關于一類新的弱奇性W endroff型積分不等式的注記

吳宇，唐敏，曾德宇

(1.宜賓學院數學研究所，四川宜賓644007；2.西南民族大學預科教育學院,四川成都610041；3.宜賓市第一中學校,四川宜賓644000；4.四川大學電子信息學院，四川成都610041)

關于一類新的弱奇性W endroff型積分不等式的注記

吳宇1，唐敏2，曾德宇3,4

(1.宜賓學院數學研究所，四川宜賓644007；2.西南民族大學預科教育學院,四川成都610041；3.宜賓市第一中學校,四川宜賓644000；4.四川大學電子信息學院，四川成都610041)

討論了一類新的弱奇性Wendroff型積分不等式解的估計，所得結果推廣了已有的相關結果,并將結果應用到研究微分方程解的有界性中.

弱奇異積分不等式；解的估計；兩個變量；非線性

奇異積分不等式對常微、偏微及泛函微分方程問題的研究有重要的作用.大批學者的研究取得了一系列較好的成果[1-5].2008年Cheung[6]研究了一類含有兩個變量的弱奇性Wendroff型積分不等式

2010年Wang[7]研究了較廣的一類弱奇性Wendroff型積分不等式

2013年吳宇等[8]研究了一類新的弱奇性Wendroff型積分不等式

2013年曾德宇等[9]研究了較廣的一類弱奇性Wendroff型積分不等式

基于文[8]、[9]的工作,考慮更廣的一類新的弱奇性Wendroff型積分不等式

解的估計.本文給出的解的估計更具一般性.

1 預備知識

為方便論述,首先引入引理.

引理[3]若α,β,γ,p為正常數,則

符號說明：R=(-∞,+∞),R+=(0,+∞),C(X,Y)表示從X到Y的連續函數的集合,D1z(x,y)和D2z(x,y)表示分別對x和y的一階偏導數.

2 主要結果

考慮不等式(0.5)且假設下列條件成立:

定理1若u(x,y)∈C(R2+,R)且滿足弱奇性不等式

其中非負參數αi,βi,γi(i=1,2)滿足條件(H),函數a(x,y)、f(x,y,s,t)、b(y)滿足條件(L),則

其中

令

由本文引理得

(2.3)式可化為:

將上式兩邊q次方,應用文[2]中不等式“若n為正整數,而r(≥1),A1,…,An是非負數,則(A1+…+ An)r≤nr-1(+…+)”,可得

令

有uq(x,y)≤z(x,y),即u(x,y)≤z1q(x,y),由定理1中的定義可得且有

對z(x,y)關于x求偏導得

有

上式兩邊從0到x積分,得

有

所以

由u(x,y)≤z1q(x,y)有

定理得證.

定理2如果u(x,y)∈C(R2,R)且滿足弱奇異積分不等式(0.5),其中非負參數αi,βi,γi(i=1,2,3,4)滿足條件(H),函數a(x,y)、b(y)、fi(x,y,t,s)(i= 1,2)、w(u)滿足條件(L),則

X,Y∈R+且為滿足下式的最大值

其中x≥0,y≥0.令

由本文定理1有

由b(x,y)的定義有u(x,y)≤g(x,y) b(x,y),即有

由0≤b(y)≤y,得

令

由本文引理得

其中x≥0,y≥0.由(2.12)式有

將上式兩邊q次方,應用文[2]中不等式“若n為正整數,而r(≥1),A1,…,An是非負數,則(A1+…+An)r≤nr-1(+…+”,可得

對z(x,y)關于x求偏導及利用0≤b(y)≤y單調不減及(u)的定義,w(u)關于u單調不減可得

所以

上式兩邊從0到x積分,得

所以

可得

其中x∈(0,X],y∈(0,Y].定理得證.

注：當b(y)≡y,f2(x,y,s,t)≡0時,才是文[9]所研究的情形.

3 在弱奇性微分方程中的應用

考慮

令α1=α2=1,β1=β2=,γ1=γ2=,由且p＞1,可得1＜p＜2;

于是

由本文定理2可得

其中x≥0,y≥0.表明不等式(3.1)中當x≥0,y≥0時,u(x,y)是有界的.

[1]Henry D.Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations[M]. New York:Springer-Verlag,Berlin,Heidelberg,1981.

[2]Medved M.A new approach to an analysisofHenry type integral inequalities and their Bihariversion[J].JMath Anal Appl,1997,214 (2):349-366.

[3]馬慶華,楊恩浩.弱奇性Volterra積分不等式解的估計[J].應用數學學報,2002,25(3):505-515.

[4]吳宇,鄧圣福.一類弱奇性Volterra積分不等式的推廣[J].四川大學學報:自然科學版,2004,41(3):473-478.

[5]吳宇.一類新的弱奇性Volterra積分不等式[J].應用數學學報, 2008,31(4):584-591.

[6]CheungW S,Ma Q H,Tseng S.Some new nonlinearweakly singular integral inequalities ofWendroff typewith applicayions[J],Journal of Inequalities and Applicayions,2008,Article ID 909156,13 pages.

[7]Wang H,Zheng K,Som nonlinearweakly singular integral inequalities with two variables and applications[J].Journal of Inequalities and Applications,2010：12,Article ID 345701.

[8]吳宇,唐敏,周察金.一類新的弱奇性Wendroff型積分不等式解的估計[J].應用數學學報,2013,36(1):97-107.

[9]曾德宇,唐敏,吳宇.關于一類弱奇性Wendroff型積分不等式的注記[J].宜賓學院學報,2013,13(12):1-4.

【編校：許潔】

Estimateson Solutionsof a New W eakly SingularW endroff Integral Inequalities

WUYu1,TANGMin2,ZENGDeyu3,4
(1.Institute ofMathematical Science,Yibin University,Yibin,Sichuan 644007,China;2.School ofPreparatory Education, SouthwestUniversity forNationalities,Chengdu,Sichuan 610041,China;3.The First High School ofYibin,Yibin,Sichuan 644000,China;4.CollegeofElectronicsand Information Engineering,Sichuan University,Chengdu,Sichuan 610041,China)

Estimate on solutions of a new weakly singularWendroff integral inequalitieswere discussed,which generalized some known weakly singular inequalities for functions in two variables.Application example in the roundedness of the solution ofdifferentialequationwasalsogiven.

weakly singular integral inequality;estimateon solutions;two variables;nonlinear

O178

A

1671-5365(2014)12-0001-06

2014-04-10修回：2014-04-23

四川省教育廳重點項目(10ZA173)；宜賓學院自然科學重點項目(2012S10)

吳宇(1958-)，女，教授，理學學士，研究方向為積分方程與不等式

時間：2014-05-16 11:32

http://www.cnki.net/kcms/detail/51.1630.Z.20140516.1132.008.htm l