關于超空間非自治動力系統敏感依賴性的一些研究

楊承宇,王延庚,歷智明

(西北大學數學系,陜西 西安 710127)

關于超空間非自治動力系統敏感依賴性的一些研究

楊承宇,王延庚,歷智明

(西北大學數學系,陜西 西安 710127)

旨在討論非自治動力系統和其對應超空間非自治動力系統上的敏感依賴性.研究了非自治動力系統敏感依賴性和其對應超空間非自治動力系統敏感依賴性之間的蘊含關系.得到了一個使得(超空間)非自治動力系統敏感依賴性在其任意次迭代系統上得以保持的充分條件.

非自治動力系統;超空間系統;初值敏感依賴性;集態初值敏感依賴性

1 引言

探討自治動力系統與其對應超空間動力系統之間關系,一直是動力系統的一個研究熱點.文獻 [1]揭示了自治動力系統拓撲弱混合和超空間動力系統拓撲傳遞是相互蘊含的;文獻[2]闡述了自治動力系統和其對應超空間動力系統拓撲熵之間的關系,文獻[3]討論了自治動力系統Devaney混沌和其對應超空間動力系統混沌之間的蘊含關系,特別的,文獻[4]又指出,自治動力系統的集態初值敏感和其對應超空間動力系統初值敏感是等價的.

但是,對于更一般的非自治動力系統,它與其對應的超空間非自治動力系統又會有哪些聯系呢？本文將從初值敏感依賴性這一方面著手,討論非自治動力系統初值敏感依賴性和其對應超空間非自治動力系統初值敏感依賴性之間的蘊含關系,并同時討論了其在各自任意次迭代子系統上得以保持的充分條件.

2 預備知識

定義 2.1[5]設 (X,d)是一個度量空間,fi:X → X,i∈,為連續自映射.記序列=f1,∞.對于任意的x∈X,點x的軌跡由序列x,f1(x),(x),(x),···,(x)···表示,記作tra(x),其中,

并且對任意的fi∈f1,∞,當n=0時,=id.此時稱f1,∞為X上的一個非自治動力系統,記為(X,f1,∞),記tra(x)構成的集合為orb(x),稱為(X,f1,∞)的軌道.

定義 2.2[6]設(X,f1,∞)是一個非自治動力系統,若存在δ>0,使得對于任意的x∈X和任意的ε>0,存在y∈X和正整數n,滿足d(x,y)<ε且d((x),(y))>δ.則稱(X,f1,∞)具有初值敏感依賴性.將滿足條件的δ稱作系統的初值敏感依賴常數.

定義 2.3設(X,f1,∞)是一個非自治動力系統,若存在δ>0,使得對于X中任意有限個點x1,x2,x3,···,xn和任意的ε>0,存在X中的點y1,y2,y3,···,yn,和正整數k滿足下面兩個條件:

(1)d(xi,yi)<ε,i=1,2,3,···,n;

(2)存在1≤i0≤n,使得

成立,稱(X,f1,∞)具有集態初值敏感依賴性.滿足條件的δ為系統的集態初值敏感依賴常數.這里給出的集態初值敏感依賴性的定義是將文獻[4]中的定義在非自治系統上的一個推廣.

設 (X,f1,∞)是一個非自治動力系統,記 K(X)為 X 中所有非空緊子集構成的集合,在K(X)上賦予Vietoris拓撲,則形如

的集合全體構成了拓撲的一個基,其中Ui,i=1,2,···,n是X中非空開集.

還可以定義K(X)上由d誘導的Hausdorf f度量dH如下:對于任意的A,B∈K(X),

同時,也等價于

其中S(A,ε)={x∈X|d(x,A)<ε}是A在X中的ε鄰域,S(B,ε)是B在X中的ε鄰域.

由文獻[7]可知,K(X)上的Vietoris拓撲和Hausdor ff度量dH是相容的.

現在,可由X上的連續映射序列f1,∞誘導超空間K(X)上的映射序列如下:對于任意的A∈K(X),任意的.由文獻[8]知,每一個都是連續的,所以映射序列是連續的.因此,(K(X),dH,)構成一個非自治動力系統,稱為(X,f1,∞)誘導的超空間非自治動力系統.

3 主要結果

設F(X)為X所有非空有限子集,顯然F(X)可以看作是K(X)的一個子空間,并且對于映射序列保持封閉性,連續性.所以是系統的一個子系統.

定理 3.1超空間非自治系統具有初值敏感依賴性當且僅當其子系統具有初值敏感依賴性.

證明 充分性設δ>0是系統的一個初值敏感依賴常數.對于任意的A∈K(X),任意的ε>0,若A∈F(X),則命題得證.下設A/∈F(X).

因為A是X的緊子集,故存在B∈F(X)滿足dH(A,B)<,又因為具有初值敏感依賴性,所以存在C∈F(X)且dH(C,B)<,滿足存在正整數n使得

并且

由三角不等式

所以存在D∈{B,C},滿足dH(A,D)<ε且存在n>0,使得

必要性同文獻[4]定理2.2.

定理 3.2設(X,f1,∞)是一個非自治動力系統.系統具有初值敏感依賴性當且僅當系統(X,f1,∞)具有集態初值敏感依賴性.

證明 必要性設δ>0是系統的一個初值敏感常數.對X中任意有限的點x1,x2,···,xn.記A={x1,x2,···,xn}和任意的ε>0,不妨取

由 dH(A,B)<ε和ε選取可知,對于任意的y∈B,存在唯一的xi∈A滿足d(xi,y)<ε.記Bi={y∈B|d(xi,y)<ε},i=1,2,3,···,n,因為dH(A,B)<ε,所以A?S(B,ε),因而對于任意的xi,存在y∈B,使得d(xi,y)<ε.所以Bi?.又由有

至少成立一個.

若 (1)成立,則存在 y?∈Bi0滿足>δ,i=1,2,···,n.現在,對 xi選取yi∈Bi,特殊地,對于xi0,選取yi0=y?構成集合{y1,y2,···,yn}滿足d(xi,yi)<ε并且存在1≤i0≤n,滿足>δ,i=1,2,···,n.若(2)成立,同理存在1≤i0≤n滿足d(xi,yi)<ε并且>δ,i=1,2,···,n.因此,系統(X,f1,∞)具有集態初值敏感依賴性,并且δ>0就是它的一個集態初值敏感依賴常數.

充分性設δ>0是系統(X,f1,∞)的一個集態初值敏感依賴常數.對于任意的A∈F(X)和ε>0,設A={x1,x2,···,xn},由系統(X,f1,∞)集態初值敏感依賴性知,存在X上有限集{y1,y2,···,yn}和正整數k滿足:

(1)d(xi,yi)<ε,即dH(A,B)<ε;

(2)存在1≤i0≤n,使得

成立.即

所以,有

根據定義2.1,對于任意的fi∈f1,∞,任意的正整數n,記

設(X,f1,∞)是一個非自治動力系統,對任意的正整數k,記映射序列

引理 3.3[6]設(X,f1,∞)是緊度量空間X上的一個非自治動力系統,其中映射序列f1,∞一致收斂到映射f.對于任意的ε>0和正整數k,存在δ(ε)>0和正整數N(k),滿足對于任意的x,y∈X,d(x,y)<δ(ε)和任意的n≥N(k),

定理 3.4設(X,f1,∞)是緊度量空間X上的一個非自治動力系統,其中映射序列f1,∞一致收斂到映射f.若f1,∞具有集態初值敏感依賴性,則對于任意的正整數k,也具有集態初值敏感依賴性.

證明設δ>0是f1,∞的集態初值敏感常數,任意取定k>1,根據引理3.3,對于2δ和k,存在對應的εδ>0和正整數n0(不妨取n0>3k),滿足對于任意的x,y∈X,d(x,y)<εδ和任意的n≥n0,有

下證εδ是系統(X,)的集態初值敏感依賴常數.

因為X是緊度量空間,所以由映射序列的一致連續性,對于任意的00,滿足于任意的0

由于f1,∞是集態初值敏感依賴的,因而對于X中任意有限個點x1,x2,x3,···,xn和ε>0(不妨取ε<ε?),存在y1,y2,y3,···,yn∈X和m>0滿足:

(1)d(yi,xi)<ε,i=1,2,3,···,n,

(2)存存在1≤i0≤n,使得

由ε選取知,m>2n0>6k.故存在正整數p≥6使得

因為m>2n0>6k,1≤q≤k?1所以pk+1>n0.

根據(*)式,因為pk+1>n0,q

由x1,x2,x3,···,xn和ε任意性知,εδ是系統(X,)的一個集態初值敏感依賴常數,即系統(X,)具有集態初值敏感依賴性.

最后,因為k的任意性,命題得證.

定理 3.5設(X,f1,∞)是緊度量空間X上的一個非自治動力系統,其中映射序列f1,∞一致收斂到映射f.則以下條件等價:

其中,k是任意正整數.

證明(1)?(2)由定理3.4可得.(2)?(1)根據定義,可直接得到.(1)?(3),(2)?(4)由定理3.2可得.(3)?(5),(5)?(6)由定理3.1可得.

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Some results about sensitive on non-autonomous dynamical
system in hyperspace

Yang Chengyu,Wang Yangeng,Li Zhiming
(Department of Mathematics,Northwest University,Xi′an 710127,China)

In this paper we mainly talk about the non-autonomous dynamical system and its hyperspace system. We study the relation between non-autonomous dynamical system and its hyperspace system in the aspect of sensitive.If the system is sensitive,we also have a sufficient condition to ensure its iterative system is sensitive, too.

non-autonomous dynamical system,hyperspace system, sensitive dependence on initial conditions,collective sensitive

O189.11

A

1008-5513(2014)02-0201-06

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.02.012

2014-02-10.

國家自然科學基金(11371292).

楊承宇(1989-),碩士生,研究方向：拓撲動力系統.

2010 MSC:54A05