靜磁場(chǎng)中的唯一性定理

戴振翔，鄭贛鴻，張青，馬永青

（安徽大學(xué)物理與材料科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230039）

靜磁場(chǎng)中的唯一性定理

戴振翔，鄭贛鴻，張青，馬永青

（安徽大學(xué)物理與材料科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230039）

唯一性定理是解決靜電磁場(chǎng)問題的重要理論依據(jù)，應(yīng)用構(gòu)造恰當(dāng)函數(shù)的技巧和一些數(shù)學(xué)運(yùn)算，從給定的邊界條件出發(fā)，本文給出了靜磁場(chǎng)唯一性定理的證明，最后給出了唯一性定理關(guān)于靜磁場(chǎng)實(shí)際問題的應(yīng)用舉例.

電動(dòng)力學(xué)；唯一性定定理；邊界條件

靜電場(chǎng)和靜磁場(chǎng)中的唯一性定理是電動(dòng)力學(xué)中的重要定理.靜電場(chǎng)的唯一性定理在郭碩鴻的《電動(dòng)力學(xué)》已經(jīng)給出非常清晰的證明.然而，關(guān)于靜磁場(chǎng)中的唯一性定理，卻沒有給出.因此，有必要對(duì)靜電場(chǎng)和靜磁場(chǎng)的唯一性定理給出一個(gè)統(tǒng)一的系統(tǒng)證明，為解決靜場(chǎng)問題提供理論依據(jù).

1 靜磁場(chǎng)邊界條件

對(duì)于存在有限邊界的靜磁場(chǎng)問題，邊界條件一般只有一種選擇，那就是給定邊界上的磁感應(yīng)強(qiáng)度的法向分量：

即通過邊界的凈磁通為零.

2 靜磁場(chǎng)唯一性定理的證明

由于磁場(chǎng)是有旋無源場(chǎng)，原則上可以引入一個(gè)矢量的旋度來描述磁感應(yīng)強(qiáng)度，此矢量定義為矢勢(shì)A：B=▽×A

在均勻各向同性的磁介質(zhì)中：B=μH

而靜磁場(chǎng)的邊值關(guān)系：n·(Bi-Bj)=0 n×(Hi-Hj)=α

其中用下標(biāo)i和j表示界面兩側(cè)，n表示界面法線方向的單位矢量，從i側(cè)指向j側(cè).α表示電流線密度，其大小等于垂直通過單位橫截線的電流.

對(duì)于非鐵磁性均勻磁介質(zhì)，上述的邊值關(guān)系可化為A的邊值關(guān)系：

在磁介質(zhì)分界面兩側(cè)取一狹長(zhǎng)回路，計(jì)算矢勢(shì)A對(duì)此狹長(zhǎng)回路的線積分.

則可以得到：Ait=Ajt

若取庫倫規(guī)范▽·A=0，則可得：Ain=Ajn及矢勢(shì)A的法向分量和切向分量在邊界處相等，矢勢(shì)A連續(xù)：Ai=Aj

假設(shè)在可均勻區(qū)分的磁介質(zhì)內(nèi)給定磁導(dǎo)率μi和傳導(dǎo)電流Ji，在磁介質(zhì)邊界S上給出矢勢(shì)的切向分量At|S或磁感應(yīng)強(qiáng)度的切向分量Bt=(▽×A)t|S，則介質(zhì)內(nèi)的磁場(chǎng)被唯一確定.

證明假設(shè)有兩組不同的解A1和A2都滿足定理?xiàng)l件.

令：A=A1-A2

在均勻各向同性磁介質(zhì)B=μH

任意兩個(gè)相鄰的介質(zhì)分界面上滿足邊值關(guān)系：

因而在整個(gè)區(qū)域的邊界S面上滿足：

構(gòu)造第i個(gè)區(qū)域Si上的積分：

將積分在所有分區(qū)域內(nèi)求和：

則：▽×A=0 A1-A2=constvector

即A1和A2相差一個(gè)常數(shù)，兩者所確定的磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量相同，即磁場(chǎng)唯一確定.

由以上的論證，可以得到不隨時(shí)間變化的矢量場(chǎng)，在給定的邊界條件和其滿足的可以完備描述其不含時(shí)的矢量場(chǎng)下，是唯一確定的.

3 結(jié)論

從靜場(chǎng)的角度論證電動(dòng)力學(xué)中的唯一性定理業(yè)已完成.在時(shí)變電磁場(chǎng)中論證唯一性定理和在運(yùn)動(dòng)的參考系下即相對(duì)論情形下論證電磁張量的特定給定的邊界條件下的唯一性定理是今后進(jìn)一步的研究工作.

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