基于形態分形維數與改進ELM的軸承故障預測

陳強華，李洪儒，許葆華

(軍械工程學院，石家莊 050003)

軸承作為旋轉機械的關鍵部件，對系統的正常運行起著非常重要的作用。據統計，齒輪箱故障中19%由軸承故障引起[1]，在泵與電動機中，這一比例更是高達51%[2]，如何對軸承將出現的故障進行準確預測，防止重大損失，是目前研究的重點和熱點。

故障預測一般分為2個步驟，即故障特征提取和故障預測。其中，故障特征提取是故障預測的基礎和關鍵。有效的特征量可以較好反映軸承性能退化的整個過程，為故障預測提供可靠依據。目前，主要有循環平穩分析[3-4]、小波包分解的節點能量分析[5]以及小波相關特征尺度熵分析[6]等故障特征提取方法。

分形理論為復雜信號的分析提供了十分簡單的方法，被廣泛應用于地理、生物、材料及計算機等領域[7-8]。近年來，許多學者將該理論應用于故障特征提取與故障診斷領域，并取得了較好的效果[9-11]。分形維數(Fractal Dimension，FD)作為分形體的重要特征量，用以描述分形體的不規則性和自相似性，可以定量反映設備在不同狀態下的分形特征。文獻[12]將數學形態學應用到分形維數的計算中，大大簡化了分形維數的計算，并提高了精度和穩定性。

極限學習機(Extreme Learning Machine，ELM)是一種單隱層前饋神經網絡[13]，其將神經網絡的參數訓練問題轉化為線性方程組的求解，經過一次計算求得方程的最小范數二乘解，并將其作為神經網絡的權值。因此，ELM較傳統的神經網絡具有更快的訓練速度和更好的泛化能力[14]，并在時間序列預測、模式識別和在線監測中獲得了成功應用[15-17]。然而，由于ELM在應用過程中隨機給定左側權值，其在模型精度和穩定性方面不甚理想。

在此，較詳細闡述了利用數學形態學計算信號單重分形維數的方法，并將其應用到故障特征提取中，將形態分形維數作為軸承故障預測的特征量，以反映軸承性能退化的過程。在故障預測方面，針對ELM存在的不足，給出一個序列關聯度系數綜合衡量模型的精度與穩定性，并利用該參數對ELM模型進行優化。通過提取的故障預測特征對優化的ELM預測模型進行訓練，驗證了形態分形維數作為故障預測特征的有效性，以及改進ELM預測模型在軸承故障預測穩定性和精度方面的改善。

1 基于形態分形維數的軸承故障預測特征提取

1.1 分形維數

傳統的歐氏幾何認為，幾何形體的維數均為整數。而實際應用中，自然界大部分幾何形體的維數都呈分數形式，使得這種觀念存在很大的局限。因此，提出了分形維數，將歐氏幾何無法解決的復雜幾何形體的分形特征進行了量化。目前，已有多種不同的分形維數用以度量物體的分形特征，如Hausdorff維數、Lyapunov維數、自相似維數、盒維數、信息維數及關聯維數等。

由于不同的信號具有各異的分形特征，可以根據信號在分形特征上存在的差異性對其進行區分。在故障診斷中，不同故障模式信號的分形維數表現出一定的差異性，可用于度量不同故障模式下信號的分形特征，從而區分不同的故障特征，實現故障診斷。軸承劣化過程中，不同階段信號的分形維數亦存在差異性[6]，因此，將分形維數引入軸承劣化過程的特征提取可以實現軸承故障的預測。

在機械故障研究領域，盒維數及關聯維數被普遍應用。其中，關聯維數計算復雜，特性較難準確把握，因此，盒維數的應用更為廣泛。一般，計算分形維數的基本思想是利用不同尺度幾何形狀的集合對分析對象進行度量。盒維數是通過計算覆蓋一個信號所需的最小盒子數得到。若以利用邊長為ε的方格完全覆蓋信號所占的區域需要N(ε)個方格，則信號的盒維數為

(1)

盒維數的計算是以規則的方格對不規則的信號進行覆蓋，這種方法在計算過程中將產生不小的誤差，影響對分形維數的計算[18]，故將形態學方法引入分形維數的計算中[12]。

1.2 故障特征提取

數學形態學基本運算主要有腐蝕和膨脹。設f(n)和g(m)分別是定義在集合F={0,1,…，N-1}和G={0,1,…,M-1}上的離散函數，且N≥M，其中，f(n)為原始信號，g(m)為結構元素，f(n)關于g(m)的形態腐蝕和形態膨脹算子分別定義為

(fΘg)(n)=min{f(n+m)-g(m)}，

(2)

(f⊕g)(n)=max{f(n-m)+g(m)}。

(3)

采用扁平結構元素g={0，0，0}對信號分別進行腐蝕、膨脹運算后得到的波形如圖1所示，由圖可以看出，腐蝕運算平滑了負脈沖，削尖了正脈沖；膨脹運算則削尖了負脈沖，平滑了正脈沖。

圖1 不同形態學運算對信號的處理結果

對于單位結構元素g(m)，尺度s下的結構元素sg定義為

(4)

可以看出，sg為g經過s-1次自身膨脹所得，形態學運算中的多尺度運算與分形維數計算的基本思想一致。取不同尺度ε對信號進行覆蓋，由腐蝕與膨脹對信號處理后的基本特點可知，形態膨脹與形態腐蝕對信號進行處理后的差值可以將信號進行覆蓋，定義覆蓋面積為

(5)

則不同尺度ε下覆蓋面積與尺度間的關系為[12]

lg(Ag(ε)/ε2)=DMlg(1/ε)+c，

(6)

式中：DM為信號的Minkowski-Bouligand維數，只要對不同尺度下計算得到的lg(Ag(ε)/ε2)與lg(1/ε)值進行最小二乘線性擬合，即可得到Minkowski-Bouligand維數的估計。為兼顧估計精度和計算效率，選擇長度為3的扁平結構元素為基本結構元素，并取尺度范圍為1～64。

根據形態分形維數的定義和計算方法可知，形態分形維數反映了振動信號的峰值在整個信號中概率分布的不均勻程度，定量表征了軸承故障振動信號的形態特征和振動的劇烈程度。因此，可利用形態分形維數的這些性質，結合軸承性能退化的特點，將其作為軸承故障預測的特征量，定量反映軸承性能退化過程中振動信號的變化。

2 基于改進ELM的軸承故障預測方法

2.1 ELM基本原理

給定一個含N個樣本的訓練集T={(xi,yi)|xi∈Rm;yi∈Rn;i=1,2,…,N}，則具有L個隱層神經元的ELM輸出可以表示為

(7)

式中：βt為連接第t個隱層結點的輸出權值向量；at為連接第t個隱層結點的輸入權值向量；bt為第t個隱層神經元的閾值；f(x)為隱層神經元的激活函數。

將(7)式寫成線性方程組的形式為

Hβ=Y，

(8)

β=[β1,β2,…,βL]T；Y=[y1,y2,…,yN]T。

若隱層輸出矩陣H滿足L≤N，那么(8)式中β具有最小二乘解，即

β=H+Y，

(9)

式中：H+為H的Moor-Penrose廣義逆矩陣。

綜上可知，ELM在訓練過程中無需像傳統神經網絡那樣反復迭代、調整隱層神經元權值和閾值，在隱層結點確定的情況下，只需一次計算即可獲得方程最優解，這使得ELM的訓練速度大大提高，且不易陷入局部最優[15]。但是，由于ELM在訓練過程中隨機確定隱層權值和閾值，使其在模型精度和穩定性方面不甚理想，且與其他神經網絡一樣存在過擬合現象。

2.2 基于改進ELM的軸承故障預測方法

傳統的優化方法一般僅采用模型的誤差作為目標函數，對模型進行優化。但在預測過程中，模型預測序列與訓練樣本變化趨勢的一致性以及模型的穩定性往往受到忽視。因此，提出了一種序列關聯度指標，綜合考慮ELM的性能，對ELM進行優化。

設原數據序列為X={xj|j=1,2,…,n}，預測值序列為X1={xj′|j=1,2,…,n}，定義趨勢變化相關系數為

(10)

該系數反映了2個序列之間各個對應點變化趨勢的一致性，該系數越大，則2個序列變化趨勢一致性越好。

(11)

其中，pj為第j個點的預測值與原始值之間相對誤差的比重，即

(12)

誤差序列的熵值反映了模型的穩定程度，該值越大，表示誤差序列的變異度越小，模型的預測越穩定。反之，模型的預測越不穩定[19]。綜上，定義預測值與原始值2個序列的序列關聯度系數為

(13)

式中：σ為誤差的方差。該系數綜合考慮了模型的精度、穩定性以及預測序列與原始序列變化趨勢的一致性。

為求得ELM隱層輸入權值和閾值的最佳值，采用粒子群優化算法對權值和閾值進行尋優。利用輸入權值和閾值組成種群中的個體，即

Xj={aj1,aj2,…,ajL,bj1,bj2,…,bjL}T。

(14)

其中，所有輸入權值和閾值均在[-1,1]范圍內隨機產生。模型的輸出權值可以由(9)式計算得到。粒子群的適應度函數采用上述的序列關聯度系數ξ。

利用上述方法對ELM進行改進，通過前一小節提取的軸承故障預測特征序列對優化后的ELM預測模型進行訓練，確定改進的ELM預測模型的左側權值和閾值，根據(9)式確定模型的輸出權值向量。改進的ELM預測模型經過訓練后，即可用于軸承故障的預測。

3 軸承故障預測與驗證

為驗證上述軸承故障預測方法的效果，采用實測的軸承振動加速度全壽命數據進行驗證。該全壽命數據來自IMS中心軸承試驗臺。如圖2所示，該試驗在同一個軸上安裝4套ZA-2115雙列滾子軸承，并通過一個彈簧機械裝置在軸承徑向加載。通過電動機將軸驅動至2 000 r/min，每隔10 min采樣一次，采樣頻率為20 kHz，采樣長度為20 480個點。試驗運行一段時間后，因軸承1出現外圈故障而停止采樣，共采得984組數據。

3.1 軸承故障預測提取

軸承1振動波形的均方根值(RMS)與峰峰值(P-P)隨著軸承劣化的變換曲線如圖3所示，可以看出這2個值隨著軸承劣化逐漸增大，但波動較大。若以此為特征量對軸承故障進行預測，將增加預測的難度。因此，采用形態分形維數作為故障預測特征量對軸承故障進行預測。

圖3 RMS與P-P值隨故障的變化趨勢

任取其中一組數據，計算其形態分形維數，求取形態分形維數而擬合的曲線如圖4所示，其中尺度范圍為1～64，圖中曲線的斜率即為該組數據的形態分形維數。

圖4 lg(1/ε)與lg(Ag(ε)/ε2)的擬合曲線

在所有的數據中，取第651～980組數據分別計算每組數據的形態分形維數，并做出其隨時間變化的曲線，如圖5所示。在第8 570 min之前，MFD值一直在1.76附近小幅波動，軸承處于正常工作狀態。此后，MFD值隨著時間逐漸減小，反映了軸承隨著時間劣化的過程，說明了形態分形維數作為故障特征對軸承進行故障預測的可行性。

圖5 MFD隨故障演化趨勢

3.2 軸承故障預測方法

取第8 560 min之后的100個點作為訓練樣本對改進ELM進行訓練，并將其之后20個數據作為測試集，利用訓練得到的ELM預測模型對后20個數據進行預測，ELM改進前、后的預測結果如圖6及表1所示，可以看出改進ELM的預測結果與原數據序列變化的趨勢一致性更好，改進ELM預測模型具有更高的預測精度及穩定性。

圖6 ELM與改進ELM預測結果

表1 ELM與改進ELM的性能比較

4 結束語

能有效反映軸承性能退化的故障預測特征量提取是軸承故障預測的基礎，形態分形維數的變化趨勢可有效反映軸承性能退化的過程，可作為軸承故障預測的特征參量，對軸承進行故障預測。利用序列關聯度系數作為目標函數對ELM預測模型進行優化，改善了預測模型的精度和穩定性，同時提高了預測序列與原數據序列變化的一致性。