數學形象思維的層次及教育功能

蔣曉勇

縱觀高中數學知識，給老師、學生“抽象”、“概括”的感覺，的確要學好高中數學需要學生具有很強的抽象思維能力.不過高中生的思維發展水平如何呢？從高中學生學齡特點來看，學生的抽象思維處于發展階段，還不夠成熟，尤其是剛剛步入高一時，學生的思維主體還是形象思維.那么，我們的教學是不是一下子到達抽象思維要求呢？實踐經驗表明，如果直接跳躍到抽象思維，不符合最近發展區原理，不僅僅不利于數學知識的學習，還會影響高中生數學思維能力的發展，造成嚴重的學習負擔，影響后續學習.筆者認為高中數學教學不可缺失了形象思維，應重視形象思維的教育功能，促進學生的思維發展、數學素養和數學學習興趣的提升.本文結合案例就形象思維的層次及教育功能進行分析，望能有助于教學實踐.

一、數學形象思維的層次

1．幾何思維

幾何思維是數學形象思維的第一個層次，包括函數圖象、平面幾何圖形和立體幾何圖形等.該層次的幾何思維涉及到的或是直觀的幾何問題，或是在原有圖形上添加輔助線進一步直觀化研究，或是將文字表征化為圖形表征進行研究，或是把生活中實際問題化為幾何問題的研究.

例如，在立體幾何中存在著一類問題——折疊問題，將某一平面圖形沿一條直線折起，從而形成一個空間圖形.接著探究折疊后的空間圖形中某些線或面之間的位置關系.解決這類問題就需要在原有圖形的基礎上做輔助線完成問題的解答.

例1已知矩形ABCD的兩邊AB=3，BC=4，沿對角線AC將它折成一個直二面角，求折疊

后AC與BD所成角.

解如圖1所示，在折疊前的矩形ABCD中，作DF⊥AC于F，BE⊥AC于E，并延長BE至點G，使EG=BE，連結DG,得EG∥DF，EG=DF，得四邊形EFDG為平行四邊形，得DG∥EF，∠BDG是異面直線AC與BD所成角.折疊后，如圖1所示，仍有EF⊥EG,EF⊥EB，則EF⊥平面BEG，所以∠BEG是折成的二面角的平面角，即∠BEG=90°.在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,所以AC=5,BE=EG=DF=125,AE=FC=95.得DG=EF=5-2×95=75.在等腰Rt△BGD中，BG=2BE=1225,又DG∥EF，所以得DG⊥平面BEGDG⊥BG.得在Rt△BGD中,

tan∠BDG=BGDG=1227,即得∠BDG=arctan1227.

2．類幾何思維

類幾何思維要比幾何思維深一個層次，往往是要求學生將問題與頭腦中的原有認知和經驗形象進行溝通.數學中的“式”、“形”或“結構”通常是對應著的，例如在解決代數問題時運用類幾何思維或將代數問題轉化為幾何問題，或從代數式的結構特征出發，聯想與之相似、相近的結構，進行問題解決.例如tanα=ab和k=y1-y2x1-x2的結構具有聯系.

例2已知點P(x,y)滿足x2+(y+3)2+x2+(y-3)2=4，求點P的軌跡方程.

解析解決這個問題可以聯想到

點P(x,y)到兩個定點(0,-3)，(0,3)的距離和為4.又因為4>23，聯系到橢圓的定義則可以知道，P點的軌跡應該是橢圓，則其方程為y24+x2=1.

3．意會形象思維

這是形象思維的最高層次，著名數學家阿達瑪(Hadamard)說：“在我所從事的全部數學研究中，我都會構作這樣的圖像，它一定是一幅模糊的東西，有了這個圖，我才不會誤入歧途.”阿達瑪(Hadamard)所說的“圖像”即是意會形象.

二、數學形象思維的教育功能

1．形象思維能培養學生數學學習興趣

教師應注意在課堂教學中有效地使用形象思維，突出形象思維的直觀、形象的特點，就會使更多的學生遠離高度抽象的數學.

例如：在介紹誘導公式時，需要學生掌握六組基本公式，抽象而瑣碎.若在證得六組公式后，把其特點編成順口溜：“奇變偶不變，符號看象限”，實踐演練后會收到意想不到的效果.

學生在求知過程中，喜歡新鮮、有趣、多樣化.因此，學習時配以貼切形象的歌訣，能引起他們的興趣，且便于記憶.此外，我們還可以通過構圖來實現形象化，使數學學習化抽象為具體、化深奧為淺顯，激發學生學習數學的興趣.

2．形象思維能有效促進對數學知識的理解、記憶和提取

為什么學生感覺數學概念學習難，主要原因在于數學概念和法則都很抽象，表象都比較隱晦，學生需要借助于具體的模型和先行組織者，將學習內容“翻譯”、“轉換”才能被學生直接感知，而要抽象成數學概念還必須借助于數學形象思維才行.

例如，和學生一起學習“函數”概念時，如果不注重實例分析，學生的思維是不積極的，知識理解程度低.筆者認為應該從學生所接觸現實生活中具體的對應關系的量、事物出發，激活形象的思維，促進學生對概念的理解.

數學定理的學習和證明同樣不應該是純理性的，也需要數學形象思維的參與.我們在和學生學習了一條數學定理及其證明后，學生是不是真的懂了呢？筆者認為必須從概念的直觀含義出發，我們教師要呈現出可視化的圖形，給學生展示證明的直觀思路.只有建立在直觀的思路上，學生的懂才是真正的懂.

其實，從高中數學教材的安排來看，教材注重知識學習過程形象思維的直觀呈現.比如“加法原理”、“乘法原理”，教材首先從生活中實際例子出發，激活學生頭腦中的已有經驗，促進學生問題的解決.學生在解決問題的過程中對生活中的問題有了一個整體認識，這個時候給出原理的內容，實現從生活到知識的自然過渡，感受到生活是知識的本源，也體驗到了數學定理在現實生活中的價值，提升學生的學習情感.

3．形象思維推動學生思維向深刻性、概括性方向發展

教學中有哪些形象的資源？筆者根據教學實踐經驗，將形象的資源分為三類：

（1）實物資源：教學中用到的實物、標本，給學生演示的或是和學生一起完成的實驗等.

例如，和學生一起學習橢圓的定義時，可以給學生進行簡單的實驗演示：在豎直平面上固定兩個釘子A、B，取一根無彈力繩（繩子的長度大于兩釘子的間距），將繩子的兩端分別系在A、B上，然后用粉筆拉緊繩在平面上移動，得到圖形，不是圓，卻又很規則，讓學生直觀地感受“橢圓”的形態.接著要求學生自己去觀察、發現并用形象化的語言對橢圓的特點進行描述，最后再用嚴格的數學語言進行準確地表達.有了橢圓的認識經驗，在此基礎上進一步發散，“雙曲線”的學習變得簡單了，最終掌握“圓錐曲線”的思想方法.

（2）模型資源：教學中用到的模型、掛圖、多媒體課件等.

例如，在和學生一起學習“集合間的交、并、補運算”時，給學生提供韋恩圖（如圖2所示），學生可以十分直觀、清晰地看到集合間的關系，有利于知識的理解和運用.

（3）語言資源：數學形象化語言，如概念、定理的文字、符號和圖形表征.

我們在教學過程中要根據學生的認知基礎科學地設置學習情境，借助于形象思維資源幫助學生從直觀的感性認識逐步引導到抽象的數學理性認識.

在數學上，我們必須指出，數學中的形象已經不是形象思維初級階段的那種形象，即單憑人的感官在所能感知閾限的限度以內的形象，而是在前一步抽象的基礎上通過抽象邏輯思維的滲透和數學語言做物質外殼，運用典型化的手段概括出的理想化形象.因此對于數學形象的理解，絕不能僅僅的理解為幾何圖形，除幾何圖形之外，它還包括各種試驗、實物、模型、表格等，甚至也不排除數學知識在頭腦中形成的記憶形象和較直觀地揭示問題本質的語言和符號等.如結合數軸解不等式中的數軸；利用圖形講解函數性質的圖象；利用韋恩圖講解集合有關知識的韋恩圖等均屬于數學形象.因此，數學的形象大體屬于觀念形象的范疇.從這個意義上說，數學形象思維與抽象思維一樣屬于認識的高級階段，同樣可以揭示、反映事物的本質和規律.

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縱觀高中數學知識，給老師、學生“抽象”、“概括”的感覺，的確要學好高中數學需要學生具有很強的抽象思維能力.不過高中生的思維發展水平如何呢？從高中學生學齡特點來看，學生的抽象思維處于發展階段，還不夠成熟，尤其是剛剛步入高一時，學生的思維主體還是形象思維.那么，我們的教學是不是一下子到達抽象思維要求呢？實踐經驗表明，如果直接跳躍到抽象思維，不符合最近發展區原理，不僅僅不利于數學知識的學習，還會影響高中生數學思維能力的發展，造成嚴重的學習負擔，影響后續學習.筆者認為高中數學教學不可缺失了形象思維，應重視形象思維的教育功能，促進學生的思維發展、數學素養和數學學習興趣的提升.本文結合案例就形象思維的層次及教育功能進行分析，望能有助于教學實踐.

一、數學形象思維的層次

1．幾何思維

幾何思維是數學形象思維的第一個層次，包括函數圖象、平面幾何圖形和立體幾何圖形等.該層次的幾何思維涉及到的或是直觀的幾何問題，或是在原有圖形上添加輔助線進一步直觀化研究，或是將文字表征化為圖形表征進行研究，或是把生活中實際問題化為幾何問題的研究.

例如，在立體幾何中存在著一類問題——折疊問題，將某一平面圖形沿一條直線折起，從而形成一個空間圖形.接著探究折疊后的空間圖形中某些線或面之間的位置關系.解決這類問題就需要在原有圖形的基礎上做輔助線完成問題的解答.

例1已知矩形ABCD的兩邊AB=3，BC=4，沿對角線AC將它折成一個直二面角，求折疊

后AC與BD所成角.

解如圖1所示，在折疊前的矩形ABCD中，作DF⊥AC于F，BE⊥AC于E，并延長BE至點G，使EG=BE，連結DG,得EG∥DF，EG=DF，得四邊形EFDG為平行四邊形，得DG∥EF，∠BDG是異面直線AC與BD所成角.折疊后，如圖1所示，仍有EF⊥EG,EF⊥EB，則EF⊥平面BEG，所以∠BEG是折成的二面角的平面角，即∠BEG=90°.在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,所以AC=5,BE=EG=DF=125,AE=FC=95.得DG=EF=5-2×95=75.在等腰Rt△BGD中，BG=2BE=1225,又DG∥EF，所以得DG⊥平面BEGDG⊥BG.得在Rt△BGD中,

tan∠BDG=BGDG=1227,即得∠BDG=arctan1227.

2．類幾何思維

類幾何思維要比幾何思維深一個層次，往往是要求學生將問題與頭腦中的原有認知和經驗形象進行溝通.數學中的“式”、“形”或“結構”通常是對應著的，例如在解決代數問題時運用類幾何思維或將代數問題轉化為幾何問題，或從代數式的結構特征出發，聯想與之相似、相近的結構，進行問題解決.例如tanα=ab和k=y1-y2x1-x2的結構具有聯系.

例2已知點P(x,y)滿足x2+(y+3)2+x2+(y-3)2=4，求點P的軌跡方程.

解析解決這個問題可以聯想到

點P(x,y)到兩個定點(0,-3)，(0,3)的距離和為4.又因為4>23，聯系到橢圓的定義則可以知道，P點的軌跡應該是橢圓，則其方程為y24+x2=1.

3．意會形象思維

這是形象思維的最高層次，著名數學家阿達瑪(Hadamard)說：“在我所從事的全部數學研究中，我都會構作這樣的圖像，它一定是一幅模糊的東西，有了這個圖，我才不會誤入歧途.”阿達瑪(Hadamard)所說的“圖像”即是意會形象.

二、數學形象思維的教育功能

1．形象思維能培養學生數學學習興趣

教師應注意在課堂教學中有效地使用形象思維，突出形象思維的直觀、形象的特點，就會使更多的學生遠離高度抽象的數學.

例如：在介紹誘導公式時，需要學生掌握六組基本公式，抽象而瑣碎.若在證得六組公式后，把其特點編成順口溜：“奇變偶不變，符號看象限”，實踐演練后會收到意想不到的效果.

學生在求知過程中，喜歡新鮮、有趣、多樣化.因此，學習時配以貼切形象的歌訣，能引起他們的興趣，且便于記憶.此外，我們還可以通過構圖來實現形象化，使數學學習化抽象為具體、化深奧為淺顯，激發學生學習數學的興趣.

2．形象思維能有效促進對數學知識的理解、記憶和提取

為什么學生感覺數學概念學習難，主要原因在于數學概念和法則都很抽象，表象都比較隱晦，學生需要借助于具體的模型和先行組織者，將學習內容“翻譯”、“轉換”才能被學生直接感知，而要抽象成數學概念還必須借助于數學形象思維才行.

例如，和學生一起學習“函數”概念時，如果不注重實例分析，學生的思維是不積極的，知識理解程度低.筆者認為應該從學生所接觸現實生活中具體的對應關系的量、事物出發，激活形象的思維，促進學生對概念的理解.

數學定理的學習和證明同樣不應該是純理性的，也需要數學形象思維的參與.我們在和學生學習了一條數學定理及其證明后，學生是不是真的懂了呢？筆者認為必須從概念的直觀含義出發，我們教師要呈現出可視化的圖形，給學生展示證明的直觀思路.只有建立在直觀的思路上，學生的懂才是真正的懂.

其實，從高中數學教材的安排來看，教材注重知識學習過程形象思維的直觀呈現.比如“加法原理”、“乘法原理”，教材首先從生活中實際例子出發，激活學生頭腦中的已有經驗，促進學生問題的解決.學生在解決問題的過程中對生活中的問題有了一個整體認識，這個時候給出原理的內容，實現從生活到知識的自然過渡，感受到生活是知識的本源，也體驗到了數學定理在現實生活中的價值，提升學生的學習情感.

3．形象思維推動學生思維向深刻性、概括性方向發展

教學中有哪些形象的資源？筆者根據教學實踐經驗，將形象的資源分為三類：

（1）實物資源：教學中用到的實物、標本，給學生演示的或是和學生一起完成的實驗等.

例如，和學生一起學習橢圓的定義時，可以給學生進行簡單的實驗演示：在豎直平面上固定兩個釘子A、B，取一根無彈力繩（繩子的長度大于兩釘子的間距），將繩子的兩端分別系在A、B上，然后用粉筆拉緊繩在平面上移動，得到圖形，不是圓，卻又很規則，讓學生直觀地感受“橢圓”的形態.接著要求學生自己去觀察、發現并用形象化的語言對橢圓的特點進行描述，最后再用嚴格的數學語言進行準確地表達.有了橢圓的認識經驗，在此基礎上進一步發散，“雙曲線”的學習變得簡單了，最終掌握“圓錐曲線”的思想方法.

（2）模型資源：教學中用到的模型、掛圖、多媒體課件等.

例如，在和學生一起學習“集合間的交、并、補運算”時，給學生提供韋恩圖（如圖2所示），學生可以十分直觀、清晰地看到集合間的關系，有利于知識的理解和運用.

（3）語言資源：數學形象化語言，如概念、定理的文字、符號和圖形表征.

我們在教學過程中要根據學生的認知基礎科學地設置學習情境，借助于形象思維資源幫助學生從直觀的感性認識逐步引導到抽象的數學理性認識.

在數學上，我們必須指出，數學中的形象已經不是形象思維初級階段的那種形象，即單憑人的感官在所能感知閾限的限度以內的形象，而是在前一步抽象的基礎上通過抽象邏輯思維的滲透和數學語言做物質外殼，運用典型化的手段概括出的理想化形象.因此對于數學形象的理解，絕不能僅僅的理解為幾何圖形，除幾何圖形之外，它還包括各種試驗、實物、模型、表格等，甚至也不排除數學知識在頭腦中形成的記憶形象和較直觀地揭示問題本質的語言和符號等.如結合數軸解不等式中的數軸；利用圖形講解函數性質的圖象；利用韋恩圖講解集合有關知識的韋恩圖等均屬于數學形象.因此，數學的形象大體屬于觀念形象的范疇.從這個意義上說，數學形象思維與抽象思維一樣屬于認識的高級階段，同樣可以揭示、反映事物的本質和規律.

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縱觀高中數學知識，給老師、學生“抽象”、“概括”的感覺，的確要學好高中數學需要學生具有很強的抽象思維能力.不過高中生的思維發展水平如何呢？從高中學生學齡特點來看，學生的抽象思維處于發展階段，還不夠成熟，尤其是剛剛步入高一時，學生的思維主體還是形象思維.那么，我們的教學是不是一下子到達抽象思維要求呢？實踐經驗表明，如果直接跳躍到抽象思維，不符合最近發展區原理，不僅僅不利于數學知識的學習，還會影響高中生數學思維能力的發展，造成嚴重的學習負擔，影響后續學習.筆者認為高中數學教學不可缺失了形象思維，應重視形象思維的教育功能，促進學生的思維發展、數學素養和數學學習興趣的提升.本文結合案例就形象思維的層次及教育功能進行分析，望能有助于教學實踐.

一、數學形象思維的層次

1．幾何思維

幾何思維是數學形象思維的第一個層次，包括函數圖象、平面幾何圖形和立體幾何圖形等.該層次的幾何思維涉及到的或是直觀的幾何問題，或是在原有圖形上添加輔助線進一步直觀化研究，或是將文字表征化為圖形表征進行研究，或是把生活中實際問題化為幾何問題的研究.

例如，在立體幾何中存在著一類問題——折疊問題，將某一平面圖形沿一條直線折起，從而形成一個空間圖形.接著探究折疊后的空間圖形中某些線或面之間的位置關系.解決這類問題就需要在原有圖形的基礎上做輔助線完成問題的解答.

例1已知矩形ABCD的兩邊AB=3，BC=4，沿對角線AC將它折成一個直二面角，求折疊

后AC與BD所成角.

解如圖1所示，在折疊前的矩形ABCD中，作DF⊥AC于F，BE⊥AC于E，并延長BE至點G，使EG=BE，連結DG,得EG∥DF，EG=DF，得四邊形EFDG為平行四邊形，得DG∥EF，∠BDG是異面直線AC與BD所成角.折疊后，如圖1所示，仍有EF⊥EG,EF⊥EB，則EF⊥平面BEG，所以∠BEG是折成的二面角的平面角，即∠BEG=90°.在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,所以AC=5,BE=EG=DF=125,AE=FC=95.得DG=EF=5-2×95=75.在等腰Rt△BGD中，BG=2BE=1225,又DG∥EF，所以得DG⊥平面BEGDG⊥BG.得在Rt△BGD中,

tan∠BDG=BGDG=1227,即得∠BDG=arctan1227.

2．類幾何思維

類幾何思維要比幾何思維深一個層次，往往是要求學生將問題與頭腦中的原有認知和經驗形象進行溝通.數學中的“式”、“形”或“結構”通常是對應著的，例如在解決代數問題時運用類幾何思維或將代數問題轉化為幾何問題，或從代數式的結構特征出發，聯想與之相似、相近的結構，進行問題解決.例如tanα=ab和k=y1-y2x1-x2的結構具有聯系.

例2已知點P(x,y)滿足x2+(y+3)2+x2+(y-3)2=4，求點P的軌跡方程.

解析解決這個問題可以聯想到

點P(x,y)到兩個定點(0,-3)，(0,3)的距離和為4.又因為4>23，聯系到橢圓的定義則可以知道，P點的軌跡應該是橢圓，則其方程為y24+x2=1.

3．意會形象思維

這是形象思維的最高層次，著名數學家阿達瑪(Hadamard)說：“在我所從事的全部數學研究中，我都會構作這樣的圖像，它一定是一幅模糊的東西，有了這個圖，我才不會誤入歧途.”阿達瑪(Hadamard)所說的“圖像”即是意會形象.

二、數學形象思維的教育功能

1．形象思維能培養學生數學學習興趣

教師應注意在課堂教學中有效地使用形象思維，突出形象思維的直觀、形象的特點，就會使更多的學生遠離高度抽象的數學.

例如：在介紹誘導公式時，需要學生掌握六組基本公式，抽象而瑣碎.若在證得六組公式后，把其特點編成順口溜：“奇變偶不變，符號看象限”，實踐演練后會收到意想不到的效果.

學生在求知過程中，喜歡新鮮、有趣、多樣化.因此，學習時配以貼切形象的歌訣，能引起他們的興趣，且便于記憶.此外，我們還可以通過構圖來實現形象化，使數學學習化抽象為具體、化深奧為淺顯，激發學生學習數學的興趣.

2．形象思維能有效促進對數學知識的理解、記憶和提取

為什么學生感覺數學概念學習難，主要原因在于數學概念和法則都很抽象，表象都比較隱晦，學生需要借助于具體的模型和先行組織者，將學習內容“翻譯”、“轉換”才能被學生直接感知，而要抽象成數學概念還必須借助于數學形象思維才行.

例如，和學生一起學習“函數”概念時，如果不注重實例分析，學生的思維是不積極的，知識理解程度低.筆者認為應該從學生所接觸現實生活中具體的對應關系的量、事物出發，激活形象的思維，促進學生對概念的理解.

數學定理的學習和證明同樣不應該是純理性的，也需要數學形象思維的參與.我們在和學生學習了一條數學定理及其證明后，學生是不是真的懂了呢？筆者認為必須從概念的直觀含義出發，我們教師要呈現出可視化的圖形，給學生展示證明的直觀思路.只有建立在直觀的思路上，學生的懂才是真正的懂.

其實，從高中數學教材的安排來看，教材注重知識學習過程形象思維的直觀呈現.比如“加法原理”、“乘法原理”，教材首先從生活中實際例子出發，激活學生頭腦中的已有經驗，促進學生問題的解決.學生在解決問題的過程中對生活中的問題有了一個整體認識，這個時候給出原理的內容，實現從生活到知識的自然過渡，感受到生活是知識的本源，也體驗到了數學定理在現實生活中的價值，提升學生的學習情感.

3．形象思維推動學生思維向深刻性、概括性方向發展

教學中有哪些形象的資源？筆者根據教學實踐經驗，將形象的資源分為三類：

（1）實物資源：教學中用到的實物、標本，給學生演示的或是和學生一起完成的實驗等.

例如，和學生一起學習橢圓的定義時，可以給學生進行簡單的實驗演示：在豎直平面上固定兩個釘子A、B，取一根無彈力繩（繩子的長度大于兩釘子的間距），將繩子的兩端分別系在A、B上，然后用粉筆拉緊繩在平面上移動，得到圖形，不是圓，卻又很規則，讓學生直觀地感受“橢圓”的形態.接著要求學生自己去觀察、發現并用形象化的語言對橢圓的特點進行描述，最后再用嚴格的數學語言進行準確地表達.有了橢圓的認識經驗，在此基礎上進一步發散，“雙曲線”的學習變得簡單了，最終掌握“圓錐曲線”的思想方法.

（2）模型資源：教學中用到的模型、掛圖、多媒體課件等.

例如，在和學生一起學習“集合間的交、并、補運算”時，給學生提供韋恩圖（如圖2所示），學生可以十分直觀、清晰地看到集合間的關系，有利于知識的理解和運用.

（3）語言資源：數學形象化語言，如概念、定理的文字、符號和圖形表征.

我們在教學過程中要根據學生的認知基礎科學地設置學習情境，借助于形象思維資源幫助學生從直觀的感性認識逐步引導到抽象的數學理性認識.

在數學上，我們必須指出，數學中的形象已經不是形象思維初級階段的那種形象，即單憑人的感官在所能感知閾限的限度以內的形象，而是在前一步抽象的基礎上通過抽象邏輯思維的滲透和數學語言做物質外殼，運用典型化的手段概括出的理想化形象.因此對于數學形象的理解，絕不能僅僅的理解為幾何圖形，除幾何圖形之外，它還包括各種試驗、實物、模型、表格等，甚至也不排除數學知識在頭腦中形成的記憶形象和較直觀地揭示問題本質的語言和符號等.如結合數軸解不等式中的數軸；利用圖形講解函數性質的圖象；利用韋恩圖講解集合有關知識的韋恩圖等均屬于數學形象.因此，數學的形象大體屬于觀念形象的范疇.從這個意義上說，數學形象思維與抽象思維一樣屬于認識的高級階段，同樣可以揭示、反映事物的本質和規律.

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