非可微多目標優化問題的高階逆對偶定理

高英

(重慶師范大學數學學院,重慶 400047)

非可微多目標優化問題的高階逆對偶定理

高英

(重慶師范大學數學學院,重慶 400047)

在錐約束非可微多目標優化問題Mond-Weir型高階弱對偶定理的基礎上,利用Fritz-John型必要條件,在沒有任何約束品性條件下給出了逆對偶定理.最后,考慮了特殊情況,研究了單目標情況下對偶問題的逆對偶定理.

非可微多目標優化,高階對偶,逆對偶定理

1 引言

設f:Rn→R和g:Rn→Rm二階可微,B是n×n半正定對稱矩陣.文獻[1]首次建立了如下非可微數學規劃問題的一階對偶模型,并證明了對偶定理.

文獻[2]首次提出非線性規劃問題的二階和高階對偶模型,并在一定條件下建立了對偶定理.文獻[3-4]在一階對偶模型的基礎上考慮了另一種二階和高階對偶模型,并在更簡單的條件下給出了對偶定理.隨后,諸多學者研究非線性規劃問題的二階和高階對偶問題,得到了豐碩的成果[5-17].文獻[5]考慮了問題(P)的一階和二階對偶模型,在一定廣義凸性條件下建立了弱對偶、強對偶和逆對偶定理.文獻[6]將文獻[5]中的結果推廣到高階對偶問題的研究,在高階廣義凸性條件下給出了對偶定理.文獻[7]研究了非可微多目標優化問題的Mangasarian型和Mond-Weir型對偶模型,在更廣的廣義凸性假設研究了對偶定理.最近,文獻[8]利用緊凸集的支撐函數代替問題(P)中的(xTBx)得到了更一般的非線性規劃模型,研究了其一階和二階對偶問題.

文獻[9]利用Fritz John型必要條件在沒有任何約束品性條件下建立了可微非線性規劃問題的逆對偶定理,并稱之為Huard型逆對偶定理.隨后,諸多學者在此基礎上研究了一階、二階和高階逆對偶定理[12-16].最近,文獻[10]考慮了非可微多目標優問題的統一高階對偶模型,建立了弱對偶、強對偶和嚴格逆對偶定理.文獻[11]研究了多目標優化問題的弱對偶和強對偶定理.但在文獻[10-11]中都沒有考慮到文獻[9]提出的逆對偶定理.針對該情況,本文利用Fritz John型必要條件,在沒有任何約束品性條件下建立一類非可微多目標優化問題的逆對偶定理.

2 預備知識

設Rn是n維歐式空間,是非負象限.對x,y∈Rn給出以下符號:

Φ(x)是定義在 Rn上的二階連續可微實值函數,h(x,y)是定義在 Rn×Rm上的函數,?xΦ()表示函數Φ在點的梯度向量,?xxΦ()表示在點的Hessian矩陣,?xh(,)表示函數 h關于變量 x在點 (,)處的梯度向量,?xxh(,)表示關于變量 x在點 (,)處的Hessian矩陣.同理,還有以下符號:?yh(,),?xyh(,),?yyh(,).為簡便起見,?xΦ()記為?Φ().設C?Rn為緊凸集.集合C的支撐函數定義為:

支撐函數是凸函數,故有次微分.即,存在z∈Rn,使得

從而s(x|C)的次微分為:

凸集D?Rn在點x∈D的法錐定義為:

若C是緊凸集,則y∈NC(x)當且僅當s(y|C)=xTy,或等價地x∈?s(y|C).

錐K?Rn的極錐定義為:

考慮如下多目標優化問題(簡稱MNP):

其中,f:Rn→Rl,g:Rn→Rm是二次可微函數,Di是凸緊集,i=1,···,l,C?Rm是內部非空的閉凸錐.

(MNP)的可行解集記為 S={x∈Rn:g(x)∈?C?}.

定義 2.1(i)可行解x0稱為問題(MNP)的弱有效解,若不存在x∈S,使得

(ii)可行解x0稱為問題(MNP)的有效解,若不存在x∈S,使得

3 Mond-Weir型高階對偶

本節,考慮問題(MNP)的Mond-Weir型高階對偶模型(MND).

其中,e=(1,···,1)T∈Rl,h(x,y):Rn×Rn→Rl和k(x,y):Rn×Rn→Rm是二階連續可微的函數,

注 3.1(i)若C=,則問題 (MND)退化為文獻[11]中的Mond-Weir型高階對偶模型.

且問題(MNP)和(MND)退化為文獻[12]中考慮的問題.

定理 3.1(逆對偶定理) 設是問題(MND)的弱有效解.假設:

證明因是問題 (MND)的弱有效解,由 Fritz-John型必要條件可知,存在α∈Rl,β∈Rn,η∈C?,ξ∈Rl和θ∈R,使得

由假設(i)和(6)式,有

因此,(3)式和(4)式分別退化為:

由假設 (ii)得 δ=0.由 (16)式,(4)式和 (5)式得 β=0,θ=0和 η=0. 從而有 (α,β,δ,ξ,η,θ)=0.這與(14)式矛盾.因此,α0.

下面證明 δ/=0.假設δ=0,則(16)式表明β=0.由(15)式得αi=0,i=1,···,l.因為α/=0故=0.由假設(v)可知(17)式退化為:

因α/=0,這與假設 (iii)矛盾.從而,δ/=0.

因δ>0,故以上兩個等式退化為:

這表明

4 特殊情況

本節,考慮單目標情形下的逆對偶定理.

問題(MNP)中取l=1.其對偶問題(MND)退化為問題:

定理 4.1(逆對偶定理)設是問題 (ND))的最優解.假設

證明因是問題(ND)的最優解,故由Fritz-John型必要條件存在α∈R, δ∈R,β∈Rn和η∈C?使得

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On higher-order converse duality for nondif f erentiable multiobjective programming problems

Gao Ying
(Department of Mathematics,Chongqing Normal University,Chongqing 400047,China)

In this paper,based on the weak duality theorems of Mond-Weir type higher-order dual for nondif f erentiable multiobjective problems with cone constraints,we derive converse duality theorems by using Fritz-John type necessary condition without any constraint qualif i cations.Finally,we consider the special case of the result, and establish converse duality theorem for single objective programming problem with con constraint.

nondif f erentiable multiobjective programming problems,higher-order dual models, converse duality theorems

O221.6

A

1008-5513(2014)02-0136-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.02.003

2013-09-08.

國家自然科學基金(11201511,11201379);重慶市科委重點實驗室專項基金(CSTC,2011KLORSE03).

高英(1982-),博士,副教授,研究方向：最優化.

2010 MSC:90C32,90C46,90C47