談數形結合

劉占科

所謂形到數的轉化是指在取定的坐標系下，使點與坐標對應，曲線和方程對應，在此基礎上通過對方程的研究分析曲線的性質.而形到數的轉化的作用在于可以提高我們使用幾何方法解決代數問題的能力.在平常的教學中要讓學生深刻理解每一個代數式，每一種代數變形，每一種代數式演算方法的幾何意義. 下面通過一個例題說明一下如何用幾何方法解決代數問題，實現數到形的轉化，以此培養學生創造性思維能力.

例已知：實數x，y滿足x-y+2=0，x∈[1，3]，求y+1x+2取值范圍.

分析本題從代數角度出發是可行的，

由x-y+2=0得y=x+2，

則y+1x+2=（x+2）+1x+2=1+1x+2，

結合x的范圍可求出y的范圍為[65，43].

當然還可以令t=y+1x+2，反求出x=3-2tt-1，

解不等式1≤3-2tt-1≤3，即可求出t的范圍.

下面我們從幾何角度考慮一下，實數x，y滿足x-y+2=0，x∈[1，3]，

而y+1x+2=y-（-1）x-（-2），x∈[1，3]的幾何意義是線段x-y+2=0，x∈[1，3]上的點與點

P（-2，-1）連線的斜率.

如圖1所示，

kPA=3+11+2=43，

kPB=5+13+2=65，

所以y+1x+2的取值范圍為[65，43].

本題的實質是應用了經過兩點P1（x1，y1）與P2（x2，y2）的直線的斜率k=y2-y1x2-x1的幾何意義.通過巧妙構建斜率，使復雜的代數問題轉化為形象的幾何問題，使問題得到別開生面的巧解.

以上例題是先從代數角度分析，再從幾何角度研究.可以發現，代數方法側重嚴密的推理和數式的演算，借助函數思想、方程思想解決問題.但使用時比較單調、乏味，有時會陷入煩瑣運算，極易使學生感到厭煩.而幾何方法則獨辟蹊徑，教師可以通過幾何畫板軟件，借助軟件的動態演示，實現數向形轉化，把抽象的概念，枯燥的公式，用直觀形象的規范圖形來表達，化枯燥為生動，化抽象為直觀，化直觀為精確.促使學生的抽象思維和形象思維和諧復合，使問題得到簡捷解決.

數向形轉化的題目很多，但我們要明確，并不是遇到一個代數問題都能用幾何方法來解決，也并不是遇到一個代數問題都有必要用幾何方法來解決.給定一個代數問題我們應首先分析這個代數問題是否具備由“數向形”轉化的可行性，如果具備了轉化的條件再分析有沒有轉化的必要性.總之，要具體問題具體分析，不能照搬和照抄解題模式.“數向形”的轉化為我們解決代數問題提供了一種方法，有時會在“山窮水盡疑無路”的情況下，突現“柳暗花明又一村”的效果.一個代數問題用代數方法解決，還是用幾何方法解決，要看哪一種簡單易行，能起到化繁為簡，化難為易，化抽象為直觀，化間接為直接的作用.

數向形的轉化是研究和解決數學問題的一種基本的思想方法，通過數向形的轉化，把問題中數量關系，轉化為圖形的大小與位置關系，從而把問題變得簡單、具體、直觀、容易解決.數向形轉化的思想方法是反映學生數學能力、數學素養的重要標志之一.練習使用數向形的轉化可以提高分析問題、解決問題的能力.

或是和學生一起完成的實驗等.

例如，和學生一起學習橢圓的定義時，可以給學生進行簡單的實驗演示：在豎直平面上固定兩個釘子A、B，取一根無彈力繩（繩子的長度大于兩釘子的間距），將繩子的兩端分別系在A、B上，然后用粉筆拉緊繩在平面上移動，得到圖形，不是圓，卻又很規則，讓學生直觀地感受“橢圓”的形態.接著要求學生自己去觀察、發現并用形象化的語言對橢圓的特點進行描述，最后再用嚴格的數學語言進行準確地表達.有了橢圓的認識經驗，在此基礎上進一步發散，“雙曲線”的學習變得簡單了，最終掌握“圓錐曲線”的思想方法.

（2）模型資源：教學中用到的模型、掛圖、多媒體課件等.

例如，在和學生一起學習“集合間的交、并、補運算”時，給學生提供韋恩圖（如圖2所示），學生可以十分直觀、清晰地看到集合間的關系，有利于知識的理解和運用.

（3）語言資源：數學形象化語言，如概念、定理的文字、符號和圖形表征.

我們在教學過程中要根據學生的認知基礎科學地設置學習情境，借助于形象思維資源幫助學生從直觀的感性認識逐步引導到抽象的數學理性認識.

在數學上，我們必須指出，數學中的形象已經不是形象思維初級階段的那種形象，即單憑人的感官在所能感知閾限的限度以內的形象，而是在前一步抽象的基礎上通過抽象邏輯思維的滲透和數學語言做物質外殼，運用典型化的手段概括出的理想化形象.因此對于數學形象的理解，絕不能僅僅的理解為幾何圖形，除幾何圖形之外，它還包括各種試驗、實物、模型、表格等，甚至也不排除數學知識在頭腦中形成的記憶形象和較直觀地揭示問題本質的語言和符號等.如結合數軸解不等式中的數軸；利用圖形講解函數性質的圖象；利用韋恩圖講解集合有關知識的韋恩圖等均屬于數學形象.因此，數學的形象大體屬于觀念形象的范疇.從這個意義上說，數學形象思維與抽象思維一樣屬于認識的高級階段，同樣可以揭示、反映事物的本質和規律.

所謂形到數的轉化是指在取定的坐標系下，使點與坐標對應，曲線和方程對應，在此基礎上通過對方程的研究分析曲線的性質.而形到數的轉化的作用在于可以提高我們使用幾何方法解決代數問題的能力.在平常的教學中要讓學生深刻理解每一個代數式，每一種代數變形，每一種代數式演算方法的幾何意義. 下面通過一個例題說明一下如何用幾何方法解決代數問題，實現數到形的轉化，以此培養學生創造性思維能力.

例已知：實數x，y滿足x-y+2=0，x∈[1，3]，求y+1x+2取值范圍.

分析本題從代數角度出發是可行的，

由x-y+2=0得y=x+2，

則y+1x+2=（x+2）+1x+2=1+1x+2，

結合x的范圍可求出y的范圍為[65，43].

當然還可以令t=y+1x+2，反求出x=3-2tt-1，

解不等式1≤3-2tt-1≤3，即可求出t的范圍.

下面我們從幾何角度考慮一下，實數x，y滿足x-y+2=0，x∈[1，3]，

而y+1x+2=y-（-1）x-（-2），x∈[1，3]的幾何意義是線段x-y+2=0，x∈[1，3]上的點與點

P（-2，-1）連線的斜率.

如圖1所示，

kPA=3+11+2=43，

kPB=5+13+2=65，

所以y+1x+2的取值范圍為[65，43].

本題的實質是應用了經過兩點P1（x1，y1）與P2（x2，y2）的直線的斜率k=y2-y1x2-x1的幾何意義.通過巧妙構建斜率，使復雜的代數問題轉化為形象的幾何問題，使問題得到別開生面的巧解.

以上例題是先從代數角度分析，再從幾何角度研究.可以發現，代數方法側重嚴密的推理和數式的演算，借助函數思想、方程思想解決問題.但使用時比較單調、乏味，有時會陷入煩瑣運算，極易使學生感到厭煩.而幾何方法則獨辟蹊徑，教師可以通過幾何畫板軟件，借助軟件的動態演示，實現數向形轉化，把抽象的概念，枯燥的公式，用直觀形象的規范圖形來表達，化枯燥為生動，化抽象為直觀，化直觀為精確.促使學生的抽象思維和形象思維和諧復合，使問題得到簡捷解決.

數向形轉化的題目很多，但我們要明確，并不是遇到一個代數問題都能用幾何方法來解決，也并不是遇到一個代數問題都有必要用幾何方法來解決.給定一個代數問題我們應首先分析這個代數問題是否具備由“數向形”轉化的可行性，如果具備了轉化的條件再分析有沒有轉化的必要性.總之，要具體問題具體分析，不能照搬和照抄解題模式.“數向形”的轉化為我們解決代數問題提供了一種方法，有時會在“山窮水盡疑無路”的情況下，突現“柳暗花明又一村”的效果.一個代數問題用代數方法解決，還是用幾何方法解決，要看哪一種簡單易行，能起到化繁為簡，化難為易，化抽象為直觀，化間接為直接的作用.

數向形的轉化是研究和解決數學問題的一種基本的思想方法，通過數向形的轉化，把問題中數量關系，轉化為圖形的大小與位置關系，從而把問題變得簡單、具體、直觀、容易解決.數向形轉化的思想方法是反映學生數學能力、數學素養的重要標志之一.練習使用數向形的轉化可以提高分析問題、解決問題的能力.

或是和學生一起完成的實驗等.

例如，和學生一起學習橢圓的定義時，可以給學生進行簡單的實驗演示：在豎直平面上固定兩個釘子A、B，取一根無彈力繩（繩子的長度大于兩釘子的間距），將繩子的兩端分別系在A、B上，然后用粉筆拉緊繩在平面上移動，得到圖形，不是圓，卻又很規則，讓學生直觀地感受“橢圓”的形態.接著要求學生自己去觀察、發現并用形象化的語言對橢圓的特點進行描述，最后再用嚴格的數學語言進行準確地表達.有了橢圓的認識經驗，在此基礎上進一步發散，“雙曲線”的學習變得簡單了，最終掌握“圓錐曲線”的思想方法.

（2）模型資源：教學中用到的模型、掛圖、多媒體課件等.

例如，在和學生一起學習“集合間的交、并、補運算”時，給學生提供韋恩圖（如圖2所示），學生可以十分直觀、清晰地看到集合間的關系，有利于知識的理解和運用.

（3）語言資源：數學形象化語言，如概念、定理的文字、符號和圖形表征.

我們在教學過程中要根據學生的認知基礎科學地設置學習情境，借助于形象思維資源幫助學生從直觀的感性認識逐步引導到抽象的數學理性認識.

在數學上，我們必須指出，數學中的形象已經不是形象思維初級階段的那種形象，即單憑人的感官在所能感知閾限的限度以內的形象，而是在前一步抽象的基礎上通過抽象邏輯思維的滲透和數學語言做物質外殼，運用典型化的手段概括出的理想化形象.因此對于數學形象的理解，絕不能僅僅的理解為幾何圖形，除幾何圖形之外，它還包括各種試驗、實物、模型、表格等，甚至也不排除數學知識在頭腦中形成的記憶形象和較直觀地揭示問題本質的語言和符號等.如結合數軸解不等式中的數軸；利用圖形講解函數性質的圖象；利用韋恩圖講解集合有關知識的韋恩圖等均屬于數學形象.因此，數學的形象大體屬于觀念形象的范疇.從這個意義上說，數學形象思維與抽象思維一樣屬于認識的高級階段，同樣可以揭示、反映事物的本質和規律.

所謂形到數的轉化是指在取定的坐標系下，使點與坐標對應，曲線和方程對應，在此基礎上通過對方程的研究分析曲線的性質.而形到數的轉化的作用在于可以提高我們使用幾何方法解決代數問題的能力.在平常的教學中要讓學生深刻理解每一個代數式，每一種代數變形，每一種代數式演算方法的幾何意義. 下面通過一個例題說明一下如何用幾何方法解決代數問題，實現數到形的轉化，以此培養學生創造性思維能力.

例已知：實數x，y滿足x-y+2=0，x∈[1，3]，求y+1x+2取值范圍.

分析本題從代數角度出發是可行的，

由x-y+2=0得y=x+2，

則y+1x+2=（x+2）+1x+2=1+1x+2，

結合x的范圍可求出y的范圍為[65，43].

當然還可以令t=y+1x+2，反求出x=3-2tt-1，

解不等式1≤3-2tt-1≤3，即可求出t的范圍.

下面我們從幾何角度考慮一下，實數x，y滿足x-y+2=0，x∈[1，3]，

而y+1x+2=y-（-1）x-（-2），x∈[1，3]的幾何意義是線段x-y+2=0，x∈[1，3]上的點與點

P（-2，-1）連線的斜率.

如圖1所示，

kPA=3+11+2=43，

kPB=5+13+2=65，

所以y+1x+2的取值范圍為[65，43].

本題的實質是應用了經過兩點P1（x1，y1）與P2（x2，y2）的直線的斜率k=y2-y1x2-x1的幾何意義.通過巧妙構建斜率，使復雜的代數問題轉化為形象的幾何問題，使問題得到別開生面的巧解.

以上例題是先從代數角度分析，再從幾何角度研究.可以發現，代數方法側重嚴密的推理和數式的演算，借助函數思想、方程思想解決問題.但使用時比較單調、乏味，有時會陷入煩瑣運算，極易使學生感到厭煩.而幾何方法則獨辟蹊徑，教師可以通過幾何畫板軟件，借助軟件的動態演示，實現數向形轉化，把抽象的概念，枯燥的公式，用直觀形象的規范圖形來表達，化枯燥為生動，化抽象為直觀，化直觀為精確.促使學生的抽象思維和形象思維和諧復合，使問題得到簡捷解決.

數向形轉化的題目很多，但我們要明確，并不是遇到一個代數問題都能用幾何方法來解決，也并不是遇到一個代數問題都有必要用幾何方法來解決.給定一個代數問題我們應首先分析這個代數問題是否具備由“數向形”轉化的可行性，如果具備了轉化的條件再分析有沒有轉化的必要性.總之，要具體問題具體分析，不能照搬和照抄解題模式.“數向形”的轉化為我們解決代數問題提供了一種方法，有時會在“山窮水盡疑無路”的情況下，突現“柳暗花明又一村”的效果.一個代數問題用代數方法解決，還是用幾何方法解決，要看哪一種簡單易行，能起到化繁為簡，化難為易，化抽象為直觀，化間接為直接的作用.

數向形的轉化是研究和解決數學問題的一種基本的思想方法，通過數向形的轉化，把問題中數量關系，轉化為圖形的大小與位置關系，從而把問題變得簡單、具體、直觀、容易解決.數向形轉化的思想方法是反映學生數學能力、數學素養的重要標志之一.練習使用數向形的轉化可以提高分析問題、解決問題的能力.

或是和學生一起完成的實驗等.

例如，和學生一起學習橢圓的定義時，可以給學生進行簡單的實驗演示：在豎直平面上固定兩個釘子A、B，取一根無彈力繩（繩子的長度大于兩釘子的間距），將繩子的兩端分別系在A、B上，然后用粉筆拉緊繩在平面上移動，得到圖形，不是圓，卻又很規則，讓學生直觀地感受“橢圓”的形態.接著要求學生自己去觀察、發現并用形象化的語言對橢圓的特點進行描述，最后再用嚴格的數學語言進行準確地表達.有了橢圓的認識經驗，在此基礎上進一步發散，“雙曲線”的學習變得簡單了，最終掌握“圓錐曲線”的思想方法.

（2）模型資源：教學中用到的模型、掛圖、多媒體課件等.

例如，在和學生一起學習“集合間的交、并、補運算”時，給學生提供韋恩圖（如圖2所示），學生可以十分直觀、清晰地看到集合間的關系，有利于知識的理解和運用.

（3）語言資源：數學形象化語言，如概念、定理的文字、符號和圖形表征.

我們在教學過程中要根據學生的認知基礎科學地設置學習情境，借助于形象思維資源幫助學生從直觀的感性認識逐步引導到抽象的數學理性認識.

在數學上，我們必須指出，數學中的形象已經不是形象思維初級階段的那種形象，即單憑人的感官在所能感知閾限的限度以內的形象，而是在前一步抽象的基礎上通過抽象邏輯思維的滲透和數學語言做物質外殼，運用典型化的手段概括出的理想化形象.因此對于數學形象的理解，絕不能僅僅的理解為幾何圖形，除幾何圖形之外，它還包括各種試驗、實物、模型、表格等，甚至也不排除數學知識在頭腦中形成的記憶形象和較直觀地揭示問題本質的語言和符號等.如結合數軸解不等式中的數軸；利用圖形講解函數性質的圖象；利用韋恩圖講解集合有關知識的韋恩圖等均屬于數學形象.因此，數學的形象大體屬于觀念形象的范疇.從這個意義上說，數學形象思維與抽象思維一樣屬于認識的高級階段，同樣可以揭示、反映事物的本質和規律.