等式約束條件極值存在的必要條件及其應用

唐軍強

（焦作大學基礎部，河南焦作454000）

等式約束條件極值存在的必要條件及其應用

唐軍強

（焦作大學基礎部，河南焦作454000）

從拉格朗日乘子法出發，考慮多元函數在等式約束條件下的極值問題.由線性方程組理論得到多元函數在一個或多個等式約束條件下極值點存在的必要條件.并進一步考慮該條件在優化理論中的應用，通過將不等式約束轉化為等式約束，運用等約束條件下極值存在的必要條件獲得最優解.

多元函數；條件極值；拉格朗日乘子法；駐點；梯度；最優解

關于拉格朗日乘子法求解多元函數等式約束下的極值問題，目前有兩個研究方向：一個是如果有駐點的話，如何求得駐點坐標；另一個是如何判斷所得的駐點是否是極值點，是極大值還是極小值.分別稱其為極值存在的必要條件和充分條件.充分性條件的論證比較多[1-3]；必要性的研究相對較少，原因是拉格朗日乘子法本身就是用來求駐點坐標的.但是拉格朗日乘子法求解該類問題時，經常需要求解一個多元的線性或者非線性方程組，這并不容易.本文從拉格朗日乘子法出發，在文獻[4]、[5]的基礎上，由線性方程組理論推導出n維空間中等式約束條件下極值存在的必要條件.該條件形式更加簡單，可以簡化求解一個多元方程組的困難.進一步考慮該條件在優化理論中的應用，通過將不等式約束轉化為等式約束，運用等式約束下條件極值存在的必要條件獲得最優解.

1 必要條件的推出

1.1三維空間中一個等式約束條件下的極值問題

考慮函數u=f(x,y,z)在條件φ(x,y,z)=0下的極值問題.由拉格朗日乘子法，構造拉格朗日函數L=f(x,y,z)+λφ(x,y,z)，并分別求導得到

通過求解λ并將其代入前三個式子，得到

其實（2）式中的前三個式子就相當于下式

1.2三維空間中兩個等式約束條件下的極值問題

考慮函數u=f(x,y,z)在條件φ1(x,y,z)=0、φ2(x,y,z)=0下的極值問題.由拉格朗日乘子法，構造拉格朗日函數L=f(x,y,z)+λ1φ1(x,y,z)+λ2φ2(x,y,z),并分別求導得到

將（4）式中的前三個式子改寫為

將λ1、λ2看作未知量，由線性方程組理論可知，其有非零解的必要條件是

（5）式是三個梯度向量的混合積.從這里可以看出，結論與1.1相似.由此得到啟發：可以拋開拉格朗日函數，僅僅考慮（3）式或（5）式構成的方程，通過求解該方程得到駐點的各個分量坐標之間的關系，然后再結合條件函數，就可以求得駐點的坐標.

1.3 n(n＞3)維空間中多個等式約束條件下的極值問題

將該問題進一步推廣，考慮n元函數u=f(x1, x2,…,xn)在條件φ1(x1,x2,…,xn)=0，φ2(x1,x2,…, xn)=0,…φk(x1,x2,…,xn)=0(k≤n-1)下的極值問題.構造拉格朗日函數L=f+λ1φ1+λ2φ2+…+ λkφk,并對其求導得到

將（6）式中的前n個式子改寫為

當k=n-1時，（7）式左端矩陣為方陣，其有非零解的必要條件是值問題.即3y2-4z=0.算出f和φ的梯度向量構造矩陣如下

當k＜n-1時，（7）式左端矩陣不是方陣，如果它有一個k+1階子陣行列式不為0，是不可能存在非零解的，從而其有非零解的必要條件是：其所有k+1階子陣行列式均為0.在求解過程中，可以任取其k+1階的子陣并令其行列式為0，駐點坐標只能是它們的交集.下面舉例說明.

例1：求曲面4z=3x2-2xy+3y2到平面x+y-4z=1的最短距離.

解：由點到平面的距離公式，將其轉化為條件極

由1.3的結論，上式存在非零解的必要條件為：左端矩陣任意2階子陣行列式為0.即

分別解之得x=y,6x-2y=1,6y-2x=1.從而應有，代入φ解得，最短距離為.

2 在優化理論中的應用

2.1一般非線性規劃的最優性

非線性規劃，即目標函數或者條件函數中出現有非線性等式或不等式的優化問題.現考慮

其中φi(1≤i≤ki),ψj(1≤j≤kj)關于x1,x2,…,xn均具有一階連續偏導數.假設x*=(,,…,為（8）式的最優解.為了盡可能將該問題敘述清楚，先列舉出所有可能取到最優解的點：

（I）?f=0的點；

（II）目標函數f的不可導點；

（III）用1.3的結論算出的駐點；

（IV）可行域所在的凸多邊形的頂點；

（V）無窮遠點.

可以看到（I）、（II）中的點只和f有關.除了（IV）之外，其他的點都需要驗證是否在可行域中.（V）一般只起到和其他點進行比較和判定的作用.若無窮遠點在可行域中且使得f→+∞，則最優解應該在其他類型的點中取到；若f→-∞則該問題無最優解.下面再分情況進行討論：

ⅰ)若（8）式只有等式約束，則等式約束的個數不會多于自變量的個數.一般情況下，（I）、（I）中的點不會滿足所有的等式約束.需要著重考慮（III）和（IV）中的點.

ⅱ)若（8）式同時具有等式約束和不等式約束，x*首先應該滿足等式約束條件ψj=0，從而應當先用1.3求等式約束下的駐點，然后驗證所得的駐點坐標是否滿足其余的不等式約束條件φi≥0.

ⅲ)若（8）式只有不等式約束，至少有一個不等式約束對x*是有效約束，即存在一個1≤m≤ki，使φm(x*)=0，從而可以將其轉化為等式約束求解[6]，然后再驗證所得的解是否滿足其余的不等式即可.下面舉例說明.

例2：考慮如下線性規劃問題[7]：

解：可知（I）、（II）中的點不存在.然后考慮（III），先考慮等式約束，算出f和φ1,φ2,φ3的梯度向量構造矩陣如下

計算可知，上面矩陣中沒有一個4階的子陣行列式為0，從而不存在非零解.由1.3的結論，（III）中的點也不存在.如果沒有x1,x2,x3,x4,x5≥0的限制，該問題是沒有極值的.將其轉化為下面包含不等式約束的優化問題：

可以看出，無窮遠點不在其可行域中，如果該問題存在最優解，只能在（IV）中取到.令前三個不等式約束為等式約束，分別求出他們兩兩之間的交點(x2,x3)坐標為可知滿足題設條件的只有(,)，代入φ,φ,φ，求出原問題123的最優解為

從例2可以看到，線性規劃中，（III）中的點是不存在的.因為線性規劃的目標函數的圖象都是直線或者平面，不存在駐點的問題.在只考慮等式約束的情況下，例2如果用拉格朗日乘子法組成方程組求解，就會得到矛盾的結果，這在文獻[7]中已經得到驗證.這也從另一個方面解釋了為什么有時候用拉格朗日乘子法求解線性規劃問題時會失效.

需要指出的是，對于同時具有等式約束和不等式約束的情況，用1.3中的方法，即使找到一個點x*=(,,???,)滿足所有的等式約束，且使得φi(x*)≥0,1≤i≤ki，仍不能確定其就是最優解.而必須將所有此類點找出來，代入目標函數，比較大小來確定.例如：

解：?f=0無解，（I）、（II）中的點不存在.無窮遠點也不在其可行域中.從而其最優解要么在--+9=0上取到，要么在-x1-x2+1=0上取到.可以將其轉化為下面兩個規劃問題

綜合以上，將三個點的坐標代入f，并比較大小，得出最優解為(0,-3).

2.2求解二次規劃問題

二次規劃是約束為線性而目標函數是二次函數的最優化問題.

例4：求解二次規劃

解：令?f=(x1-1,x2-2)=0，解得(x1,x2)=(1,2)，該點不在可行域中.從而（I）、（II）中的點不存在.無窮遠點在可行域中，但是使得f→+∞.再考慮（III），與例3同樣的方法，將其轉化為兩個規劃問題:

解得4x1-x2-2=0，聯立φ2，得方程組：

3 結語

1.1－1.3為等式約束下的條件極值問題提供了一條捷徑，就相當于求一元可導函數的駐點坐標時只需要f′(x)=0一樣簡單，不過該條件并非充分條件.且對于非線性規劃，會遇到兩個方面的困難：

1）當不等式約束的個數比較多的時候，要確定哪一個不等式對最優解x*而言是有效約束，不是一件容易的事情.只能逐個的去尋找并比較大小.

2）即使對于都是等式約束的問題，當目標函數和約束條件次數比較高或者包含有非冪函數的時候，用1.3求解一個多元高次或者非冪函數構成的非線性方程本身就成為一個問題.

［1］楊斌，干曉蓉.等約束條件下多元函數條件極值的充分條件[J].云南師范大學學報,2012(2):47-52.

［2］宋宜美.關于條件極值的兩點思考[J].高等數學研究,2011(14): 107-109.

［3］潘武敏.高等數學中多元函數條件極值的充分性研究[J].科技信息,2007(25):202-203.

［4］張秀梅.三元函數雙條件極值的一個必要條件[J].遼寧工業大學學報,2012(2):138-140.

［5］唐軍強.用方向導數法求解多元函數條件極值[J].科技創新導報,2008(15):179-180.

［6］戎海武.關于拉格朗日乘數法的兩點思考[J].高等數學研究, 2013(4):81-82.

［7］陳敬華.拉格朗日乘子法及其推廣[J].湖北師范學院學報,2010 (4):108-111.

［8］施光燕,董加禮.最優化方法[M].北京:高等教育出版社,2003.

【編校：許潔】

Necessary Condition for Conditional Extrem e Values under Equality Constrains and App lication in the Theory of Optim ization

TANG Junqiang
(DepartmentofBasic Course,Jiaozuo College,Jiaozuo,Henan 454000,China)

The conditional extreme values formultivariable functions under equality constrainswas investigated by starting from themethod of Lagrangemultipliers.The necessary condition for the existence of conditional extreme valueswas obtained by theory of linear equations.Itsapplication in the theory ofoptimization was discussed.The optimal solution is obtained with thisnecessary condition by converting inequality constrains into equality constrains.

multivariable function;conditionalextreme;Lagrangemultiplier;stagnation point;gradient;optimalsolution

O172

A

1671-5365(2014)12-0014-04

2014-09-09修回：2014-10-02

唐軍強（1980-），男，講師，碩士，研究方向為應用泛函分析

時間：2014-10-15 12:59

http://www.cnki.net/kcms/detail/51.1630.Z.20141015.1337.003.htm l