王琰玲
在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)階段有意識(shí)地向?qū)W生滲透一些基本數(shù)學(xué)思想方法,可以加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、公式、定理、定律的理解,是提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力和思維品質(zhì)的重要手段,是數(shù)學(xué)教育中實(shí)現(xiàn)從傳授知識(shí)到培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題能力的重要途徑,也是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行素質(zhì)教育的真正內(nèi)涵之所在。
小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)方法案例分析我國(guó)義務(wù)教育《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2011年版)將“雙基”擴(kuò)展為“四基”,即基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本數(shù)學(xué)思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。由此可見,數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)變得越來(lái)越重要。從教材上看,數(shù)學(xué)新教材更加重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué),把基本的數(shù)學(xué)思想方法作為選擇和安排教學(xué)內(nèi)容的重要線索。因此,在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)階段有意識(shí)地向?qū)W生滲透一些基本數(shù)學(xué)思想方法,可以加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、公式、定理、定律的理解,是提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力和思維品質(zhì)的重要手段,是數(shù)學(xué)教育中實(shí)現(xiàn)從傳授知識(shí)到培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題能力的重要途徑,也是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行素質(zhì)教育的真正內(nèi)涵之所在。
在小學(xué)階段,數(shù)學(xué)思想方法主要有符號(hào)化思想方法、轉(zhuǎn)化思想方法、類比思想方法、假設(shè)思想方法、分類思想方法等。假設(shè)思想方法是通過對(duì)數(shù)學(xué)問題的一些數(shù)據(jù)做適當(dāng)?shù)母淖儯缓蟾鶕?jù)題目的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行計(jì)算和推理,再根據(jù)計(jì)算所得數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)的差異進(jìn)行修正和還原,最后使原問題得到解決的思想方法。假設(shè)思想方法是小學(xué)數(shù)學(xué)中比較常用的方法,實(shí)際上也是轉(zhuǎn)化方法的一種,掌握之后可以使要解決的問題更形象、具體,從而豐富解題思路。
一、巧用“假設(shè)思想方法”解決數(shù)量關(guān)系隱蔽的問題
小學(xué)數(shù)學(xué)解題中,有些問題數(shù)量關(guān)系比較隱蔽,難以建立數(shù)量之間的聯(lián)系,或數(shù)量關(guān)系抽象,無(wú)從下手??梢愿鶕?jù)問題的具體情況合理假設(shè),由此得出一些關(guān)系和結(jié)論,產(chǎn)生差異與矛盾,通過分析與思考,找出差異的原因,使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化,數(shù)量關(guān)系明朗化,從而達(dá)到解決問題的目的。
例1.一輛汽車從甲地開往乙地要經(jīng)過上坡和平地兩種等長(zhǎng)的路,其中上坡的速度為每小時(shí)50千米,平地的速度為每小時(shí)60千米,求這輛汽車從甲地開往乙地的平均速度。
這道題學(xué)生經(jīng)常錯(cuò)誤的認(rèn)為,平均速度是(50+60)÷2=55(千米),但是如果知道總路程的話,本題就非常容易理解和解決了。假設(shè)甲乙兩地的路程為300千米,則上坡段和平路段都為150千米,上坡段用了150÷50=3(小時(shí)),平路段用了150÷60=2.5(小時(shí)),汽車從甲地到乙地一共用了3+2.5=5.5(小時(shí)),因此平均速度為300÷5.5=54611(千米)。
例2.在正方形中畫一個(gè)最大的圓,圓的面積是正方形面積的()%。
類似這樣的題目,我們可以把正方形的邊長(zhǎng)假設(shè)為一個(gè)數(shù),圓的直徑和正方形的邊長(zhǎng)相等,分別求出正方形和圓的面積,再求出它們之間的百分比。
二、巧用“假設(shè)思想方法”簡(jiǎn)化計(jì)算過程繁瑣的問題
有些問題雖然可以假設(shè)一個(gè)數(shù)來(lái)解決,但是往往也會(huì)出現(xiàn)計(jì)算過程繁瑣的現(xiàn)象,學(xué)生反而容易在計(jì)算上出現(xiàn)錯(cuò)誤。因此,在數(shù)量之間具有一定的比例關(guān)系前提下,可假設(shè)其中的一個(gè)數(shù)量為單位“1”,從而簡(jiǎn)化計(jì)算的繁瑣程度。
例3.興隆山滑雪場(chǎng)的門票是100元一張,平均每天接待500名游客。春節(jié)期間舉行門票優(yōu)惠活動(dòng),優(yōu)惠后每天的游客增加了50%,收入增加了20%,優(yōu)惠后門票的價(jià)格是多少?
解決這個(gè)問題首先要明確一個(gè)基本的數(shù)量關(guān)系式:游客人數(shù)×門票價(jià)格=收入。先按照一般的解題思路分析,根據(jù)題意要求的是優(yōu)惠后門票的價(jià)格,需要知道優(yōu)惠后的收入和游客人數(shù)。優(yōu)惠后的收入是500×100×(1+20%)=60000(元)。優(yōu)惠后的游客人數(shù)是500×(1+50%)=750(人)。所以優(yōu)惠后的門票價(jià)格是60000÷750=80(元)。仔細(xì)分析題意,不難發(fā)現(xiàn)優(yōu)惠后的人數(shù)和收入都是在原來(lái)的基礎(chǔ)上分別按照一定比例變化,實(shí)際上游客人數(shù)是500還是1000并不影響計(jì)算的結(jié)果,因此只需要假設(shè)游客人數(shù)為單位“1”就行。假設(shè)優(yōu)惠前的游客人數(shù)是1,則優(yōu)惠后的游客人數(shù)是1×(1+50%)=1.5,優(yōu)惠前的收入是100×1,則優(yōu)惠后的收入是100×1×(1+20%)=120,所以優(yōu)惠后的門票價(jià)格是120÷1.5=80(元)。
除此之外,常見的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題、工程問題等,解題關(guān)鍵是確定“1”的問題,這種“確定”其實(shí)就是一種假設(shè)。
三、巧用“假設(shè)思想方法”化解一般方法不易解決的問題
在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中,數(shù)學(xué)問題千變?nèi)f化,解題方法也多種多樣。有時(shí)用一般方法去解答也會(huì)感到較為麻煩,如果用假設(shè)法去解答,往往會(huì)化難為易,受到事半功倍的效果。
“雞兔同籠”是我國(guó)古代著名趣題之一。大約在1500年前,《孫子算經(jīng)》中就記載了這個(gè)有趣的問題:“今有雞兔同籠,上有三十五頭,下有九十四足,問雞兔各幾何?”這句話的意思是:有若干只雞兔同在一個(gè)籠子里,從上面數(shù),有35個(gè)頭;從下面數(shù),有94只腳。求籠中各有幾只雞和兔?
方法1:假設(shè)35只都是雞,那么就應(yīng)該有2×35=70(只)腳,但實(shí)際上有94只腳,比假設(shè)的情況多了94-70=24(只)腳,出現(xiàn)這種情況的原因是把兔當(dāng)作雞了。如果我們以同樣數(shù)量的兔去換同樣數(shù)量的雞,那么每換一只,頭的數(shù)目不變,腳數(shù)增加了2只。因此只要算出24里面有幾個(gè)2,就可以求出兔的只數(shù)。
解:有兔(94-2×35)÷(4-2)=12(只)
有雞35-12=23(只)
答:有12只兔,23只雞。
方法2:我們也可以假設(shè)35只都是兔子,那么就應(yīng)該有4×35=140(只)腳,但實(shí)際上有94只腳,比假設(shè)的情況少了140-94=46(只)腳,這是因?yàn)榘央u當(dāng)作兔了。我們以雞去換兔,每換一只,頭的數(shù)目不變,腳數(shù)減少了4-2=2(只)。因此只要算出46里面有幾個(gè)2,就可以求出雞的只數(shù)。
解:有雞(4×35-94)÷(4-2)=23(只)
有兔35-23=12(只)
答:有235只雞,12只兔。
由以上方法可以看出,解答雞兔同籠問題通常采用假設(shè)法,可以先假設(shè)都是雞,然后以兔換雞,也可以先假設(shè)都是兔,然后以雞換兔。
當(dāng)然,這類問題也可以用畫圖法、列表法和方程來(lái)解決,但是用假設(shè)法來(lái)解答比較簡(jiǎn)便,而方程也可以理解為假設(shè)法的另一種形式,實(shí)質(zhì)上就是把未知條件直接假設(shè)成已知條件,再根據(jù)題意列出方程。
許多小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題,都可以轉(zhuǎn)化為雞兔同籠問題來(lái)加以計(jì)算。
例如,水彩筆每盒19元,蠟筆每盒11元,水彩筆和蠟筆共買了16盒,共用去280元。兩種彩筆各買了多少盒?
我們可以假設(shè)有一只“怪雞”有1個(gè)頭11只腳,一種“怪兔”有1個(gè)頭19只腳,它們共有16個(gè)頭,280只腳。這樣,就將買彩筆的問題轉(zhuǎn)換成雞兔同籠的問題了。
假設(shè)思想方法在小學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用比較普遍,但是也要因題目而選擇,不能生搬硬套。由以上幾個(gè)例子可以看出合理運(yùn)用假設(shè)法,往往可以使問題化難為易,使解題另辟蹊徑,有利于培養(yǎng)學(xué)生靈活的解題技能,發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力,從而達(dá)到開發(fā)學(xué)生智力、培養(yǎng)學(xué)生能力之目的。