數(shù)學(xué)概念教學(xué)中存在的問題及優(yōu)化策略

金力飛

一、存在的問題

1.情境創(chuàng)設(shè)——重情境、輕問題。在概念教學(xué)中創(chuàng)設(shè)情境，能引起對數(shù)學(xué)意義的思考的是情境中的數(shù)學(xué)問題，而不是情境本身，可見數(shù)學(xué)問題是情境的核心。但“重情境、輕問題”，甚至“為情境而情境”的現(xiàn)象卻普遍存在于各種概念教學(xué)的課堂中。

2.概念構(gòu)建——重結(jié)果、輕過程。在以往的教學(xué)中，“一個定義三項注意”式的教學(xué)很常見，許多教師采用直接向?qū)W生“拋”出概念，再強調(diào)一些注意事項的方式進行概念教學(xué)。他們不愿意在概念教學(xué)上多花時間，認為讓學(xué)生多做題目才是最實在的。當(dāng)前，新課程下的數(shù)學(xué)概念教學(xué)表面上是“注重過程，揭示背景”，其實質(zhì)并沒有讓學(xué)生經(jīng)歷概念形成的過程。

3.問題設(shè)計——重分解、輕思維。不少教師對“問題串”設(shè)計的理解存在偏差，在問題設(shè)計的時候過多地關(guān)注細節(jié)，追求面面俱到，將一個具有豐富數(shù)學(xué)思維的問題分解成若干個小問題，以小問題的解決“替代”數(shù)學(xué)思維過程。

4.例題選擇——重技巧、輕思想。例題的講解與示范不僅有助于進一步理解概念的內(nèi)涵與外延的作用，還擔(dān)負著把知識轉(zhuǎn)化為能力的重要使命。但在例題選擇上存在的問題是：與當(dāng)前內(nèi)容脫節(jié)，題目太難，技巧太強，不重視數(shù)學(xué)思想。

5.課堂小結(jié)——重形式、輕升華。課堂小結(jié)往往會被一些教師所忽視，或者很少精心準(zhǔn)備，或者流于形式，或者由于時間安排不當(dāng)草草收場。

二、優(yōu)化概念教學(xué)的策略

1.創(chuàng)設(shè)有效情境，激活學(xué)生思維

在概念教學(xué)中創(chuàng)設(shè)情境的目的是從熟悉的背景出發(fā)，利用學(xué)生原有的知識經(jīng)驗，激發(fā)由情境引起的數(shù)學(xué)意義的思考，從而抽象出數(shù)學(xué)概念，并經(jīng)歷概念的形成過程。顯然，有效的問題情境應(yīng)該基于學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，創(chuàng)設(shè)的目的是提出問題，激發(fā)探求新知的欲望，激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

案例1：“直線的傾斜角”概念的引入

問題1：對于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一條直線，它的位置由哪些條件確定？

問題2：我們知道兩點確定一條直線。一點能確定一條直線的位置嗎？已知直線 經(jīng)過點P，直線 的位置能確定嗎？

問題3：過一點P可以作無數(shù)條直線l1，l2，l3……它們都經(jīng)過點P（組成一個直線束），這些直線的區(qū)別在哪里呢？

問題4：容易看出，它們的傾斜程度不同。我們可以怎樣描述直線的傾斜程度呢？

概念引入的必要性明顯——“這些直線區(qū)別在哪里呢？”“怎樣描述直線的傾斜程度呢？”引導(dǎo)學(xué)生參與到概念的定義過程有很大的開放性。學(xué)生可以提出自己的方案——“再創(chuàng)造”。那么，概念教學(xué)怎樣引入更自然，更能激發(fā)學(xué)生的思維？應(yīng)盡可能提供學(xué)生熟悉的實例，在對實例所反映的特征的觀察、比較基礎(chǔ)上進行概括；也可以設(shè)置認知沖突，讓學(xué)生感受概念產(chǎn)生的必要性，參與概念的定義過程；也可以從數(shù)學(xué)知識、方法之間的聯(lián)系引入，等等。

2.經(jīng)歷概念形成，注重學(xué)生感悟

由于數(shù)學(xué)高度抽象的特點，要注意體現(xiàn)基本概念的來龍去脈。在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從具體實例抽象出數(shù)學(xué)概念的過程，在初步運用中逐步理解概念的本質(zhì)。概念形成的教學(xué)通常圍繞著概念的核心展開，實際上是掌握同類事物的共同、關(guān)鍵屬性的過程，因此，需要有一個從外到內(nèi)、由表及里的過程。

案例2：“函數(shù)”概念的形成

問題1：同學(xué)們在初中已學(xué)過“函數(shù)”，請你舉幾個函數(shù)的例子。

設(shè)計意圖：通過舉例來回顧“變量說”，教師根據(jù)學(xué)生所舉例子，引導(dǎo)學(xué)生明確分別用解析式、圖像、表格表示對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)。

問題2：判斷舉出的例子是否能夠表示一個函數(shù)，并要求說明理由。

例1：如圖2中的曲線記錄的是某天的氣溫變化曲線圖，這是一個函數(shù)嗎？為什么？

例2：下面是某位學(xué)生在上學(xué)期各次數(shù)學(xué)考試中，考試序號與數(shù)學(xué)成績的對應(yīng)表：

成績是序號的函數(shù)嗎？為什么？

追問：“如果這位學(xué)生生病了，沒參加第五次數(shù)學(xué)考試，那還表示函數(shù)嗎？”

問題3：（追問舉例的同學(xué)）你憑什么說自己舉的例子表示一個函數(shù)？其他同學(xué)也思考一下，他們所舉的是函數(shù)的例子嗎？為什么？

設(shè)計意圖：讓學(xué)生用概念解釋問題，了解他們對函數(shù)本質(zhì)的理解狀況。

要注意突出“兩個變量x,y”，對于變量x的“每一個”確定的值，另一個變量y有“唯一”確定的值與之對應(yīng)，所以“y是x的函數(shù)”。特別要求學(xué)生指出對應(yīng)關(guān)系是什么？x取哪些數(shù)？即取值范圍，感受數(shù)集A的存在，y值的構(gòu)成情況，為引入兩個數(shù)集做準(zhǔn)備。

問題4：前面我們學(xué)習(xí)了“集合”，你能用“集合”和對應(yīng)的語言描述函數(shù)概念嗎？

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生把初中學(xué)過的函數(shù)概念與高一剛學(xué)的集合知識聯(lián)系起來，用集合的觀點解釋已有概念，獲得對函數(shù)概念的新認識。

3.優(yōu)化問題設(shè)計，引導(dǎo)思維參與

學(xué)生的有效思維量是數(shù)學(xué)課堂效率的體現(xiàn)，一個好的“問題串”可以持續(xù)地引導(dǎo)學(xué)生思考，從而可以起到使學(xué)生對原有的知識、技能進行再認識、再加工，進一步深化提高；可以把學(xué)生頭腦中已有的相關(guān)認知能力調(diào)動起來，積極參與到新的學(xué)習(xí)活動中來，為構(gòu)建新知識做準(zhǔn)備。

案例3：在“向量的概念及表示”一課中設(shè)計以下“問題串”的用來引導(dǎo)學(xué)生抽象概括一系列“向量”的概念。

問題1：你能否舉出一些既有方向，又有大小的量？

設(shè)計意圖：激活學(xué)生的已有相關(guān)經(jīng)驗。

追問1：生活中有沒有只有大小，沒有方向的量？請你舉例。

設(shè)計意圖：形成區(qū)別不同量的必要性，概念抽象需要典型豐富的實例。讓學(xué)生舉例可以觀察到他們對概念屬性的領(lǐng)悟，形成對概念的初步認識，為進一步抽象概括做準(zhǔn)備。

問題2：怎樣把你所舉例子中的向量表示出來呢？

設(shè)計意圖：讓學(xué)生先嘗試向量的表示方法，自覺接受用帶有箭頭的線段（有向線段）來表示向量。

追問2：以前AB與BA表示同一線段，現(xiàn)在可以表示同一向量嗎？為什么？

問題3：實數(shù)中有0,1這兩個特殊數(shù)字，向量中哪些向量較特殊？（學(xué)生普遍認為零向量、單位向量是特殊的。）

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會觀察一組對象。面對一組對象，首先注意特殊對象是自然的。

追問3：大家為什么認為它們最特殊？你是怎么想的？

設(shè)計意圖：挖掘結(jié)果背后的思維過程。企圖引導(dǎo)學(xué)生把向量集合與實數(shù)集類比。

問題4：觀察正六邊形 ，在圖中的一些線段加上箭頭表示向量，請說說你所標(biāo)注的向量之間的關(guān)系。（舉例）

設(shè)計意圖：不是先給出相等向量、平行向量、共線向量、相反向量的定義，再做練習(xí)鞏固，而是讓學(xué)生參與概念的定義過程，使概念成為學(xué)生觀察、歸納、概括之后的自然產(chǎn)物。

問題5：你畫了哪幾個向量？你認為它們有怎樣的關(guān)系？

設(shè)計意圖：不僅關(guān)注結(jié)果，更要關(guān)注過程，尤其要挖掘?qū)W生用向量概念思維的過程。

問題6：由相等向量的概念知道，向量完全由它的方向和長度確定。由此，你能說說數(shù)學(xué)中的向量與物理中的矢量的異同嗎？另外，向量的平行、共線與線段的平行、共線有什么聯(lián)系與區(qū)別？

設(shè)計意圖：讓學(xué)生注意把向量概念與物理背景、幾何背景明確區(qū)分，真正抓住向量的本質(zhì)特征，完成“數(shù)學(xué)化”的過程。

4.精心選擇例題，聚焦概念核心

一個好的例題往往承載著概念的本質(zhì)，蘊含著豐富的數(shù)學(xué)思想。在形成一個新的數(shù)學(xué)概念之后，精心選擇有助于概念理解的例題，是概念的“精致”過程中不可替代的環(huán)節(jié)。

案例4：在學(xué)習(xí)了橢圓的概念后可以選擇這樣的例題來幫助學(xué)生深化概念。

例1：已知橢圓的兩個焦點的坐標(biāo)分別是并且經(jīng)過點 求其標(biāo)準(zhǔn)方程。

變式1：已知橢圓的兩個焦點的坐標(biāo)分別是橢圓上一點P到兩焦點的距離之和為8，求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

變式2：已知橢圓的兩個焦點之間的距離為4，橢圓上一點P到兩焦點的距離之和為8，求其標(biāo)準(zhǔn)方程。

例題1是教學(xué)內(nèi)容的“最佳原型”。它包含了橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、a,b,c的關(guān)系等知識內(nèi)容，包括了待定系數(shù)、解析思想、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，也示范了解題的程序和格式。在此基礎(chǔ)上，再完成兩個變式。例題及變式聚焦于概念的理解和應(yīng)用，只要理解了概念就能解答，而不是給學(xué)生設(shè)置陷阱，在與橢圓概念沒有太大關(guān)系的問題上制造麻煩。這類例題有助于學(xué)生養(yǎng)成運用概念思維的習(xí)慣，有助于學(xué)生理解概念的本質(zhì)。

5.創(chuàng)新小結(jié)形式，體現(xiàn)螺旋上升

課堂小結(jié)應(yīng)圍繞本節(jié)課的核心，抓住概念的本質(zhì)，設(shè)計巧妙的課堂小結(jié)是對整個課堂教學(xué)的整合、拓展和提高，是一個具有“畫龍點睛”之效的環(huán)節(jié)。

案例5：演繹推理的小結(jié)

師：到現(xiàn)在為止，我們學(xué)習(xí)了兩種推理方式——合情推理與演繹推理，那么它們之間有什么區(qū)別與聯(lián)系呢？請完成表格（楷體字部分）。

學(xué)生討論（教師參與其中）完成表格，同時，老師指出演繹推理是證明數(shù)學(xué)結(jié)論、建立數(shù)學(xué)知識體系的重要思維過程。但數(shù)學(xué)結(jié)論、證明思路的發(fā)現(xiàn)，主要靠合情推理。通過一個表格，使學(xué)生理解了幾個推理的聯(lián)系與區(qū)別，加深了理解，不會再混淆。