用Pb-2 Ritz法分析矩形板在不同邊界條件下自由振動(dòng)時(shí)的精度

路一

（安徽新華學(xué)院土木與環(huán)境工程學(xué)院，安徽 合肥 230088）

用Pb-2 Ritz法分析矩形板在不同邊界條件下自由振動(dòng)時(shí)的精度

路一

（安徽新華學(xué)院土木與環(huán)境工程學(xué)院，安徽 合肥 230088）

彈性支承板模型作為在工程結(jié)構(gòu)分析中常用的結(jié)構(gòu)模型廣泛應(yīng)用于土木工程、機(jī)械、電子工程、交通運(yùn)輸、航空航天工程中及輕工工程中，而彈性支撐板在工程上主要指柱支承板.經(jīng)典的板理論不可避免的導(dǎo)致一些錯(cuò)誤,所以必須引用計(jì)入剪切變形效應(yīng)的中厚板理論.應(yīng)用pb-2R itz法分析具有彈性邊界即不同邊界條件下的矩形中厚板的自由振動(dòng)問題很少見到有文章發(fā)表，本文主要用來驗(yàn)證Pb-2 Ritz法的精確性和收斂性，為研究其他不同的約束條件下板的自由振動(dòng)提供參考.

中厚板；Pb-2 Ritz法；自由振動(dòng)

1 研究現(xiàn)狀

板殼結(jié)構(gòu)廣泛地應(yīng)用于工程中，隨著我國(guó)國(guó)民經(jīng)濟(jì)持續(xù)、快速發(fā)展，交通運(yùn)輸和城市基礎(chǔ)設(shè)施的建設(shè)日益受到重視，關(guān)系著整個(gè)結(jié)構(gòu)建設(shè)的安全、穩(wěn)定的板殼結(jié)構(gòu)尤為重要.板殼結(jié)構(gòu)分析是現(xiàn)代固體力學(xué)中的一個(gè)分支,近幾十年,隨著科學(xué)技術(shù)的突飛猛進(jìn),其發(fā)展異常迅速.彈性支承板模型是一種在工程結(jié)構(gòu)分析中廣泛應(yīng)用的結(jié)構(gòu)模型，對(duì)彈性支承板的分析40多年來也一直是工程師所關(guān)心的問題.彈性支撐板在工程上是種典型結(jié)構(gòu).

在克希霍夫薄板理論假設(shè)下，忽略的z方向上的剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量會(huì)產(chǎn)生很大誤差，從而導(dǎo)致危險(xiǎn)設(shè)計(jì).而中厚板理論能夠突破薄板理論的局限性，在分析中等厚度板時(shí)具有簡(jiǎn)單性和精確性.

國(guó)外雜志中，Liew等（1996）應(yīng)用pb-2 Ritz法研究了任意四邊形厚板的自由振動(dòng)問題.W.Karunasena等（1997）應(yīng)用pb-2 Ritz法研究了一般三角形板考慮剪切變形的自由振動(dòng)問題.F.-L.Liu等（1999）應(yīng)用微分求積單元法分析了具有混合邊界的矩形中厚板的自由振動(dòng)問題.D.Zhou（2001，2002）應(yīng)用pb-2 Ritz法和鐵木辛哥梁?jiǎn)卧碚摲治隽司哂袕椥灾ё蔚拿鞯铝职宓淖杂烧駝?dòng)問題和應(yīng)用一系列變化梁函數(shù)來分析具有點(diǎn)支撐且厚度變化的矩形板的自由振動(dòng)問題.Lanhe Wu等（2005）應(yīng)用微分容積法分析了任意形狀中厚板的自由振動(dòng)問題.

2 矩形板在不同邊界條件下的精度分析

分析一：考慮與文獻(xiàn)[1,4]相同條件的四邊簡(jiǎn)支（SSSS）的矩形板的振動(dòng)，四邊簡(jiǎn)支邊界表達(dá)式中的冪指數(shù)S1，S2，S3，S4為1，其余為0，定義無因次固有頻率t=0.001a.計(jì)算結(jié)果分別列于表1，與文獻(xiàn)[1，4]結(jié)果精度比較繪于圖1.

表1 四邊簡(jiǎn)支薄板自由振動(dòng)的固有頻率

由表1和圖1可以知道，當(dāng)板厚t/a=0.001時(shí)，本文四邊簡(jiǎn)支時(shí)矩形板的固有頻率結(jié)果收斂較快，而且當(dāng)隨著長(zhǎng)寬比的逐漸增大各階頻率系數(shù)也逐漸增大.

分析二：為了驗(yàn)證方法的收斂性和有效性，考慮與文獻(xiàn)[1,4]相同條件的四邊固定（CCCC）的矩形板的振動(dòng)，四邊固定時(shí)邊界表達(dá)式中的冪指數(shù)Si為1.板的幾何尺寸板長(zhǎng)為a板寬為b,定義無因次固有頻率為質(zhì)量密度，D為板的抗彎剛度，ω為固有頻率.板厚度分別取t=0.2a.其中表2相當(dāng)于文獻(xiàn)[1，4]中四邊彈簧時(shí)Sw=108，SΦ=108的情況.計(jì)算結(jié)果分別列于表2，與文獻(xiàn)[1,4]結(jié)果精度比較分別繪于圖2.

由表2和圖2可以知道，當(dāng)板厚t/a=0.001時(shí)，p=10時(shí)本文四邊固定時(shí)矩形板的固有頻率已和文獻(xiàn)[1,4]的結(jié)果符合較好；從圖2可以看出無量綱固有頻率隨著長(zhǎng)寬比的逐漸增大各階頻率系數(shù)也逐漸增加.

圖1 四邊簡(jiǎn)支薄板（t/a=0.001）無量綱固有頻率精度比較（a/b=0.4）

表2 四邊固定厚板自由振動(dòng)的固有頻率

圖2 四邊固定厚板（t/a=0.2）無量綱固有頻率精度比較

由表2和圖2可以知道，當(dāng)板厚t/a=0.2時(shí)，p=8開始本文四邊固定時(shí)矩形厚板的固有頻率結(jié)果收斂較快，當(dāng)p=10時(shí)本文結(jié)果符合較好.

以上算例表明，本文方法對(duì)計(jì)算不同邊界條件下支承的矩形板的固有頻率有優(yōu)良的數(shù)值精度.

〔1〕LEISSA A W.The free vibration of rectangular plates [J].Journal of Sound and Vibration,1973,31(3):257-293.

〔2〕W.Karunasena and S.Hittipornohai Free vibration of shear-deformable general triangular plates Journal of Sound and Vibration 1997,199(4)：595-613.

〔3〕Y.Xiang,K.M.Liew and S.Kitipornchai Vbration analysis of rectangular Mindlin plates resting on elastic edge suppors Journal of Sound and Vibration 1997,204(1)：1-16.

〔4〕XIANG Y,LIEW K M,KITIPORNCHAI S.Vbration analysis of rectangular Mindlin plates resting on elastic edge suppors[J].Journal of Sound and Vibration,1997, 204(1):1-16.

TU311

A

1673-260X（2014）07-0051-02

2013年安徽高校省級(jí)優(yōu)秀青年人才基金項(xiàng)目（KJ2013Z106）；2012年度國(guó)家級(jí)創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃創(chuàng)新訓(xùn)練項(xiàng)目（201212216007）