廣義指數分布在TFR模型中的參數估計

張莉

（西華師范大學數學與信息學院，四川南充637000）

廣義指數分布在TFR模型中的參數估計

張莉

（西華師范大學數學與信息學院，四川南充637000）

廣義指數分布是應用非常廣泛的一種分布，近年對該分布的討論主要是常規壽命試驗數據的統計分析方法，研究重點是參數的點估計.但基于不完全樣本、應用TFR模型、探討廣義指數分布在步加試驗中的參數估計的文獻卻很少見.對此，利用EM算法給出了參數估計的顯性表達式，并通過數據模擬說明了估計方法的可行性.

廣義指數分布；TFR模型；簡單步加試驗；EM算法

廣義指數分布是應用非常廣泛的一種分布，近年對該分布的討論主要是常規壽命試驗數據的統計分析方法，研究重點是參數的點估計，如文獻[1]利用EM算法給出了廣義指數分布在分組和右截尾數據下的參數估計；文獻[2]討論了廣義指數分布的極大似然估計，并得到其漸進分布；文獻[3]利用逆矩法估計廣義指數分布的未知參數，并給出了構造尺度參數區間估計的方法；文獻[4]討論了廣義指數分布在恒加試驗中的參數估計.但目前基于分組數據，應用TFR模型，探討廣義指數分布在步加試驗中的參數估計的文獻卻很少見.

鑒于此，本文試圖討論在簡單步加試驗中，應用TFR模型后，不完全樣本情況下的參數估計.

1 試驗安排

將n個相互獨立的元件在t1,0時刻投入到加速應力水平S1下做壽命試驗，到t1,m1時刻為止共有R1個失效，同時將應力水平上升到S2，余下的未失效元件在S2下繼續做試驗，到t2,m2時觀測到有R2個失效，并停止整個試驗，記t0=t1,0=0,ti=ti,mi=ti+1,0, i=1,2.

假設在Si(i=1,2)下觀察時刻為ti,0,ti,1,...,ti,mi并滿足ti,0＜ti,1＜...＜ti,mi,在(ti,j-1,ti,j]內元件失效個數為ri,j，j=1,...,mi，最后未失效的個數為n-R，其中，

2 基本假定

假定1各個應力下的壽命數據服從廣義指數分布，其密度函數、分布函數分別為

其中，β＞0稱為模型的形狀參數，λ＞0稱為模型的尺度參數.當形狀參數β=1時，模型即為一般的指數分布模型.

假定2[5]不同應力水平Si,Sj下產品的失效機理與正常應力水平S0下的失效機理相同，反映在分布參數上即形狀參數β不隨應力水平變化而變化.

假定3[6]（TFR模型）在步加試驗中，當應力從Si-1提高到Si，可靠度函數之間存在如下關系：

其中，可靠度函數的下標對應各個應力水平的下標，t0=0,α-1=α0=1，因子αi＞1,i=1,...,k,值將由應力Si和Si+1確定，而且有可能與時間變點ti有關.

為記作簡潔，令μ=(β1,λ1,α1)=(β,λ,α)，不難得到應力S2下的密度函數為

3 參數估計

為了得到各參數的估計值，現考慮EM算法.

設n個產品的壽命X1,X2,...,Xn獨立同分布于廣義指數分布，記X=(X1,X2,...,Xn)，X是不可觀測的，能觀測到的是Y=(r1,1,r1,2,...,r1,m1;r2,1,r2,2,...,r2,m2; n-R),它們一起構成了完全數據Z=(X,Y).為了應用EM算法，再引入隨機變量Xih、Xw，它們分別表示落入區間(ti,j-1,ti,j]和(t2,+∞)的產品壽命.下面根據EM算法中的E步和M步來獲得參數的極大似然估計.

由于X的信息包含了觀測結果Y所有的信息，于是有p(μ|X,Y)=p(μ|X).由廣義指數分布的密度函數可以得到

E步：給定參數的第n步估計μ(n)，則第n+1步的Q函數為

當t1,j-1＜X≤t1,j時，X的條件密度函數為

當t2,j-1＜X≤t2,j時，X的條件密度函數為

當X＞t2時，X的條件密度函數為

則

M步：極大化Q函數的參數β,α,λ的第n+1步估計β(n+1)，α(n+1)，λ(n+1)，即將Q(μ|μ(n),Y)分別對參數β,α,λ求導，并令其等于零，得到Q(μ|μ(n),Y)的極大值點β(n+1)，α(n+1)，λ(n+1).

經過整理，得到

這樣就完成了一次迭代(α(n),λ(n))→(α(n+1),λ(n+1))，重復上述步驟直到(α,λ)收斂為止.

4 數據模擬

現運用Monte Carlo方法產生在簡單步加試驗下服從廣義指數分布的隨機數，其參數真值記作β=2,α=2,λ=0.5.選擇樣本量為n=1 000的模擬，產生1 000次隨機數，觀測時刻設為t1,1=5,t1,2=10, t2,1=15,t2,2=20.通過有限次迭代和數據整理后，得到表1的結果.

表1 隨機數的迭代結果

從表中結果看到，參數估計值與真值非常接近，且相對誤差很小，說明估計的精度較好，方法有效.

[1]田玉柱,田茂再,陳平.數據分組和右截尾數據情形下廣義指數分布的參數估計及應用[J].數學進展,2012,6(12):755-762.

[2]沈作斌.廣義指數分布下區間刪失數據的參數估計[J].教育教學,2010(2):20.

[3]唐玉娜,施瑞,王炳興.廣義指數分布的統計推斷[J].統計與決策, 2008(17):18-19.

[4]張莉.廣義指數分布在恒加試驗中的參數估計[J].內江師范學院學報,2013(12):4-7.

[5]唐玉娜.廣義指數分布基于加速壽命試驗數據的統計分析[D].杭州:浙江工商大學,2008.

[6]張莉,鄭宇棠.指數分布TFR模型多步步加試驗下的參數估計[J].西華師范大學學報:自然科學版,2012,33(4):371-373.

【編校：許潔】

Parameter Estim ation of Generalized Exponential Distribution in the TFRModel

ZHANG Li
(DepartmentofMath and Information,ChinaWestNormalUniversity,Nanchong,Sichuan 637000,China)

Generalized exponential distribution is applied widely.In recentyears,discussionswith regard to this distribution weremostly statistic analysis about the data in normal life test,and attention wasespecially paid to the pointestimation.But few researches had been done to discuss parameter estimation of the distribution during the step-stress accelerated life testsbased on incomplete specimen and TFRModel.The parameter concrete expressionswasgiven by using EM algorithm.And theestimationmethodwasproved rightby takingadvantageofMonte Carlo stimulation.

generalized exponentialdistribution;TFRModel;the simple step-stressaccelerated life tests;EM algorithm

O213

A

1671-5365(2014)12-0011-03

2014-06-29修回：2014-07-28

西華師范大學科研啟動基金（08b025）

張莉(1982-)，女，講師，碩士，研究方向為概率論與數理統計及其應用、產品的可靠性試驗

時間：2014-08-22 15:23

http://www.cnki.net/kcms/detail/51.1630.Z.20140822.1523.005.htm l