負(fù)游隙薄壁四點(diǎn)接觸球軸承空載下的摩擦力矩計(jì)算

岳紀(jì)東，鄧四二，倪受俊，李亮，楊虎

(1.河南科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，河南 洛陽(yáng) 471003；2.洛陽(yáng)軸研科技股份有限公司，河南 洛陽(yáng) 471039；3.河南能源化工集團(tuán) 裝備制造事業(yè)部，鄭州 450046)

負(fù)游隙四點(diǎn)接觸球軸承具有等效成對(duì)預(yù)緊角接觸球軸承的功能，可以消除徑向和軸向游隙，減小載荷變形，獲得較大的剛度，使軸承更加緊湊、重量更小，能夠承受徑向、軸向和力矩的聯(lián)合載荷，因此這類軸承應(yīng)用于一些航天部件中，能夠?qū)崿F(xiàn)主機(jī)的小型化、輕型化。為了滿足航天環(huán)境要求，該類軸承要求使用固體潤(rùn)滑，因此就需要對(duì)該類軸承的摩擦力矩進(jìn)行計(jì)算。

1 游隙的計(jì)算

四點(diǎn)接觸球軸承的負(fù)游隙是指徑向游隙，即軸承在裝配大直徑鋼球后在直徑方向上的預(yù)緊量。負(fù)游隙值無(wú)法通過(guò)儀器測(cè)得，只能先通過(guò)裝配小規(guī)值鋼球測(cè)量非預(yù)緊狀態(tài)下的徑向游隙，然后利用實(shí)際裝配鋼球與測(cè)試用工藝鋼球的直徑差值通過(guò)計(jì)算獲得。因此計(jì)算的準(zhǔn)確性將影響合套后軸承的摩擦力矩和剛度。

假定軸承裝配測(cè)試用工藝鋼球時(shí)徑向游隙為Gr，內(nèi)、外圈墊片角均為β，實(shí)際裝配鋼球與測(cè)試用工藝鋼球的直徑變化量為ΔDw，則裝配此兩種鋼球引起的徑向游隙變化量ΔGr的估算關(guān)系為(圖1)

ΔGr=2ΔDwcosβ；

(1)

那么，實(shí)際鋼球替換測(cè)試用工藝鋼球合套后，軸承徑向游隙的理論計(jì)算值為

Grt=Gr-ΔGr。

(2)

圖1 負(fù)游隙四點(diǎn)接觸球軸承截面簡(jiǎn)圖

2 應(yīng)力與變形

負(fù)游隙四點(diǎn)接觸球軸承在空載情況下鋼球與溝道為四點(diǎn)接觸，如果在承受一定的軸向、徑向載荷及不同的轉(zhuǎn)速下，接觸點(diǎn)的個(gè)數(shù)可能會(huì)減少為2或3個(gè)，因此鋼球的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性十分復(fù)雜。

以負(fù)游隙薄壁四點(diǎn)接觸球軸承QJ1830為例，對(duì)其空載狀態(tài)下的接觸應(yīng)力和變形進(jìn)行分析。QJ1830軸承的結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1。因軸承套圈壁薄，在內(nèi)應(yīng)力的作用下變形較大，所以必須考慮軸承內(nèi)、外徑的變化對(duì)內(nèi)應(yīng)力的影響。

表1 QJ1830軸承的結(jié)構(gòu)參數(shù)

2.1 軸承內(nèi)、外徑的變形量

軸承內(nèi)、外圈均為薄壁圓環(huán)，負(fù)游隙狀態(tài)下鋼球與溝道間4個(gè)接觸點(diǎn)處均存在接觸應(yīng)力和變形，同時(shí)外圈脹大，內(nèi)圈縮小。則游隙、接觸變形、軸承內(nèi)徑壓縮量及外徑脹大量之間的關(guān)系為

Δd+ΔD+2δicosβi+2δecosβe-Grt=0，

(1)

式中：Δd為軸承內(nèi)徑減小量；ΔD為軸承外徑增加量；δi，δe分別為鋼球與內(nèi)、外圈之間的接觸變形量。

負(fù)游隙時(shí)內(nèi)、外圈在圓周方向分別受到大小相等的均布載荷，由于內(nèi)、外圈為薄壁柔性零件，因此可以運(yùn)用彎曲薄壁環(huán)經(jīng)典能量法求出內(nèi)、外圈的整體變形。負(fù)游隙下軸承外徑脹大量ΔD為[3]

(2)

負(fù)游隙下軸承內(nèi)徑壓縮量Δd為[3]

(3)

式中：Qri，Qre分別為鋼球與內(nèi)、外溝道間法向載荷的徑向分量，Qri=2Qicosβ，Qre=2Qecosβ；Ri，Re分別為軸承內(nèi)、外圈中性層的曲率半徑；E為套圈材料彈性模量；Ii，Ie分別為內(nèi)、外圈慣性矩(Ri，Re，Ii，Ie的計(jì)算方法見文獻(xiàn)[5])；Δψ=180°/Z。

2.2 鋼球與溝道間的法向接觸載荷

根據(jù)Hertz接觸理論，鋼球與溝道間法向接觸載荷與變形之間的關(guān)系為[4]

(4)

(5)

式中：Qi，Qe分別為鋼球與內(nèi)、外溝道間的法向接觸載荷；Ki，Ke分別為接觸變形常數(shù)。負(fù)游隙四點(diǎn)接觸球軸承空載狀態(tài)時(shí)，鋼球與內(nèi)、外圈間的接觸角(αi，αe)等于其墊片角(βi，βe)，即內(nèi)、外圈的接觸角相等。同時(shí)，套圈重力與接觸點(diǎn)處的法向載荷相比非常小，可忽略不計(jì)。所以，內(nèi)、外溝道左、右接觸點(diǎn)處法向載荷和摩擦力均相等，鋼球自轉(zhuǎn)軸與軸承軸線平行。鋼球在接觸點(diǎn)處法向載荷的作用下處于平衡狀態(tài)。即

Qicosβi=Qecosβe，

(6)

由(1)～(6)式可以求出Δd，ΔD，δi，δe，Qi，Qe。

3 空載狀態(tài)下摩擦力矩的計(jì)算

QJ1830軸承采用固體潤(rùn)滑，轉(zhuǎn)速低，其摩擦的主要來(lái)源是鋼球與溝道間的滾動(dòng)摩擦與滑動(dòng)摩擦，主要由彈性滯后、差動(dòng)滑動(dòng)、自旋滑動(dòng)、鋼球打滑和陀螺旋轉(zhuǎn)等引起。由于軸承工作轉(zhuǎn)速低，鋼球與溝道間的預(yù)載荷使兩者形成四點(diǎn)接觸，鋼球與每個(gè)溝道間都存在較大的自旋滑動(dòng)(圖2)。鋼球相對(duì)溝道的轉(zhuǎn)動(dòng)可分解為以角速度ωr=ωcosβ繞接觸點(diǎn)切線方向(MM軸)的旋轉(zhuǎn)和以角速度ωs=ωsinβ繞接觸點(diǎn)法線方向(NN軸)的旋轉(zhuǎn)，其中ω為鋼球相對(duì)套圈的角速度，可根據(jù)角速度矢量合成法則確定[4]。ωr為鋼球相對(duì)溝道的滾動(dòng)分量，該分量產(chǎn)生的摩擦力矩主要由差動(dòng)滑動(dòng)引起，在總摩擦力矩中所占比例較小；而鋼球相對(duì)溝道的自旋分量ωs所引起的摩擦力矩是軸承運(yùn)動(dòng)狀態(tài)時(shí)摩擦力矩的主要來(lái)源。

圖2 鋼球與溝道接觸處的滾動(dòng)和自旋滑動(dòng)解析圖

設(shè)接觸區(qū)各點(diǎn)的滑動(dòng)摩擦因數(shù)為μ(常數(shù))，則接觸橢圓上總的自旋滑動(dòng)摩擦力矩為[3]

(7)

(8)

式中：Q為接觸點(diǎn)法向載荷；L(K)為與接觸面形狀有關(guān)的第二類完全橢圓積分；K為橢圓偏心率，K=b/a；a，b分別為接觸橢圓長(zhǎng)、短半軸。

忽略軸承內(nèi)部影響較小的其余摩擦，根據(jù)能量守恒定律，所有鋼球接觸點(diǎn)處的自旋滑動(dòng)引起的摩擦功耗之和即為軸承的總摩擦功耗。即

Z(Mselωsel+Mserωser+Msilωsil+Msirωsir)=Mni，

(9)

式中：Msil，Msir，Msel，Mser分別為每粒鋼球與各溝道間的自旋摩擦力矩；ωsil，ωsir，ωsel，ωser分別為每粒鋼球與各溝道間的自旋角速度分量，其計(jì)算方法見文獻(xiàn)[4]；M為軸承的總摩擦力矩；ni為內(nèi)圈轉(zhuǎn)速。

聯(lián)立(1)～(9)式即可計(jì)算出軸承的總摩擦力矩M，其計(jì)算值與實(shí)測(cè)值的對(duì)比見表2。由表2可知，總摩擦力矩的實(shí)測(cè)值比計(jì)算值偏大，這是因?yàn)槲闹兄豢紤]了自旋滑動(dòng)引起的摩擦，隨著游隙值的減小，自旋滑動(dòng)產(chǎn)生的摩擦力矩在總摩擦力矩中所占比例逐漸增大，因此，其理論計(jì)算值相對(duì)實(shí)測(cè)值的誤差也隨之減小。由于影響摩擦力矩的因素較多，單套固體潤(rùn)滑軸承摩擦力矩測(cè)試值的波動(dòng)性一般在30%左右，因此本模型的計(jì)算誤差是可以接受的。

表2 不同游隙下摩擦力矩對(duì)比

4 結(jié)束語(yǔ)

在對(duì)QJ1830等薄壁軸承負(fù)游隙狀態(tài)時(shí)的內(nèi)部接觸載荷進(jìn)行計(jì)算時(shí)，通常不能假定套圈為剛體，否則負(fù)游隙量將全部轉(zhuǎn)化為接觸變形，會(huì)使計(jì)算的接觸載荷比實(shí)際偏大，因此應(yīng)考慮內(nèi)、外圈的變形對(duì)內(nèi)部接觸應(yīng)力的影響。在該類軸承安裝時(shí)應(yīng)特別注意負(fù)游隙狀態(tài)下軸承內(nèi)、外徑的變化對(duì)軸承與軸、軸承座配合的影響，特別是軸和軸承座剛性較大時(shí)，過(guò)盈量將轉(zhuǎn)化為軸承內(nèi)部的接觸變形，顯著影響軸承內(nèi)部接觸應(yīng)力狀態(tài)。

分析鋼球的運(yùn)動(dòng)可知，負(fù)游隙下四點(diǎn)接觸球軸承的摩擦力矩主要由鋼球的自旋滑動(dòng)引起；總摩擦力矩的理論計(jì)算值與實(shí)測(cè)值在游隙值較小時(shí)兩者誤差較小。