從一道典型試題的融變談高三復習

董文元

高考復習時必須強調落實“三基”，向課堂要效益，向訓練要成績.基礎是什么？簡單說，就是課本.基礎好，就是課本內容掌握得好.無論是哪個層次的學生，都應該把教材吃透，做到定義會說，公式會推，例題會講，習題會做.課本例題和習題是多年來經過精心篩選后設置的，具有很強的示范性、典型性和探索性，在復習過程中要善于以這些題為原型，通過類比、延伸、遷移、拓展，提出新問題并加以解決、反思，充分挖掘例題的擴張效應，從而提高學生復習的積極性，培養他們的探索精神和創新精神.

一道典型的好題就是一道營養豐富的“滋補大餐”,我們應該細細咀嚼、美美品味,充分地消化吸收,上掛下聯、左右逢源、前后呼應、觸類旁通、引申拓展,使其教育教學功能發揮到淋漓盡致!絕不能就題論題,造成了資源的浪費與復習效果的低下.下面就一道平面向量習題談高三復習,供大家參考.

例如圖1,P,Q為線段AB的三等分點,用OA,OB表示OP,OQ.

分析由題知AP=12PB,要用OA,OB表示OP,只需把AP,PB全部用OA,OB,OP表示,再分離

出OP即可.

事實上,因為AP=12PB,所以OP-OA=12(OB-OP)，

從而得OP=23OA+13OB.（1）

老師：(引申1)若AP=λPB(λ≠-1),能否用OA,OB表示OP呢?

學生1：依照上題的思路,同樣由OP-OA=λ(OB-OP)得OP=11+λOA+λ1+λOB.（2）

老師： AP=λPB說明A、P、B三點的位置關系如何?

學生2：三點共線.

老師：(引導啟發)觀察(1)、(2)中OA,OB的系數,你發現什么規律?

學生3： 很自豪地舉手回答系數之和等于1,同學們報以熱烈的掌聲!

老師：老師故作深沉,是不是一種巧合?能否推廣?請同學們思考,推理之后給出答案.

學生4：(黑板推演)O為平面內任一點, 由A、B、P三點共線,

可設AP=tAB,則OP-OA=t(OB-OA).

所以OP=(1-t)OA+t

OB,令m=1-t,n=t.

即OP=mOA+nOB(m+n=1(m,n∈R)).同學4對同學3的回答給于嚴格的推理,說明這個結論是數學的,數學的就得嚴謹.

老師：(追問)反過來成立嗎?請同學們再思考給出嚴格的推理.(推演略）

若為同一平面內兩個不共線的向量e1,e2,那么對于這一平面內的任一向量a,有且只有一對實數λ1,λ2使a=λ1e1+λ2e2.

老師：這就是赫赫有名的“平面向量基本定理”,它說明平面內的向量分解的唯一性.平面向量基本定理是向量共線定理的推廣,事實上,平面向量基本定理又可推廣到空間向量基本定理,即任一空間向量可用不共線的三個非零向量來線性表示,而且這種表示是唯一的.這三個定理都可以看成向量分解的唯一性,只不過范圍不同而已.

老師： 若不共線的一組基底取平面直角坐標系中x軸、y軸正方向的單位向量i,j，a用i,j表示會出現怎樣的結果呢?這個問題我們下節課繼續研究.接下來請同學們繼續思考

老師：OQ如何用OA,OB表示?OP+OQ結果如何?

同學5：(很輕松的給出結論)OQ=13OA+23OB,OP+OQ=OA+OB.

老師：當點P,Q為線段AB的三等分點時,有OP+OQ=OA+OB,

如果A1、A2、A3,…,An-1是AB的n(n≥3)等分點,你能夠得到什么結論?思考之后老師給出推導：

OAk+OAn-k=OA+OB(k=1,2,…,n-1).

因為OAk=OA+AAn-k=OA+n-knAB=OA+AB-knAB=OB-knAB，

所以OAk+OAn-k=OA+OB(k=1,2,…,n-1).

老師：上述結論,你會聯想到等差數列的什么性質?

同學7：(很欣然地)在等差數列中,與“首末”兩項“等距離”的兩項的和是“首末”兩項的和，也就是若m+n=p+q,則am+an=ap+aq（其中m,n,p,q均為正整數）.

老師：(乘勝追擊)利用這個結論，思考：OA=a,OB=b,A1,A2,…,An-1(n∈N,n>1)是線段AB的n等分點，則OA1+OA2+…+OAn-1=(a+b).

同學8：（手舞足蹈）“倒序相加法”

令M=OA1,+OA2+OA3+…+OAn-2+OAn-1,又M=OAn-1+OAn-2+OAn-3+…+OA2+OA1

兩式相加得2M=(OA1+OAn-1)+(OA2+OAn-2)+…+(OAn-2+OA2)+(OAn-1+OA1)=(n-1)(OA+OB)即M=n-12(OA+OB).

教室里響起經久不息的掌聲！

老師： (總結)好！請同學們回顧這節課的內容，用一句話語進行總結：

學生8：“數學是自然的，數學是清楚的，數學是嚴謹的”.

在突出“能力”考查的今天，強調能力決不意味著可以忽視基礎知識、基本技能和基本思想方法，對“三基”的考查仍是高考的基調之一.因此，高三數學教學必須按《考試說明》對知識內容的不同層次要求，全面系統地復習，切實抓住“三基”的教與學，讓學生真正理解掌握，形成知識網絡，融會貫通，舉一反三.此題融合了多種數學思想和方法，是高三復習的絕佳素材.

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高考復習時必須強調落實“三基”，向課堂要效益，向訓練要成績.基礎是什么？簡單說，就是課本.基礎好，就是課本內容掌握得好.無論是哪個層次的學生，都應該把教材吃透，做到定義會說，公式會推，例題會講，習題會做.課本例題和習題是多年來經過精心篩選后設置的，具有很強的示范性、典型性和探索性，在復習過程中要善于以這些題為原型，通過類比、延伸、遷移、拓展，提出新問題并加以解決、反思，充分挖掘例題的擴張效應，從而提高學生復習的積極性，培養他們的探索精神和創新精神.

一道典型的好題就是一道營養豐富的“滋補大餐”,我們應該細細咀嚼、美美品味,充分地消化吸收,上掛下聯、左右逢源、前后呼應、觸類旁通、引申拓展,使其教育教學功能發揮到淋漓盡致!絕不能就題論題,造成了資源的浪費與復習效果的低下.下面就一道平面向量習題談高三復習,供大家參考.

例如圖1,P,Q為線段AB的三等分點,用OA,OB表示OP,OQ.

分析由題知AP=12PB,要用OA,OB表示OP,只需把AP,PB全部用OA,OB,OP表示,再分離

出OP即可.

事實上,因為AP=12PB,所以OP-OA=12(OB-OP)，

從而得OP=23OA+13OB.（1）

老師：(引申1)若AP=λPB(λ≠-1),能否用OA,OB表示OP呢?

學生1：依照上題的思路,同樣由OP-OA=λ(OB-OP)得OP=11+λOA+λ1+λOB.（2）

老師： AP=λPB說明A、P、B三點的位置關系如何?

學生2：三點共線.

老師：(引導啟發)觀察(1)、(2)中OA,OB的系數,你發現什么規律?

學生3： 很自豪地舉手回答系數之和等于1,同學們報以熱烈的掌聲!

老師：老師故作深沉,是不是一種巧合?能否推廣?請同學們思考,推理之后給出答案.

學生4：(黑板推演)O為平面內任一點, 由A、B、P三點共線,

可設AP=tAB,則OP-OA=t(OB-OA).

所以OP=(1-t)OA+t

OB,令m=1-t,n=t.

即OP=mOA+nOB(m+n=1(m,n∈R)).同學4對同學3的回答給于嚴格的推理,說明這個結論是數學的,數學的就得嚴謹.

老師：(追問)反過來成立嗎?請同學們再思考給出嚴格的推理.(推演略）

若為同一平面內兩個不共線的向量e1,e2,那么對于這一平面內的任一向量a,有且只有一對實數λ1,λ2使a=λ1e1+λ2e2.

老師：這就是赫赫有名的“平面向量基本定理”,它說明平面內的向量分解的唯一性.平面向量基本定理是向量共線定理的推廣,事實上,平面向量基本定理又可推廣到空間向量基本定理,即任一空間向量可用不共線的三個非零向量來線性表示,而且這種表示是唯一的.這三個定理都可以看成向量分解的唯一性,只不過范圍不同而已.

老師： 若不共線的一組基底取平面直角坐標系中x軸、y軸正方向的單位向量i,j，a用i,j表示會出現怎樣的結果呢?這個問題我們下節課繼續研究.接下來請同學們繼續思考

老師：OQ如何用OA,OB表示?OP+OQ結果如何?

同學5：(很輕松的給出結論)OQ=13OA+23OB,OP+OQ=OA+OB.

老師：當點P,Q為線段AB的三等分點時,有OP+OQ=OA+OB,

如果A1、A2、A3,…,An-1是AB的n(n≥3)等分點,你能夠得到什么結論?思考之后老師給出推導：

OAk+OAn-k=OA+OB(k=1,2,…,n-1).

因為OAk=OA+AAn-k=OA+n-knAB=OA+AB-knAB=OB-knAB，

所以OAk+OAn-k=OA+OB(k=1,2,…,n-1).

老師：上述結論,你會聯想到等差數列的什么性質?

同學7：(很欣然地)在等差數列中,與“首末”兩項“等距離”的兩項的和是“首末”兩項的和，也就是若m+n=p+q,則am+an=ap+aq（其中m,n,p,q均為正整數）.

老師：(乘勝追擊)利用這個結論，思考：OA=a,OB=b,A1,A2,…,An-1(n∈N,n>1)是線段AB的n等分點，則OA1+OA2+…+OAn-1=(a+b).

同學8：（手舞足蹈）“倒序相加法”

令M=OA1,+OA2+OA3+…+OAn-2+OAn-1,又M=OAn-1+OAn-2+OAn-3+…+OA2+OA1

兩式相加得2M=(OA1+OAn-1)+(OA2+OAn-2)+…+(OAn-2+OA2)+(OAn-1+OA1)=(n-1)(OA+OB)即M=n-12(OA+OB).

教室里響起經久不息的掌聲！

老師： (總結)好！請同學們回顧這節課的內容，用一句話語進行總結：

學生8：“數學是自然的，數學是清楚的，數學是嚴謹的”.

在突出“能力”考查的今天，強調能力決不意味著可以忽視基礎知識、基本技能和基本思想方法，對“三基”的考查仍是高考的基調之一.因此，高三數學教學必須按《考試說明》對知識內容的不同層次要求，全面系統地復習，切實抓住“三基”的教與學，讓學生真正理解掌握，形成知識網絡，融會貫通，舉一反三.此題融合了多種數學思想和方法，是高三復習的絕佳素材.

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一道典型的好題就是一道營養豐富的“滋補大餐”,我們應該細細咀嚼、美美品味,充分地消化吸收,上掛下聯、左右逢源、前后呼應、觸類旁通、引申拓展,使其教育教學功能發揮到淋漓盡致!絕不能就題論題,造成了資源的浪費與復習效果的低下.下面就一道平面向量習題談高三復習,供大家參考.

例如圖1,P,Q為線段AB的三等分點,用OA,OB表示OP,OQ.

分析由題知AP=12PB,要用OA,OB表示OP,只需把AP,PB全部用OA,OB,OP表示,再分離

出OP即可.

事實上,因為AP=12PB,所以OP-OA=12(OB-OP)，

從而得OP=23OA+13OB.（1）

老師：(引申1)若AP=λPB(λ≠-1),能否用OA,OB表示OP呢?

學生1：依照上題的思路,同樣由OP-OA=λ(OB-OP)得OP=11+λOA+λ1+λOB.（2）

老師： AP=λPB說明A、P、B三點的位置關系如何?

學生2：三點共線.

老師：(引導啟發)觀察(1)、(2)中OA,OB的系數,你發現什么規律?

學生3： 很自豪地舉手回答系數之和等于1,同學們報以熱烈的掌聲!

老師：老師故作深沉,是不是一種巧合?能否推廣?請同學們思考,推理之后給出答案.

學生4：(黑板推演)O為平面內任一點, 由A、B、P三點共線,

可設AP=tAB,則OP-OA=t(OB-OA).

所以OP=(1-t)OA+t

OB,令m=1-t,n=t.

即OP=mOA+nOB(m+n=1(m,n∈R)).同學4對同學3的回答給于嚴格的推理,說明這個結論是數學的,數學的就得嚴謹.

老師：(追問)反過來成立嗎?請同學們再思考給出嚴格的推理.(推演略）

若為同一平面內兩個不共線的向量e1,e2,那么對于這一平面內的任一向量a,有且只有一對實數λ1,λ2使a=λ1e1+λ2e2.

老師：這就是赫赫有名的“平面向量基本定理”,它說明平面內的向量分解的唯一性.平面向量基本定理是向量共線定理的推廣,事實上,平面向量基本定理又可推廣到空間向量基本定理,即任一空間向量可用不共線的三個非零向量來線性表示,而且這種表示是唯一的.這三個定理都可以看成向量分解的唯一性,只不過范圍不同而已.

老師： 若不共線的一組基底取平面直角坐標系中x軸、y軸正方向的單位向量i,j，a用i,j表示會出現怎樣的結果呢?這個問題我們下節課繼續研究.接下來請同學們繼續思考

老師：OQ如何用OA,OB表示?OP+OQ結果如何?

同學5：(很輕松的給出結論)OQ=13OA+23OB,OP+OQ=OA+OB.

老師：當點P,Q為線段AB的三等分點時,有OP+OQ=OA+OB,

如果A1、A2、A3,…,An-1是AB的n(n≥3)等分點,你能夠得到什么結論?思考之后老師給出推導：

OAk+OAn-k=OA+OB(k=1,2,…,n-1).

因為OAk=OA+AAn-k=OA+n-knAB=OA+AB-knAB=OB-knAB，

所以OAk+OAn-k=OA+OB(k=1,2,…,n-1).

老師：上述結論,你會聯想到等差數列的什么性質?

同學7：(很欣然地)在等差數列中,與“首末”兩項“等距離”的兩項的和是“首末”兩項的和，也就是若m+n=p+q,則am+an=ap+aq（其中m,n,p,q均為正整數）.

老師：(乘勝追擊)利用這個結論，思考：OA=a,OB=b,A1,A2,…,An-1(n∈N,n>1)是線段AB的n等分點，則OA1+OA2+…+OAn-1=(a+b).

同學8：（手舞足蹈）“倒序相加法”

令M=OA1,+OA2+OA3+…+OAn-2+OAn-1,又M=OAn-1+OAn-2+OAn-3+…+OA2+OA1

兩式相加得2M=(OA1+OAn-1)+(OA2+OAn-2)+…+(OAn-2+OA2)+(OAn-1+OA1)=(n-1)(OA+OB)即M=n-12(OA+OB).

教室里響起經久不息的掌聲！

老師： (總結)好！請同學們回顧這節課的內容，用一句話語進行總結：

學生8：“數學是自然的，數學是清楚的，數學是嚴謹的”.

在突出“能力”考查的今天，強調能力決不意味著可以忽視基礎知識、基本技能和基本思想方法，對“三基”的考查仍是高考的基調之一.因此，高三數學教學必須按《考試說明》對知識內容的不同層次要求，全面系統地復習，切實抓住“三基”的教與學，讓學生真正理解掌握，形成知識網絡，融會貫通，舉一反三.此題融合了多種數學思想和方法，是高三復習的絕佳素材.

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