由一道不等式的證明題引起的思考

張全義

在高三教學中，如何做到高效復習是每一位教師時時探討的話題.其中精選精練典型例題是有效教學的重要環節之一.每一道典型的數學例題，無論從方法上還是內容上都起著“固體拓新，嫁接成林”的功效，同時可培養學生提出問題和解決問題的能力，并使學生探究能力和創新能力得到發展.在高三復習中，老師可以選擇一些典型習題讓學生開展一題多解，一題多變等方面的變式探究，以達到復習知識、鞏固方法、培養能力的目的．

在復習不等式的證明時，我選出了下面一道習題

題目設p>0,q>0，且p3+q3=2，求證：p+q≤2.

此題有哪些證法？學生很快用綜合法、分析法得出了答案.

法1（綜合法）

由p3+q2=2得

(p+q)［(p+q)2-3pq］=2.

因為p>0,q>0,所以p+q≥2pq>0,

所以pq≤(p+q)24.

所以(p+q)［(p+q)2-34(p+q)2］≤2,

即(p+q)3≤8.不等式得證.

法2（分析法）

要證明p+q≤2,由于p>0,q>0，只需證明(p+q)3≤8.

即證明p3+q3+3(p2q+pq2)≤8.

由于p3+q3=2，只需證明p2q+pq2≤2=p3+q3.

即證明(p-q)2(p+q)≥0，最后不等式顯然成立，不等式得證．

以上二種方法都是不等式的常用證法．

由于比較法也是常用方法，此題能否用比較法證明呢？經過分析條件與結論的差距，有部分學生嘗試成功．

法3（作差比較）

(p+q)3-23=p3+q3+3pq(p+q)-8=3［pq(p+q)-2］=3［pq(p+q)-(p3+q3)］=-3(p+q)(p-q)2≤0，即證： （p-q)2(p+q)≥0.

如果教學就此止步，那就錯過了培養學生探究能力、創新意識的絕好機會，此題的教育功能就會大打折扣．不等式的證明還有其他方法嗎？能不能用它們證明這個不等式呢？一石激起千層浪，學生陷入了沉思摸索之中，下面是學生在老師的引導下，經過艱辛的探索得出的結果：

（一）換元法：

法4（均值換元）

設p3=1+t,q3=1-t，則-1

移項因式分解得(p+q+1)2(p+q-2)≤0,所以p+q≤2.

法5（三角換元）

設p+q=m,所以p>0,q>0，

令p=mcos2θ,q=msin2θ，代入 p3+q3=2得

m3=2cos6θ+sin6θ

=2(cos2θ+sin2θ)(cos4θ+sin4θ-cos2θsin2θ)

=2

(cos2θ+sin2θ)2-3cos2θsin2θ =

21-34sin22θ

≤21-34=8.

所以m≤2,即p+q≤2.

（二）反證法

法6假設p+q>2,則(p+q)3>8,p3+q3+3pq(p+q)>8.反復使用p3+q3=2，則2+3pq(p+q)>8pq(p+q)>2pq(p+q)>p3+q3pq(p+q)>(p+q)(p2+q2-pq)=pq>p2+q2-pq0>(p-q)2.這不可能，故p+q≤2.

（三）構造法

法7（構造函數）

不妨設p≤q.由p3+q3=2知

q=32-p3，則p+q=p+32-p3,0

引進輔助函數f(x)=x+32-x3(0

求導得f ′(x)=1-x23(2-x3)2.

因為x2<1,2-x2>1,3(2-x3)2>1,

所以f ′(x)>0,f(x)在(0,1］上單調遞增，

則f(x)≤f(1)=2, 即p+q≤2.

法8（構造方程）

設p、q是方程x2-mx+n=0的兩根，則p+q=m,pq=n.由p3+q3=(p+q)［(p+q)2-3pq］得m(m2-3n)=2,所以n=m3-23m.

由Δ=m2-4n=m2-4m3-83m≥0,解得 m≤2即p+q≤2.

法9 （構造均值不等式）

結論中等號成立的條件是p=q=1.

由p>0,q>0得：p3+1+1≥33p3=3p，q3+1+1≥33q3=3q.

兩式相加得：p3+q3+4≥3p+3q,即p+q≤2.

法10（構造數列）

由p3+q3=2得p3,1,q3成等差數列，不妨設p≤q，公差d=1-p3=q3-1≥0

,1-p=1-p31+p+p2=q3-11+p+p2≥q3-11+q+q2=q-1，即p+q≤2.

法11（構造向量）

令a=(p,q),b=(p3,q3)

.因為|a||b|≥|a·b|,所以p2+q2≤p+qp3+q3=2p+q,

再令m=(p,q),n=(1,1),由|m||n|≥|m·n|

得p+q≤p2+q22≤2p+q2.

所以(p+q)4≤8(p+q),即p+q≤2.

法12（構造立方體）

構造4個棱長為p和4個棱長為q的立方體．不妨設 ，將這8個立方體按下圖拼接成棱長為p+q的立方體，拼接過程中，將多余部分（圖中陰影）挖去，顯然有4p3+4q3≥(p+q)3即p+q≤2.

法13（構造曲線）

在直角坐標系中作出直線x+y=2、圓x2+y2=2，并借助幾何畫板或圖形計算器作出三次曲線x3+y3=2．

令A={(x,y)|x+y≤2,x>0,y>0}，

B={(x,y)|x2+y2≤2,x>0,y>0}，

C={(x,y)|x3+y3=2,x>0,y>0}.

如圖2，CBA,則p3+q3=2p2+q2≤2p+q≤2.

法14（構造分布列）

由于p3+q3=2，設離散型隨機變量ξ的分布列為：

ξ1p1q

Pp32

q32

Eξ=p2+q22，Eξ2=p+q2，由Dξ=Eξ2-(Eξ)2)≥0

得Eξ2≥(Eξ)2,p+q2≥(p2+q22)2≥(p+q4)4，

所以(p+q)3≤8，即p+q≤2.

在探索解法過程中，你有哪些啟示，你還有那些不同的解法？你還能變換條件或結論得出其它問題嗎？你能類比或聯想得一些不等式嗎？你能證明或否定它們嗎？

下面是學生們所得的一些變式題.

變式1：（改變結論）若a,b∈R+,a3+b3=2,則ab≤1.

變式2：（改變條件）若a>0,b>0,a2+b2=2,則a+b≤2.

變式3：（弱化條件）若p,q∈R且p3+q3=2，則p+q≤2

變式4：（推廣）若an+bn=2,a,b∈R,n≥2,n∈N，則a+b≤2,ab≤1.

變式5：（引申）若a3+b3+c3=3,a,b,c∈R+，則a+b+c≤3,ab+bc+ca≤3,abc≤1.

變式6：（條件、結論互換）若a,b∈R+,a+b=2,則a3+b3≥3.

變式7：（再引申）若a,b,c∈R+,a+b+c=3,則a3+b3+c3≥3.

變式8：（再推廣）若an+bn+cn=3,a,b,c∈R+，n≥2,n∈N，則a+b+c≤3,ab+bc+ca≤3,abc≤1.

波利亞說“好問題同某種蘑菇有類似的結論，大都成堆的生長，找到一個以后，你應當在周圍找找，很可能在附近就有幾個”．本案例通過一題多解，一題多變的探究，既復習了不等式的證明方法，又加強不同章節知識間的聯系，優化了學生數學的思維結構，享受到了成功的快樂．

一輪復習中，學生做中檔的題目應當是最有效的，這樣的題目符合學生的最近發展區.但是學生解這樣的題也是經常出現一些慣性錯誤，諸如審題錯誤、運算錯誤、邏輯錯誤、表述不規范等，特別是選擇某方法解決問題時，沒有考慮該方法的適用條件、適用范圍，使用該方法應注意的事項等．許多老師都有這樣的體會，有些錯誤老師反復糾正，學生還是一錯再錯．因為糾錯時老師直接把正確解法授給學生，或老師包辦分析錯誤原因，學生成了接受信息的容器，沒有真正參與糾錯過程，糾錯效果差是理所當然的．對于這類錯誤，老師一定要精心設計糾錯過程，首先要讓學生暴露自己的錯誤，不能由老師說這是經常出現的錯誤，要讓學生通過觀察、分析、驗證、討論、交流，老師適當引導，使學生真正看清楚錯誤的地方，真正弄清錯誤的原因，是題目條件結論看漏還是看錯？是題意不懂還是想錯？是概念定理、公式不熟還是理解出了偏差？是方法選擇不當還是邏輯不嚴密？是思維定式的影響還是考慮問題不周密？是計算問題還是規范問題？真正弄清為什么不能這樣做、這樣寫？只有這樣訓練，才能讓學生記憶深刻，同時也培養了學生辯證思維能力和自我糾錯能力．當然錯誤原因可能還有很多，所以教師在設計題目時，應當給學生留出時間、空間分析自己的答題水平.只有這樣才能提高高三復習的效果.

在高三教學中，如何做到高效復習是每一位教師時時探討的話題.其中精選精練典型例題是有效教學的重要環節之一.每一道典型的數學例題，無論從方法上還是內容上都起著“固體拓新，嫁接成林”的功效，同時可培養學生提出問題和解決問題的能力，并使學生探究能力和創新能力得到發展.在高三復習中，老師可以選擇一些典型習題讓學生開展一題多解，一題多變等方面的變式探究，以達到復習知識、鞏固方法、培養能力的目的．

在復習不等式的證明時，我選出了下面一道習題

題目設p>0,q>0，且p3+q3=2，求證：p+q≤2.

此題有哪些證法？學生很快用綜合法、分析法得出了答案.

法1（綜合法）

由p3+q2=2得

(p+q)［(p+q)2-3pq］=2.

因為p>0,q>0,所以p+q≥2pq>0,

所以pq≤(p+q)24.

所以(p+q)［(p+q)2-34(p+q)2］≤2,

即(p+q)3≤8.不等式得證.

法2（分析法）

要證明p+q≤2,由于p>0,q>0，只需證明(p+q)3≤8.

即證明p3+q3+3(p2q+pq2)≤8.

由于p3+q3=2，只需證明p2q+pq2≤2=p3+q3.

即證明(p-q)2(p+q)≥0，最后不等式顯然成立，不等式得證．

以上二種方法都是不等式的常用證法．

由于比較法也是常用方法，此題能否用比較法證明呢？經過分析條件與結論的差距，有部分學生嘗試成功．

法3（作差比較）

(p+q)3-23=p3+q3+3pq(p+q)-8=3［pq(p+q)-2］=3［pq(p+q)-(p3+q3)］=-3(p+q)(p-q)2≤0，即證： （p-q)2(p+q)≥0.

如果教學就此止步，那就錯過了培養學生探究能力、創新意識的絕好機會，此題的教育功能就會大打折扣．不等式的證明還有其他方法嗎？能不能用它們證明這個不等式呢？一石激起千層浪，學生陷入了沉思摸索之中，下面是學生在老師的引導下，經過艱辛的探索得出的結果：

（一）換元法：

法4（均值換元）

設p3=1+t,q3=1-t，則-1

移項因式分解得(p+q+1)2(p+q-2)≤0,所以p+q≤2.

法5（三角換元）

設p+q=m,所以p>0,q>0，

令p=mcos2θ,q=msin2θ，代入 p3+q3=2得

m3=2cos6θ+sin6θ

=2(cos2θ+sin2θ)(cos4θ+sin4θ-cos2θsin2θ)

=2

(cos2θ+sin2θ)2-3cos2θsin2θ =

21-34sin22θ

≤21-34=8.

所以m≤2,即p+q≤2.

（二）反證法

法6假設p+q>2,則(p+q)3>8,p3+q3+3pq(p+q)>8.反復使用p3+q3=2，則2+3pq(p+q)>8pq(p+q)>2pq(p+q)>p3+q3pq(p+q)>(p+q)(p2+q2-pq)=pq>p2+q2-pq0>(p-q)2.這不可能，故p+q≤2.

（三）構造法

法7（構造函數）

不妨設p≤q.由p3+q3=2知

q=32-p3，則p+q=p+32-p3,0

引進輔助函數f(x)=x+32-x3(0

求導得f ′(x)=1-x23(2-x3)2.

因為x2<1,2-x2>1,3(2-x3)2>1,

所以f ′(x)>0,f(x)在(0,1］上單調遞增，

則f(x)≤f(1)=2, 即p+q≤2.

法8（構造方程）

設p、q是方程x2-mx+n=0的兩根，則p+q=m,pq=n.由p3+q3=(p+q)［(p+q)2-3pq］得m(m2-3n)=2,所以n=m3-23m.

由Δ=m2-4n=m2-4m3-83m≥0,解得 m≤2即p+q≤2.

法9 （構造均值不等式）

結論中等號成立的條件是p=q=1.

由p>0,q>0得：p3+1+1≥33p3=3p，q3+1+1≥33q3=3q.

兩式相加得：p3+q3+4≥3p+3q,即p+q≤2.

法10（構造數列）

由p3+q3=2得p3,1,q3成等差數列，不妨設p≤q，公差d=1-p3=q3-1≥0

,1-p=1-p31+p+p2=q3-11+p+p2≥q3-11+q+q2=q-1，即p+q≤2.

法11（構造向量）

令a=(p,q),b=(p3,q3)

.因為|a||b|≥|a·b|,所以p2+q2≤p+qp3+q3=2p+q,

再令m=(p,q),n=(1,1),由|m||n|≥|m·n|

得p+q≤p2+q22≤2p+q2.

所以(p+q)4≤8(p+q),即p+q≤2.

法12（構造立方體）

構造4個棱長為p和4個棱長為q的立方體．不妨設 ，將這8個立方體按下圖拼接成棱長為p+q的立方體，拼接過程中，將多余部分（圖中陰影）挖去，顯然有4p3+4q3≥(p+q)3即p+q≤2.

法13（構造曲線）

在直角坐標系中作出直線x+y=2、圓x2+y2=2，并借助幾何畫板或圖形計算器作出三次曲線x3+y3=2．

令A={(x,y)|x+y≤2,x>0,y>0}，

B={(x,y)|x2+y2≤2,x>0,y>0}，

C={(x,y)|x3+y3=2,x>0,y>0}.

如圖2，CBA,則p3+q3=2p2+q2≤2p+q≤2.

法14（構造分布列）

由于p3+q3=2，設離散型隨機變量ξ的分布列為：

ξ1p1q

Pp32

q32

Eξ=p2+q22，Eξ2=p+q2，由Dξ=Eξ2-(Eξ)2)≥0

得Eξ2≥(Eξ)2,p+q2≥(p2+q22)2≥(p+q4)4，

所以(p+q)3≤8，即p+q≤2.

在探索解法過程中，你有哪些啟示，你還有那些不同的解法？你還能變換條件或結論得出其它問題嗎？你能類比或聯想得一些不等式嗎？你能證明或否定它們嗎？

下面是學生們所得的一些變式題.

變式1：（改變結論）若a,b∈R+,a3+b3=2,則ab≤1.

變式2：（改變條件）若a>0,b>0,a2+b2=2,則a+b≤2.

變式3：（弱化條件）若p,q∈R且p3+q3=2，則p+q≤2

變式4：（推廣）若an+bn=2,a,b∈R,n≥2,n∈N，則a+b≤2,ab≤1.

變式5：（引申）若a3+b3+c3=3,a,b,c∈R+，則a+b+c≤3,ab+bc+ca≤3,abc≤1.

變式6：（條件、結論互換）若a,b∈R+,a+b=2,則a3+b3≥3.

變式7：（再引申）若a,b,c∈R+,a+b+c=3,則a3+b3+c3≥3.

變式8：（再推廣）若an+bn+cn=3,a,b,c∈R+，n≥2,n∈N，則a+b+c≤3,ab+bc+ca≤3,abc≤1.

波利亞說“好問題同某種蘑菇有類似的結論，大都成堆的生長，找到一個以后，你應當在周圍找找，很可能在附近就有幾個”．本案例通過一題多解，一題多變的探究，既復習了不等式的證明方法，又加強不同章節知識間的聯系，優化了學生數學的思維結構，享受到了成功的快樂．

一輪復習中，學生做中檔的題目應當是最有效的，這樣的題目符合學生的最近發展區.但是學生解這樣的題也是經常出現一些慣性錯誤，諸如審題錯誤、運算錯誤、邏輯錯誤、表述不規范等，特別是選擇某方法解決問題時，沒有考慮該方法的適用條件、適用范圍，使用該方法應注意的事項等．許多老師都有這樣的體會，有些錯誤老師反復糾正，學生還是一錯再錯．因為糾錯時老師直接把正確解法授給學生，或老師包辦分析錯誤原因，學生成了接受信息的容器，沒有真正參與糾錯過程，糾錯效果差是理所當然的．對于這類錯誤，老師一定要精心設計糾錯過程，首先要讓學生暴露自己的錯誤，不能由老師說這是經常出現的錯誤，要讓學生通過觀察、分析、驗證、討論、交流，老師適當引導，使學生真正看清楚錯誤的地方，真正弄清錯誤的原因，是題目條件結論看漏還是看錯？是題意不懂還是想錯？是概念定理、公式不熟還是理解出了偏差？是方法選擇不當還是邏輯不嚴密？是思維定式的影響還是考慮問題不周密？是計算問題還是規范問題？真正弄清為什么不能這樣做、這樣寫？只有這樣訓練，才能讓學生記憶深刻，同時也培養了學生辯證思維能力和自我糾錯能力．當然錯誤原因可能還有很多，所以教師在設計題目時，應當給學生留出時間、空間分析自己的答題水平.只有這樣才能提高高三復習的效果.

在高三教學中，如何做到高效復習是每一位教師時時探討的話題.其中精選精練典型例題是有效教學的重要環節之一.每一道典型的數學例題，無論從方法上還是內容上都起著“固體拓新，嫁接成林”的功效，同時可培養學生提出問題和解決問題的能力，并使學生探究能力和創新能力得到發展.在高三復習中，老師可以選擇一些典型習題讓學生開展一題多解，一題多變等方面的變式探究，以達到復習知識、鞏固方法、培養能力的目的．

在復習不等式的證明時，我選出了下面一道習題

題目設p>0,q>0，且p3+q3=2，求證：p+q≤2.

此題有哪些證法？學生很快用綜合法、分析法得出了答案.

法1（綜合法）

由p3+q2=2得

(p+q)［(p+q)2-3pq］=2.

因為p>0,q>0,所以p+q≥2pq>0,

所以pq≤(p+q)24.

所以(p+q)［(p+q)2-34(p+q)2］≤2,

即(p+q)3≤8.不等式得證.

法2（分析法）

要證明p+q≤2,由于p>0,q>0，只需證明(p+q)3≤8.

即證明p3+q3+3(p2q+pq2)≤8.

由于p3+q3=2，只需證明p2q+pq2≤2=p3+q3.

即證明(p-q)2(p+q)≥0，最后不等式顯然成立，不等式得證．

以上二種方法都是不等式的常用證法．

由于比較法也是常用方法，此題能否用比較法證明呢？經過分析條件與結論的差距，有部分學生嘗試成功．

法3（作差比較）

(p+q)3-23=p3+q3+3pq(p+q)-8=3［pq(p+q)-2］=3［pq(p+q)-(p3+q3)］=-3(p+q)(p-q)2≤0，即證： （p-q)2(p+q)≥0.

如果教學就此止步，那就錯過了培養學生探究能力、創新意識的絕好機會，此題的教育功能就會大打折扣．不等式的證明還有其他方法嗎？能不能用它們證明這個不等式呢？一石激起千層浪，學生陷入了沉思摸索之中，下面是學生在老師的引導下，經過艱辛的探索得出的結果：

（一）換元法：

法4（均值換元）

設p3=1+t,q3=1-t，則-1

移項因式分解得(p+q+1)2(p+q-2)≤0,所以p+q≤2.

法5（三角換元）

設p+q=m,所以p>0,q>0，

令p=mcos2θ,q=msin2θ，代入 p3+q3=2得

m3=2cos6θ+sin6θ

=2(cos2θ+sin2θ)(cos4θ+sin4θ-cos2θsin2θ)

=2

(cos2θ+sin2θ)2-3cos2θsin2θ =

21-34sin22θ

≤21-34=8.

所以m≤2,即p+q≤2.

（二）反證法

法6假設p+q>2,則(p+q)3>8,p3+q3+3pq(p+q)>8.反復使用p3+q3=2，則2+3pq(p+q)>8pq(p+q)>2pq(p+q)>p3+q3pq(p+q)>(p+q)(p2+q2-pq)=pq>p2+q2-pq0>(p-q)2.這不可能，故p+q≤2.

（三）構造法

法7（構造函數）

不妨設p≤q.由p3+q3=2知

q=32-p3，則p+q=p+32-p3,0

引進輔助函數f(x)=x+32-x3(0

求導得f ′(x)=1-x23(2-x3)2.

因為x2<1,2-x2>1,3(2-x3)2>1,

所以f ′(x)>0,f(x)在(0,1］上單調遞增，

則f(x)≤f(1)=2, 即p+q≤2.

法8（構造方程）

設p、q是方程x2-mx+n=0的兩根，則p+q=m,pq=n.由p3+q3=(p+q)［(p+q)2-3pq］得m(m2-3n)=2,所以n=m3-23m.

由Δ=m2-4n=m2-4m3-83m≥0,解得 m≤2即p+q≤2.

法9 （構造均值不等式）

結論中等號成立的條件是p=q=1.

由p>0,q>0得：p3+1+1≥33p3=3p，q3+1+1≥33q3=3q.

兩式相加得：p3+q3+4≥3p+3q,即p+q≤2.

法10（構造數列）

由p3+q3=2得p3,1,q3成等差數列，不妨設p≤q，公差d=1-p3=q3-1≥0

,1-p=1-p31+p+p2=q3-11+p+p2≥q3-11+q+q2=q-1，即p+q≤2.

法11（構造向量）

令a=(p,q),b=(p3,q3)

.因為|a||b|≥|a·b|,所以p2+q2≤p+qp3+q3=2p+q,

再令m=(p,q),n=(1,1),由|m||n|≥|m·n|

得p+q≤p2+q22≤2p+q2.

所以(p+q)4≤8(p+q),即p+q≤2.

法12（構造立方體）

構造4個棱長為p和4個棱長為q的立方體．不妨設 ，將這8個立方體按下圖拼接成棱長為p+q的立方體，拼接過程中，將多余部分（圖中陰影）挖去，顯然有4p3+4q3≥(p+q)3即p+q≤2.

法13（構造曲線）

在直角坐標系中作出直線x+y=2、圓x2+y2=2，并借助幾何畫板或圖形計算器作出三次曲線x3+y3=2．

令A={(x,y)|x+y≤2,x>0,y>0}，

B={(x,y)|x2+y2≤2,x>0,y>0}，

C={(x,y)|x3+y3=2,x>0,y>0}.

如圖2，CBA,則p3+q3=2p2+q2≤2p+q≤2.

法14（構造分布列）

由于p3+q3=2，設離散型隨機變量ξ的分布列為：

ξ1p1q

Pp32

q32

Eξ=p2+q22，Eξ2=p+q2，由Dξ=Eξ2-(Eξ)2)≥0

得Eξ2≥(Eξ)2,p+q2≥(p2+q22)2≥(p+q4)4，

所以(p+q)3≤8，即p+q≤2.

在探索解法過程中，你有哪些啟示，你還有那些不同的解法？你還能變換條件或結論得出其它問題嗎？你能類比或聯想得一些不等式嗎？你能證明或否定它們嗎？

下面是學生們所得的一些變式題.

變式1：（改變結論）若a,b∈R+,a3+b3=2,則ab≤1.

變式2：（改變條件）若a>0,b>0,a2+b2=2,則a+b≤2.

變式3：（弱化條件）若p,q∈R且p3+q3=2，則p+q≤2

變式4：（推廣）若an+bn=2,a,b∈R,n≥2,n∈N，則a+b≤2,ab≤1.

變式5：（引申）若a3+b3+c3=3,a,b,c∈R+，則a+b+c≤3,ab+bc+ca≤3,abc≤1.

變式6：（條件、結論互換）若a,b∈R+,a+b=2,則a3+b3≥3.

變式7：（再引申）若a,b,c∈R+,a+b+c=3,則a3+b3+c3≥3.

變式8：（再推廣）若an+bn+cn=3,a,b,c∈R+，n≥2,n∈N，則a+b+c≤3,ab+bc+ca≤3,abc≤1.

波利亞說“好問題同某種蘑菇有類似的結論，大都成堆的生長，找到一個以后，你應當在周圍找找，很可能在附近就有幾個”．本案例通過一題多解，一題多變的探究，既復習了不等式的證明方法，又加強不同章節知識間的聯系，優化了學生數學的思維結構，享受到了成功的快樂．

一輪復習中，學生做中檔的題目應當是最有效的，這樣的題目符合學生的最近發展區.但是學生解這樣的題也是經常出現一些慣性錯誤，諸如審題錯誤、運算錯誤、邏輯錯誤、表述不規范等，特別是選擇某方法解決問題時，沒有考慮該方法的適用條件、適用范圍，使用該方法應注意的事項等．許多老師都有這樣的體會，有些錯誤老師反復糾正，學生還是一錯再錯．因為糾錯時老師直接把正確解法授給學生，或老師包辦分析錯誤原因，學生成了接受信息的容器，沒有真正參與糾錯過程，糾錯效果差是理所當然的．對于這類錯誤，老師一定要精心設計糾錯過程，首先要讓學生暴露自己的錯誤，不能由老師說這是經常出現的錯誤，要讓學生通過觀察、分析、驗證、討論、交流，老師適當引導，使學生真正看清楚錯誤的地方，真正弄清錯誤的原因，是題目條件結論看漏還是看錯？是題意不懂還是想錯？是概念定理、公式不熟還是理解出了偏差？是方法選擇不當還是邏輯不嚴密？是思維定式的影響還是考慮問題不周密？是計算問題還是規范問題？真正弄清為什么不能這樣做、這樣寫？只有這樣訓練，才能讓學生記憶深刻，同時也培養了學生辯證思維能力和自我糾錯能力．當然錯誤原因可能還有很多，所以教師在設計題目時，應當給學生留出時間、空間分析自己的答題水平.只有這樣才能提高高三復習的效果.