CAT(0)空間中漸進非擴張映象的強收斂定理

董建，唐金芳

(宜賓學院數學學院，四川宜賓644007)

CAT(0)空間中漸進非擴張映象的強收斂定理

董建，唐金芳

(宜賓學院數學學院，四川宜賓644007)

在CAT(0)空間中對三個漸進非擴張映像構造了迭代算法，在適當的條件下證明了該算法強收斂于它們的公共不動點，所得結果推廣了最近一些學者的研究結論.

CAT(0)空間；漸進非擴張映像；強收斂定理；公共不動點

設X是CAT(0)空間,用(1-t)x⊕ty表示連接x和y的測地線段中的唯一的點z,使得

其中t∈[0,1].

Kirk[1]首先在CAT(0)空間中研究了不動點理論,證明了定義在完備的CAT(0)空間中的有界閉凸子集上的非擴張映像總是存在不動點的.從此以后, CAT(0)空間中各種映像的不動點理論的研究得到了迅速發展[2-7].

設E是Banach空間,K是E的非空閉凸子集, T:K→K是映像.Mann迭代序列定義如下:

其中n∈N,{} an是(0,1)中的序列.

進一步,Ishikawa迭代序列定義如下:

其中n∈N,{an}和{bn}都是(0,1)中的序列.

2007年,Agarwal等[8]在Banach空間E中證明如下的迭代序列的收斂性:

其中K是E的非空閉凸子集，n∈N,{an}和{bn}都是(0,1)中的序列.

2012年,Sahin A等[9]在CAT(0)空間中得到了如下的結論：設K是完備的CAT(0)空間X的非空閉凸子集,T:K→K是{} un漸進擬非擴張映像,滿足T的不動點集F(T)≠φ且.定義序列{} xn如下:

其中n∈N,{an}和{bn}都是(0,1)中的序列.如果或者,其中,那么序列{xn}強收斂到T的一個不動點.

受上述文獻的啟發,本文在CAT(0)空間中對三個漸進非擴張映像構造迭代算法,在適當的條件下證明了該算法強收斂于這三個漸進非擴張映像的公共不動點.

1 預備知識

設(X,d)是度量空間,K是X的非空閉凸子集.稱映像T:K→K是非擴張的,如果對任意的x,y∈K有

稱映像T:K→K是具系數{} un的漸進非擴張映像,如果存在[0,+∞)中的序列{un}滿足使得對任意的x,y∈K,任意的n∈N有

稱映像T:K→K是L-Lipschitzian的,如果存在常數L＞0使得對任意的x,y∈K都有

稱映像T:K→K是一致L-Lipschitzian的,如果存在常數L＞0使得對任意的n∈N,任意的x,y∈K都有

顯然,漸進非擴張映像一定是一致L-Lipschitzian映像.

稱映像T:K→K滿足條件(I),如果T的不動點集F(T)≠φ并且存在一個單調不減的函數f:[0,∞)→[0,∞)滿足f(0)=0,f(r)＞0,?r∈(0,∞),使得對任意的x∈K有

引理1.1[10]設X是CAT(0)空間,對任意的t∈[0,1],任意的x,y,z∈X,下列不等式成立:

引理1.2[11]設X是CAT(0)空間,任取x∈X,序列{tn}?[b,c]滿足b,c∈(0,1)及0＜b(1-c)≤.如果X中的序列{xn}和{yn}滿足

引理1.3[12]設{an},{bn}和{} cn都是非負實數序列,滿足如果,那么極限存在.

2 主要結果

定理2.1設K是完備的CAT(0)空間X的非空閉凸子集,T,S,R是三個分別具系數{ln},{kn},{un}的漸進非擴張映像,映像S滿足條件(I).對任意的x1∈X,定義序列{xn}如下:

其中{αn},{βn},{γn}都是[b,c]中的序列，滿足b,c∈(0,1)及0＜b(1-c)≤.如果

并且

那么序列{} xn強收斂到Γ中的一點.

事實上,對任意的p∈Γ,有

和

記bn=ln+kn+un+knun，由(2.1)(2.3)(2.4)得

如果c=0,那么定理2.1的結論顯然成立.下面考慮c≠0的情況.

事實上,對任意的p∈Γ,由(2.3)(2.4)得

兩邊取上極限得

和

注意到R是{} un漸進非擴張映像,由(2.7)得

兩邊取上極限得

由(2.1)和(2.6)得

由引理1.2和(2.8)(2.10)(2.11)得

由(2.5)得

兩邊取下極限得

由(2.9)和(2.13)得

這表明

注意到S是{} kn漸進非擴張映像,所以

兩邊取上極限得

由引理1.2和(2.6)(2.14)(2.15)得

由(2.5)得

兩邊取下極限,由(2.12)得

由(2.8)和(2.17)得

這表明

注意到T是{} ln漸進非擴張映像,所以

兩邊取上極限得

由引理1.2和(2.6)(2.18)(2.19)得

由(2.1)有

由(2.12)和(2.20)得

注意到

由(2.16)(2.21)得

第三步,證明序列{} xn是K中的Cauchy序列.

因為f:[0,∞)→[0,∞)是單調不減函數，且滿足f(0)=0,f(r)＞0,?r∈(0,∞)，所以

于是

從而對任意的ε＞0,存在自然數n0,當n＞n0時,有

此時,必存在p1∈Γ,當n＞n0時,有

當n＞n0時,對任意的自然數m,由(2.23) (2.26)有

這表明序列{xn}是K中的Cauchy序列.由于K是完備的CAT(0)空間X的非空閉凸子集,所以序列{xn}一定收斂于K中的一點,不妨設

其中q∈K.

第四步,證明q∈Γ.

事實上,對任意的ε＞0,由(2.27)知存在自然數n1,當n＞n1時,有

由(2.25)知存在自然數n2,當n＞n2時,有

注意到

由(2.28)(2.29)知對任意的ε＞0,當n＞max{n1,n2}時,有d(Sq,q)＜ε.由ε的任意性知d(Sq,q)=0,即 q∈F(S).用相同的方法可證q∈F(T)和q∈F(R).故q∈Γ.

這就完成了定理2.1的證明.

[1]Kirk W A.Geodesic geometry and fixed point theory II[C].InternationalConference on Fixed Point Theory and Applications,Yokohama Publications,Yokohama,Japan,2004:113-142.

[2]Shahzad N,Markin J.Invariantapproximations for commutingmappings in CAT(0)and hyper convex spaces[J].Journal ofMathematicalAnalysisand Applications,2008,337(2):1457-1464.

[3]Leustean L.A quadratic rate of asymptotic regularity for CAT(0) spaces[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2007,325(1):386-399.

[4]Shahzad N.Fixed point results formultimaps in CAT(0)spaces[J]. Topology and Its Applications,2009,156(5):997-1001.

[5]Tang JF,Chang SS,Lee HW Jet al.Iterative algorithm andΔ-convergence theorems for total asymptotically nonexpansive mappings in CAT(0)spaces[J].Abstract and Applied Analysis,2012, Article ID 965751.doi:10.1155/2012/965751.

[6]Khan A R,KhamsiM A,Fukhar-ud-din H.Strong convergence of a general iteration scheme in CAT(0)spaces[J].Nonlinear Anal.2011,74(3):783-791.

[7]Tang JF.The strong convergence theorem of asymptotically quasinonexpansive non-self mappings in CAT(0)spaces[J].Journal of Yibin University,2013,13(6):1-3.

[8]Agarwal R P,O’Regan D,Sahu D R.Iterative construction of fixed points of nearly asymptotically nonexpansivemappings[J].NonlinearConvex Anal,2007,8(1):61-79.

[9]Sahin A,BasarirM.On the strong convergence ofamodified S-iteration process for asymptotically quasi-nonexpansivemappings in a CAT(0)space[J].Fixed point theory applications,2013.doi: 10.1186/1687-1812-2013-12.

[10]Dhompongsa S,Panyanak B.OnΔ-convergence theorems in CAT(0)spaces[J].ComputMath Appl,2008(56):2572-2579.

[11]Nanjaras B,Panyanak B.Demiclosed principle for asymptotically nonexpansive mappings in CAT(0)spaces[J].Fixed Point Theory and Applications,vol.2010,Article ID 268780,14 pages,2010.

[12]Nammanee K,Noor M A,Suantai S.Convergence criteria ofmodified Noor iterations with errors for asymptotically nonexpansive mappings[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2006,314(1):320-334.

【編校：許潔】

The Strong Convergence Theorem of Asym ptotically Nonexpansive Mappings In CAT(0)Spaces

DONG Jian,TANG Jinfang
(SchoolofMathematics,Yibin University,Yibin,Sichuan 644007,China)

The algorithm for solving the common fixed point problem of three asymptotically nonexpansivemappingswas studied in CAT(0)spaces.Under suitable conditions the strong convergence theorem to approximating a common fixed pointof three asymptotically nonexpansivemappingswas proved.The results extend and improve the corresponding resultsannounced by some others.

CAT(0)spaces;asymptotically nonexpansivemappings;strong convergent theorem;common fixed point

O177.5

A

1671-5365(2014)12-0007-04

2014-05-26修回：2014-06-24

四川省教育廳項目(14ZA0271)；宜賓學院科研項目(2013YY06)

董建(1962-)，男，副教授，本科，研究方向為非線性分析和微分方程

時間：2014-06-27 14:20

http://www.cnki.net/kcms/detail/51.1630.Z.20140627.1420.001.htm l