半單環在環類刻畫中的某些應用

李艷午, 劉鋼

(1.蕪湖職業技術學院,安徽 蕪湖 241000;2.宿州學院數學與統計學院,安徽 宿州 234100)

半單環在環類刻畫中的某些應用

李艷午1, 劉鋼2

(1.蕪湖職業技術學院,安徽 蕪湖 241000;2.宿州學院數學與統計學院,安徽 宿州 234100)

首先利用正則環,對半單環進行了一個新的刻畫;然后,構造了半單環成為單位正則環的一系列條件,在此基礎上對單位正則環進行了半單環意義下的兩個刻畫;最后,通過構造Artin環到半單環的條件,將半單環的有關結論推廣到Artin環中.

半單環;正則環;單位正則環;Artin環

1 引言

一個左R-模M叫做半單的,如果M 的任意R-子模都是M的直和項;環R叫做半單環,如果每個左R-模都是半單的.如同半單模在模論中扮演著十分重要的角色一樣,半單環在環論中占有重要的地位.因此,半單環越來越被一些代數工作者所重視,大部分環論的經典著作[1-3]都對半單環進行了深入探討和經典刻畫,一些重要的環類也往往都與半單環有著密切的聯系,如SF-環[4].

環R中的一個元素a稱為單位正則的,如果存在一個單位(即可逆元)u∈R,使a=aua;稱R為單位正則環,如果R的每個元素都是單位正則元[2].單位正則環與環的穩定度和模的消去性都有著密切的關系,這是近年來繼正則環后又一個重要的環類,吸引著環論研究者的興趣.文章首先利用正則環,對半單環進行了一個新的刻畫;然后,構造了半單環成為單位正則環的一系列條件,在此基礎上對單位正則環進行了半單環意義下的兩個刻畫;最后,通過構造Artin環到半單環的條件,將半單環的一系列結果推廣到Artin環中.

本文中的環,都是有單位元的結合環,模都是酉模;a∈R,l(a)表示元素a在環R中的左零化子,r(a)表示元素 a在環 R中的右零化子.U(R)是環 R的單位元素的集合.J(R)和Soc(RR)(Soc(RR))分別表示環R的Jacobson根和RR(RR)的基座.其余符號均參照文獻 [1].

2 主要結果及證明

眾所周知,Artin半單環是正則環[5-6],但正則環不一定是半單環;半單環既是Artin環又是Noether環,但反之Artin環和Noether環又都不一定是半單環,而下面的結果彌補了這一缺憾.

定理 1對于正則環R,下列各條等價:

(1)R是半單環;(2)R是Neother環;(3)R是Artin環.

證明(1)?(2),(1)?(3).由半單環的性質易得.

(2)?(1).如果R是Neother環,那么R滿足主左理想的升鏈條件.令S=Soc(RR),下面證明S=R.如果SR,那么存在R的極大主左理想I,使得S?I?R,并且I在R中是本質的.又由于R是正則環,所以存在e=e2∈R,使得I=Re,從而I是有限生成的.故正和列:是有限相關的,所以R/I是有限相關的平坦模.再根據文獻[8]中的TH3.16,R/I是投射左R-模,從而是RR的直和項.而這與I在R中是本質的相矛盾.所以,S=R.故,R是半單環. (3)?(1).與(2)?(1)類似,可證.

顯然,單位正則環都是正則環,而反之不真.但是,根據文獻[7]中推論2.4,比正則環條件稍強的強正則環是單位正則環.既然半單環都是正則環,所以半單環距單位正則環僅一步之遙.下面的定理就是考慮極大左理想的性質,從幾條不同的渠道鋪設由半單環到單位正則環的路徑.

定理 2一個半單環R,如果又滿足下列條件之一:

(1)R的每個極大左理想都是理想;

(2)R的每個極大左理想在R中都是本質的;

(3)R的每個極大左(右)理想都是廣義弱理想.

那么,R是單位正則環.

證明首先由半單環的正則性知,環R是正則的.

如果條件(3)成立,那么根據文獻[9]中定理11,可證環R是強正則環,故R是單位正則環.

如果aR+bR=R,存在x∈R使得a+bx是一個單位,那么稱環R具有穩定度1(見文獻[2]).下面就由半單環在一定條件下的單位正則性,導出其具有穩定度1的性質.

推論 1一個半單環R,如果又滿足下列條件之一:

(1)R的每個極大左理想都是理想;

(2)R的每個極大左理想在R中都是本質的;

(3)R的每個極大左(右)理想都是廣義弱理想;

那么,R具有穩定度1.

證明首先,根據定理2知環R是單位正則環.令aR+bR=R,a,b∈R,則對某個J,有

進一步,令K={r∈R|ar=0},則有RR=K⊕L,這里L～=aR,再根據文獻[2]中定理4.1,知K～=J.因此,存在c∈R,使得cL=0,而且由c所決定的左乘導出了KJ上的一個同構.由于cR=J≤bR,所以存在某個 y∈R,使得c=by.同理,由a所決定的左乘導出了LaR上的一個同構.因為aK=cL=0,由此推出由a+c所決定的左乘導出了L⊕K=RRaR⊕J=RR上的一個同構.所以,a+by=a+c是R中的一個單位,即環R具有穩定度1.

下面的定理將從有限生成投射模的消去性質,對單位正則環進行有限生成投射模消去意義上的刻畫.

定理 3設 R是一個半單環,則 R是單位正則環當且僅當對所有有限生成投射 R-模A,B,C,由A⊕B～=A⊕C都可以推出B～=C.

證明一方面,如果對所有有限生成投射R-模A,B,C,由A⊕B～=A⊕C都可以推出B～=C,那么根據文獻[2]中定理4.1,由模的這種消去性推出了R的單位正則性.

另一方面,如果R是半單的單位正則環,令A,B,C是有限生成投射左R-模,并且A⊕B～= A⊕C,那存在正整數n,使得A是nRR的一個直和項,這里nRR⊕B～=nRR⊕C.通過歸納,可以證明n=1的情形.假設RR⊕B～=RR⊕C,根據文獻[2]中定理2.8,給出了一個分解RR=R1⊕R2,B=B1⊕B2,使得

由于R1⊕B1～=RR=R1⊕R2,所以B1～=R2,于是

推論 2設R是有穩定度1的半單環,M是R上的有限生成投射模,則EndR(M)是單位正則環.

證明如果R是有穩定度1的半單環,那么由R的正則性知對任意的a∈R,存在x∈R使得a=axa.顯然,aR+(1?ax)R=R,于是存在y∈R使得a+(1?ax)y是一個單位,從而存在u∈R使得[a+(1?ax)y]u=1.所以,

即R是單位正則環.最后,根據文獻[2]中推論4.7,即證R(M)是單位正則環.

定理 4設R是一個半單環,I是R的雙邊理想,則R是單位正則環當且僅當下列兩條同時成立:

(1)R/I是單位正則環

證明一方面,如果R是單位正則環,那么根據單位正則環的性質定理即[2]中定理4.1,即可得到結論(1)和結論(2).

另一方面,如果環 R滿足條件 (1)和條件 (2).那么根據半單環的正則性,給定冪等元a,b∈R使得aRbR,由條件(1)可得(R/J)～=(R/J),因此

根據文獻[2]中命題2.19,存在分解

使得A1～=B1而A2=A2J,B2=B2J.于是,存在冪等元e,f∈R使得

而使

那么e,f∈J,并且(1?e)R～=(1?f)R,從而根據條件(2)得eR～=fR,于是(1?a)R～=(1?b)R,因此R是單位正則環.

定理 5設R是左Artin環,則R只要滿足下列條件之一:

(1)不包含非零的冪零左理想;

(2)對任意x∈R,xRx=0?x=0.

就有:

(a)環R的總體維數等于0;

(b)對任意左R-模M,M 既是投射模又是內射模;

(c)由左R-模構成的短正和列都可裂;

(d)環R的詣零根等于零;

(e)存在R的有限個雙邊理想Ri,i=1,2,···,n,n<∞,使得

證明根據文獻[1]中習題13,8(2)知,當R是左Artin環并且滿足條件(1)和條件(2)時,R就是半單環.再根據文獻[3]中定理 12和定理13對半單環的經典刻畫,即可得到結論 (a)-(e).與半單純環關系密切的環是本原環,即 J(R)=0的環,它可以看成是半單純環概念的推廣,它是除環上的線性空間的線性變換完全環的一個稠密子環.根據文獻[10]中推論2.4.14,半單環等價于半本原的阿丁環,所以有:

注 1把定理[7]中的條件(1)和條件(2)改為R是半本原的,同樣得到結論(a)-(e).

[1]Anderson F W,Fuller K R.Rings and Categories of Modules[M].Berlin Heidelberg:Springer-Verlag,1974.

[2]Goodearl K R.Von Neumann Regular Rings[M].2nd ed.Florida:Krieger Publishing Company Malabar, 1991.

[3]周伯塤.同調代數[M].北京:科學出版社,1998.

[4]李艷午,程海霞.SF-環的內射性[J].純粹數學與應用數學,2012,28(1):17-24.

[5]Faith C.Algebra II:Rings Theory[M].Berlin Heidelberg,Springer-Verlag,1976.

[6]Fisher J.W.Von Neumann Regular Rings Versus V-rings,in“Rings Theory Proceedings of the Oklahoma Conference”[C]//Lecture Notes in Pure and Appl.Math..New York:Dekker,1974(7):101-119.

[7]李艷午,儲茂權.Morphic Rings and regular Rings[J].安徽師范大學學報:自然科學版,2010,33(4):313-316.

[8]Rege M B.On Von Neumann regular rings and SF-rings[J].Math.Japonica,1986,36(1):927-936.

[9]周海燕,王小東.Von Neumann正則環和左SF-環[J].數學研究與評論,2004,24(4):679-683.

[10]陳家鼐.環與模[M].北京:北京師范學院出版社,1989.

Some applications about semisimple rings in the characterization of rings

Li Yanwu1,Liu Gang2
(1.Wuhu Vocational College of Technology,Wuhu 241000,China; 2.College of mathematics and statistics in Suzhou institute,Suzhou 234100,China)

Firstly,a new characterization of semisimple rings was obtained in In the sense of regular rings. Secondly,we constructed a series of conditions which from semisimple rings to unit regular rings and on which two characterizations were obtained about unit regular rings in terms of semisiple rings.Finally,by constructing the conditions that from Artin rings to semisimple rings,a series of results about semisimple ring were pushed to Artin rings.

semisimple rings,regular rings,unit regular rings,Artin rings

O153.3

A

1008-5513(2014)02-0149-05

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.02.005

2013-12-27.

安徽省2013年省級自然科學研究項目(KJ2013B348);2011年度安徽省教育科學規劃項目(JG11372);蕪湖職業技術學院2013年院級教學研究項目.

李艷午(1975-),碩士,副教授,研究方向:環論與同調代數.

2010 MSC:16G10,16E10