方法對高等代數的學習具有重要的指導作用.正確遷移中學數學知識特別是思想和方法解決高等代數的問題，既是解決高等代數疑難問題的有效途徑，又是一種高效的學習方法.

一、遷移中學數學的思想和方法，解決多項式的疑難問題

多項式中命題的證明，是初學者首先會碰到的一個難題.導致學習困難的主要原因是脫離中學數學，認識方法不當.解決這個問題的有效方法就是：歸類認識，總結規律，正確遷移中學數學的思想和方法.

1.凡結論只涉及正反兩面的命題，均可嘗試用反證法證之.

反證法的本質是證明命題的逆否命題成立.相當于換一個途徑證明命題，蘊含了化歸思想.程序是：否定結論，推出矛盾.在高等代數各章內容中都有廣泛的應用.

例1：證明：若f（x）是一個正系數多項式，且f（0）、f（1）都是奇數，則f（x）沒有整數根.

證明：假設f（x）存在整數根x，則必存在q（x）∈z[x]，使得： f（x）=（x-α）q（x），從而有：f（0）=（-α）q（0）f（1）=（1-α）q（1），因為f（0）、f（1）都是奇數，q（0）、q（1）都是整數，由整數的奇偶性關系知：-α、1-α必是奇數，即：α既是奇數又是偶數，這不可能.故f（x）沒有整數根.

2.凡證明互素的命題，都可嘗試用配湊法證之.

證明互素的命題，關鍵是要根據已知條件，應用中學數學的配湊法，找到多項式u（x）、v（x），使f（x）u（x）+g（x）v（x）=1成立.其本質是：代數式的恒等變形思想.

例2：已知：f（x）、g（x）互素，證明：（f（x），f（x）+g（x））=（f（x）+g（x），g（x））=（f（x）g（x），f（x）+g（x））=1.

證明：由（f（x），g（x））=1？圳？堝u（x）、v（x），使得：f（x）u（x）+g（x）v（x）=1，配湊得：f（x）[u（x）-v（x）]+[f（x）+g（x）]v（x）=1[f（x）+g（x）]u（x）+g（x）[v（x）-u（x）]=1.

從而有：（f（x），f（x）+g（x））=（f（x）+g（x），g（x））=1.

又因為：f（x）g（x）[u（x）-v（x）]+[f（x）+g（x）]g（x）v（x）= g（x），所以f（x）g（x），f（x）+g（x）的任意公因式h（x），都是f（x）、g（x）的公因式；反之亦然.從而有：（f（x）g（x），f（x）+g（x））=（f（x），g（x））=1.[1]

4.凡涉及多項式、商式、余式系數的命題，都可嘗試用待定系數法解之.

使用待定系數法時，多項式應設為標準式，且遵循次數定理.

例4：設多項式f（x）被x-1、x-2、x-3除所得余數依次為4、8、16，求f（x）被（x-1）（x-2）（x-3）除所得余式.

由余數定理可得方程組：f（1）=a+b+c=4f（x）=4a+2b+c=8f（3）=9a+3b+c=16，解之得：a=2，b=-2，c=4.

5.涉及多項式函數值及判別抽象數的屬性的命題，可嘗試用構造法證之.

根據已知條件構造方程（組）、函數或多項式證明命題，是中學數學常用的方法，在高等代數中也有廣泛應用.

二、遷移中學數學因式分解的方法和公式，證明矩陣可逆并求出逆矩陣

三、涉及抽象矩陣的特征根與特征向量的問題，可遷移等量替換、恒等變形的思想求解

參考文獻：

[1]馬訾偉等主編.高等代數全程導學及習題全解（第五版）.中國時代經濟出版社，2010.11：29、52.

[2]楊子胥主編.高等代數精選題解（第一版），高等教育出版社，2008.6：180-182.

[3][4]毛綱源.線性代數解題方法技巧歸納（第2版），華中科技大學出版社，2003.3：90，322.endprint