正切函數在高中物理解題中的應用

王良彬

高中物理新課標中“應用數學工具處理物理問題的能力”是高中物理教學的重要內容，也是高考物理能力考查的重點.數學中的正切函數反映了直角三角形中邊與角之間的關系，在高中物理中，有關物理量之間的關系往往構成直角三角形，運用正切函數可使相關物理問題迎刃而解.本文通過幾個實例來說明正切函數在高中物理解題中的重要地位以及巧妙應用.

一、正切函數在物體平衡問題中的應用

例1一塊長木板傾斜放置，與水平面間的傾角為θ.當一個質量為m的木塊沿著長木板勻速下滑時，試求：木塊與長木板間的動摩擦因數μ多大？

分析與解木塊沿著長木板勻速下滑時受力如圖1所示，且三力的合力為零，則有

N=mgcosθ，f=μN=mgsinθ.

因此有mgsinθ=μmgcosθ,得μ=tanθ.

點評當物體沿斜面下滑時，比較μ和tanθ的大小關系就可以判別物體運動情況.例如：假設斜面的傾角θ＝37°，當μ=tan37°=0.75時，物體就沿斜面勻速下滑；當μ=0.5tan37°=0.75時，物體就沿斜面向下勻減速下滑直至停止.另外，我們也可以利用上述現象來測定兩物體間的動摩擦因數：只要通過調節斜面的傾角θ，恰好做到使物體沿斜面勻速下滑，測出其傾角θ，即得到動摩擦因數為：μ=tanθ.我們把此時斜面的傾角θ又稱之為“摩擦角”.

二、正切函數在臨界問題中的應用

例2有一質量為m的物體靜止放在水平地面上，物體與水平地面間的動摩擦因數為μ.現用一個與豎直方向成θ角的推力F去推物體，如圖2所示.設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力.試討論當θ角滿足什么條件時，無論用多大的推力F都不能推動物體？

分析與解物體受力如圖3所示，要推不動物體，有：Fx≤fmax，即Fsinθ≤μN=μ(mg+Fcosθ),得到 F(sinθ-μcosθ)≤μmg.

無論推力F多大，要使此式成立，必須有：sinθ-μcosθ≤0, 即 tanθ≤μ.

點評由此可見，無論推力F多大，要使物體都處在靜止狀態，即物體不會被推動，也就是發生“自鎖”現象.因此發生“自鎖”現象的條件是：推力與豎直方向的夾角滿足tanθ≤μ.

三、正切函數在動力學問題中的應用

例3如圖4，一個質量為m的小球用細線懸掛于車廂頂板上，當車廂以加速度a向右做勻加速運動時，則細線偏離豎直方向的角度θ為多大？

分析小球受力如圖5所示，由牛頓第二定律得mgtanθ=ma,則tanθ=ag.

四、正切函數在平拋運動中的應用

例4一個質量為m的小球以水平初速度v0拋出，不計空氣阻力，最后垂直撞在傾角為θ的斜面上，求小球在空中飛行的時間為多少？

分析小球做平拋運動，其軌跡如圖6，最后小球垂直撞在斜面上，即其速度方向與斜面垂直，而速度v是由水平速度vx和豎直速度vy組成，則有tanθ=vyvx=gtv0,所以小球在空中飛行的時間為t=v0tanθg.

點評對于平拋運動，首先想到將運動分解到水平方向和豎直方向來研究.而最后小球垂直撞在斜面上，則表明了運動的速度方向與斜面垂直，由圖可以發現其三角形中的兩個分速度與角θ的關系，利用正切函數得解.

五、正切函數在偏轉電場中的應用

例5兩塊長度為L的金屬板水平、平行相對放置，相距為d，如圖7所示，兩金屬板與一個電源相連，使兩板帶上等量異種電荷，在板間形成一個沿豎直方向的勻強電場，其電場強度大小為E.有一帶電量為q、質量為m的帶正電的粒子，以水平速度v0從左側垂直電場方向射入兩板之間，不計帶電粒子的重力，試求

（1）帶電粒子離開電場時的偏轉距離為多大？（2）帶電粒子離開電場時的偏轉角為多大？

分析與解帶電粒子在電場中只受到電場力作用，因而做類平拋運動，故將運動分解到：沿垂直于電場方向做勻速運動，速度為v0.

沿電場方向做勻加速直線運動，加速度為a=Fm=qEm.

所以有L=v0t,vx=v0,y=12at2,vy=at.

帶電粒子離開電場時的偏轉距離為y=qEL22mv20.

帶電粒子離開電場時的偏轉角為tanθ=vyvx=qELmv20.

點評帶電粒子在電場中做類平拋運動，其分析、處理問題的方法與平拋運動的研究方法相似，都采用運動的分解方法.帶電粒子在電場中發生偏轉，對于所發生偏轉距離以及偏轉角的問題，經常涉及到正切函數.并且由上述兩個結論我們進一步發現，帶電粒子離開電場時的偏轉距離與偏轉角之間的關系有y=L2tanθ，即：帶電粒子離開電場時速度的反向延長線與初速度的交點位于板長的中點.對于一些特殊的結論，我們如果能熟練地掌握并加以適當地利用，對我們解決有關物理問題，提高解題的速度，增強解題能力會大有幫助.

六、正切函數在圖象問題中的應用

物理圖象具有形象、直觀、簡潔明了的特點，它能形象直觀地展示出物理情景以及各物理量間的函數關系.應用物理圖象來解題可以起到簡便快捷，使較為復雜的問題變得形象易懂.通過理解、分析圖像能幫助我們弄清具體的物理過程，構建物理情景，探尋物理量之間的函數關系，達到數與形相結合.物理圖象不僅是分析、計算的工具，而且對于物理概念和規律的形成以及運用物理知識來解決實際問題.同時，圖像問題也是當前高考熱點和重點.在許多情況下，由于物理量間是線性函數關系，其物理圖象往往可用一條直線來表示，解題時經常涉及到直線傾角的正切函數（即直線的斜率）.

例如，物體做勻速直線運動時我們會用到位移-時間的圖象（x-t圖象）如圖8所示，反映物體的位移隨時間的變化關系，其斜率表示物體運動的速度，tanθ=ΔxΔt=v；物體做勻加速直線運動時，用到速度－時間的圖象（v-t圖象）如圖9所示，反映物體運動的速度隨時間的變化關系，則斜率表示物體運動的加速度，tanθ=ΔvΔt=a.

再如,一導體的電流與電壓的關系如圖10所示，其斜率tanθ=ΔUΔI=R，表示導體的電阻R.閉合電路的路端電壓與電流關系如圖11所示，其斜率：tanθ=ΔUΔI=r，則表示電源的內電阻r.

通過上述例子的分析表明正切函數在高中物理解題中有著廣泛應用.我們在解決實際物理問題的過程中，通過作圖，建立清晰的物理情景和物理模型，除了需要牢固掌握物理概念和物理規律等基礎知識外，還需要具有靈活運用數學方法和數學技巧，做到“數形結合”、“數理結合”，以拓展解題的思路，不斷提高自己靈活運用數學知識解決物理問題的能力.

高中物理新課標中“應用數學工具處理物理問題的能力”是高中物理教學的重要內容，也是高考物理能力考查的重點.數學中的正切函數反映了直角三角形中邊與角之間的關系，在高中物理中，有關物理量之間的關系往往構成直角三角形，運用正切函數可使相關物理問題迎刃而解.本文通過幾個實例來說明正切函數在高中物理解題中的重要地位以及巧妙應用.

一、正切函數在物體平衡問題中的應用

例1一塊長木板傾斜放置，與水平面間的傾角為θ.當一個質量為m的木塊沿著長木板勻速下滑時，試求：木塊與長木板間的動摩擦因數μ多大？

分析與解木塊沿著長木板勻速下滑時受力如圖1所示，且三力的合力為零，則有

N=mgcosθ，f=μN=mgsinθ.

因此有mgsinθ=μmgcosθ,得μ=tanθ.

點評當物體沿斜面下滑時，比較μ和tanθ的大小關系就可以判別物體運動情況.例如：假設斜面的傾角θ＝37°，當μ=tan37°=0.75時，物體就沿斜面勻速下滑；當μ=0.5tan37°=0.75時，物體就沿斜面向下勻減速下滑直至停止.另外，我們也可以利用上述現象來測定兩物體間的動摩擦因數：只要通過調節斜面的傾角θ，恰好做到使物體沿斜面勻速下滑，測出其傾角θ，即得到動摩擦因數為：μ=tanθ.我們把此時斜面的傾角θ又稱之為“摩擦角”.

二、正切函數在臨界問題中的應用

例2有一質量為m的物體靜止放在水平地面上，物體與水平地面間的動摩擦因數為μ.現用一個與豎直方向成θ角的推力F去推物體，如圖2所示.設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力.試討論當θ角滿足什么條件時，無論用多大的推力F都不能推動物體？

分析與解物體受力如圖3所示，要推不動物體，有：Fx≤fmax，即Fsinθ≤μN=μ(mg+Fcosθ),得到 F(sinθ-μcosθ)≤μmg.

無論推力F多大，要使此式成立，必須有：sinθ-μcosθ≤0, 即 tanθ≤μ.

點評由此可見，無論推力F多大，要使物體都處在靜止狀態，即物體不會被推動，也就是發生“自鎖”現象.因此發生“自鎖”現象的條件是：推力與豎直方向的夾角滿足tanθ≤μ.

三、正切函數在動力學問題中的應用

例3如圖4，一個質量為m的小球用細線懸掛于車廂頂板上，當車廂以加速度a向右做勻加速運動時，則細線偏離豎直方向的角度θ為多大？

分析小球受力如圖5所示，由牛頓第二定律得mgtanθ=ma,則tanθ=ag.

四、正切函數在平拋運動中的應用

例4一個質量為m的小球以水平初速度v0拋出，不計空氣阻力，最后垂直撞在傾角為θ的斜面上，求小球在空中飛行的時間為多少？

分析小球做平拋運動，其軌跡如圖6，最后小球垂直撞在斜面上，即其速度方向與斜面垂直，而速度v是由水平速度vx和豎直速度vy組成，則有tanθ=vyvx=gtv0,所以小球在空中飛行的時間為t=v0tanθg.

點評對于平拋運動，首先想到將運動分解到水平方向和豎直方向來研究.而最后小球垂直撞在斜面上，則表明了運動的速度方向與斜面垂直，由圖可以發現其三角形中的兩個分速度與角θ的關系，利用正切函數得解.

五、正切函數在偏轉電場中的應用

例5兩塊長度為L的金屬板水平、平行相對放置，相距為d，如圖7所示，兩金屬板與一個電源相連，使兩板帶上等量異種電荷，在板間形成一個沿豎直方向的勻強電場，其電場強度大小為E.有一帶電量為q、質量為m的帶正電的粒子，以水平速度v0從左側垂直電場方向射入兩板之間，不計帶電粒子的重力，試求

（1）帶電粒子離開電場時的偏轉距離為多大？（2）帶電粒子離開電場時的偏轉角為多大？

分析與解帶電粒子在電場中只受到電場力作用，因而做類平拋運動，故將運動分解到：沿垂直于電場方向做勻速運動，速度為v0.

沿電場方向做勻加速直線運動，加速度為a=Fm=qEm.

所以有L=v0t,vx=v0,y=12at2,vy=at.

帶電粒子離開電場時的偏轉距離為y=qEL22mv20.

帶電粒子離開電場時的偏轉角為tanθ=vyvx=qELmv20.

點評帶電粒子在電場中做類平拋運動，其分析、處理問題的方法與平拋運動的研究方法相似，都采用運動的分解方法.帶電粒子在電場中發生偏轉，對于所發生偏轉距離以及偏轉角的問題，經常涉及到正切函數.并且由上述兩個結論我們進一步發現，帶電粒子離開電場時的偏轉距離與偏轉角之間的關系有y=L2tanθ，即：帶電粒子離開電場時速度的反向延長線與初速度的交點位于板長的中點.對于一些特殊的結論，我們如果能熟練地掌握并加以適當地利用，對我們解決有關物理問題，提高解題的速度，增強解題能力會大有幫助.

六、正切函數在圖象問題中的應用

物理圖象具有形象、直觀、簡潔明了的特點，它能形象直觀地展示出物理情景以及各物理量間的函數關系.應用物理圖象來解題可以起到簡便快捷，使較為復雜的問題變得形象易懂.通過理解、分析圖像能幫助我們弄清具體的物理過程，構建物理情景，探尋物理量之間的函數關系，達到數與形相結合.物理圖象不僅是分析、計算的工具，而且對于物理概念和規律的形成以及運用物理知識來解決實際問題.同時，圖像問題也是當前高考熱點和重點.在許多情況下，由于物理量間是線性函數關系，其物理圖象往往可用一條直線來表示，解題時經常涉及到直線傾角的正切函數（即直線的斜率）.

例如，物體做勻速直線運動時我們會用到位移-時間的圖象（x-t圖象）如圖8所示，反映物體的位移隨時間的變化關系，其斜率表示物體運動的速度，tanθ=ΔxΔt=v；物體做勻加速直線運動時，用到速度－時間的圖象（v-t圖象）如圖9所示，反映物體運動的速度隨時間的變化關系，則斜率表示物體運動的加速度，tanθ=ΔvΔt=a.

再如,一導體的電流與電壓的關系如圖10所示，其斜率tanθ=ΔUΔI=R，表示導體的電阻R.閉合電路的路端電壓與電流關系如圖11所示，其斜率：tanθ=ΔUΔI=r，則表示電源的內電阻r.

通過上述例子的分析表明正切函數在高中物理解題中有著廣泛應用.我們在解決實際物理問題的過程中，通過作圖，建立清晰的物理情景和物理模型，除了需要牢固掌握物理概念和物理規律等基礎知識外，還需要具有靈活運用數學方法和數學技巧，做到“數形結合”、“數理結合”，以拓展解題的思路，不斷提高自己靈活運用數學知識解決物理問題的能力.

高中物理新課標中“應用數學工具處理物理問題的能力”是高中物理教學的重要內容，也是高考物理能力考查的重點.數學中的正切函數反映了直角三角形中邊與角之間的關系，在高中物理中，有關物理量之間的關系往往構成直角三角形，運用正切函數可使相關物理問題迎刃而解.本文通過幾個實例來說明正切函數在高中物理解題中的重要地位以及巧妙應用.

一、正切函數在物體平衡問題中的應用

例1一塊長木板傾斜放置，與水平面間的傾角為θ.當一個質量為m的木塊沿著長木板勻速下滑時，試求：木塊與長木板間的動摩擦因數μ多大？

分析與解木塊沿著長木板勻速下滑時受力如圖1所示，且三力的合力為零，則有

N=mgcosθ，f=μN=mgsinθ.

因此有mgsinθ=μmgcosθ,得μ=tanθ.

點評當物體沿斜面下滑時，比較μ和tanθ的大小關系就可以判別物體運動情況.例如：假設斜面的傾角θ＝37°，當μ=tan37°=0.75時，物體就沿斜面勻速下滑；當μ=0.5tan37°=0.75時，物體就沿斜面向下勻減速下滑直至停止.另外，我們也可以利用上述現象來測定兩物體間的動摩擦因數：只要通過調節斜面的傾角θ，恰好做到使物體沿斜面勻速下滑，測出其傾角θ，即得到動摩擦因數為：μ=tanθ.我們把此時斜面的傾角θ又稱之為“摩擦角”.

二、正切函數在臨界問題中的應用

例2有一質量為m的物體靜止放在水平地面上，物體與水平地面間的動摩擦因數為μ.現用一個與豎直方向成θ角的推力F去推物體，如圖2所示.設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力.試討論當θ角滿足什么條件時，無論用多大的推力F都不能推動物體？

分析與解物體受力如圖3所示，要推不動物體，有：Fx≤fmax，即Fsinθ≤μN=μ(mg+Fcosθ),得到 F(sinθ-μcosθ)≤μmg.

無論推力F多大，要使此式成立，必須有：sinθ-μcosθ≤0, 即 tanθ≤μ.

點評由此可見，無論推力F多大，要使物體都處在靜止狀態，即物體不會被推動，也就是發生“自鎖”現象.因此發生“自鎖”現象的條件是：推力與豎直方向的夾角滿足tanθ≤μ.

三、正切函數在動力學問題中的應用

例3如圖4，一個質量為m的小球用細線懸掛于車廂頂板上，當車廂以加速度a向右做勻加速運動時，則細線偏離豎直方向的角度θ為多大？

分析小球受力如圖5所示，由牛頓第二定律得mgtanθ=ma,則tanθ=ag.

四、正切函數在平拋運動中的應用

例4一個質量為m的小球以水平初速度v0拋出，不計空氣阻力，最后垂直撞在傾角為θ的斜面上，求小球在空中飛行的時間為多少？

分析小球做平拋運動，其軌跡如圖6，最后小球垂直撞在斜面上，即其速度方向與斜面垂直，而速度v是由水平速度vx和豎直速度vy組成，則有tanθ=vyvx=gtv0,所以小球在空中飛行的時間為t=v0tanθg.

點評對于平拋運動，首先想到將運動分解到水平方向和豎直方向來研究.而最后小球垂直撞在斜面上，則表明了運動的速度方向與斜面垂直，由圖可以發現其三角形中的兩個分速度與角θ的關系，利用正切函數得解.

五、正切函數在偏轉電場中的應用

例5兩塊長度為L的金屬板水平、平行相對放置，相距為d，如圖7所示，兩金屬板與一個電源相連，使兩板帶上等量異種電荷，在板間形成一個沿豎直方向的勻強電場，其電場強度大小為E.有一帶電量為q、質量為m的帶正電的粒子，以水平速度v0從左側垂直電場方向射入兩板之間，不計帶電粒子的重力，試求

（1）帶電粒子離開電場時的偏轉距離為多大？（2）帶電粒子離開電場時的偏轉角為多大？

分析與解帶電粒子在電場中只受到電場力作用，因而做類平拋運動，故將運動分解到：沿垂直于電場方向做勻速運動，速度為v0.

沿電場方向做勻加速直線運動，加速度為a=Fm=qEm.

所以有L=v0t,vx=v0,y=12at2,vy=at.

帶電粒子離開電場時的偏轉距離為y=qEL22mv20.

帶電粒子離開電場時的偏轉角為tanθ=vyvx=qELmv20.

點評帶電粒子在電場中做類平拋運動，其分析、處理問題的方法與平拋運動的研究方法相似，都采用運動的分解方法.帶電粒子在電場中發生偏轉，對于所發生偏轉距離以及偏轉角的問題，經常涉及到正切函數.并且由上述兩個結論我們進一步發現，帶電粒子離開電場時的偏轉距離與偏轉角之間的關系有y=L2tanθ，即：帶電粒子離開電場時速度的反向延長線與初速度的交點位于板長的中點.對于一些特殊的結論，我們如果能熟練地掌握并加以適當地利用，對我們解決有關物理問題，提高解題的速度，增強解題能力會大有幫助.

六、正切函數在圖象問題中的應用

物理圖象具有形象、直觀、簡潔明了的特點，它能形象直觀地展示出物理情景以及各物理量間的函數關系.應用物理圖象來解題可以起到簡便快捷，使較為復雜的問題變得形象易懂.通過理解、分析圖像能幫助我們弄清具體的物理過程，構建物理情景，探尋物理量之間的函數關系，達到數與形相結合.物理圖象不僅是分析、計算的工具，而且對于物理概念和規律的形成以及運用物理知識來解決實際問題.同時，圖像問題也是當前高考熱點和重點.在許多情況下，由于物理量間是線性函數關系，其物理圖象往往可用一條直線來表示，解題時經常涉及到直線傾角的正切函數（即直線的斜率）.

例如，物體做勻速直線運動時我們會用到位移-時間的圖象（x-t圖象）如圖8所示，反映物體的位移隨時間的變化關系，其斜率表示物體運動的速度，tanθ=ΔxΔt=v；物體做勻加速直線運動時，用到速度－時間的圖象（v-t圖象）如圖9所示，反映物體運動的速度隨時間的變化關系，則斜率表示物體運動的加速度，tanθ=ΔvΔt=a.

再如,一導體的電流與電壓的關系如圖10所示，其斜率tanθ=ΔUΔI=R，表示導體的電阻R.閉合電路的路端電壓與電流關系如圖11所示，其斜率：tanθ=ΔUΔI=r，則表示電源的內電阻r.

通過上述例子的分析表明正切函數在高中物理解題中有著廣泛應用.我們在解決實際物理問題的過程中，通過作圖，建立清晰的物理情景和物理模型，除了需要牢固掌握物理概念和物理規律等基礎知識外，還需要具有靈活運用數學方法和數學技巧，做到“數形結合”、“數理結合”，以拓展解題的思路，不斷提高自己靈活運用數學知識解決物理問題的能力.