結合不等式證明的方法研究,談談“以本為本”

叢俐

筆者研究高中階段的不等式證明多年，先后撰寫了兩篇論文：《殊路同歸……一道不等式證明題的研究》、《微積分的妙用…一不等式的證明的又一利器》，并把一些可行的思維方式灌輸給了學生，以至有人擔心我的教學會“出格”，會“離課本太遠”……這便涉及到數學教學方法的問題.

盡管大家都認同“教無定法”，但數學教學仍然一直提倡“以本為本”.

筆者覺得有必要先搞清，何為“以本為本”?前一個“本”無疑是“課本、

教本”；后一個“本”則是指“基本的、主要的、根本的”，與“末”相對.形象

地說，“以本為本”就是立足課本并挖掘課本，行之有效地開展高效教學.

數學教學“以本為本”顯然要走出一個明顯的誤區……死搬課本.死搬課本，

會導致某些教師，課都不認真備，由于“喝過幾年墨水”，一上到課，就能拿起

課本原封不動地講……這種復制式的教學，學生雖然能聽瞳，但習題稍微變動一

下，往往便無從下手，所教班級的數學成績一般都不會好到哪里去.

數學教學如果不能“以本為本”，一味追求綜合和高難度，所教班級的學生

在大考中就難免頭破血流，甚至全軍覆沒了.不少市中、縣中的實驗班在高考中

一次次地敗北，其根本原因就在于精心編制的教學講義遠離課本……

數學教學“以本為本”，說起來容易，但要想把它說清還真不容易.為了避

免空話連篇累牘，筆者結合不等式證明的相關知識，參考蘇教版的數學教材，來

具體地談談自己的嘗試.

一、證明不等式的方法“以本為本”，立足于幾類基本方法

比較法無疑是“基礎中的基礎”，課本對作差法，講得相當透徹，教師注意

由易漸難地引導學生，就能得心應手地完成教學任務了.如果能布置一道類似北

京98年的高考題“數列{xn}由下列條件確定：x1=a>0，xn+1=12（xn+am）,n∈N*.

證明：對n≥2,總有xn≥a;(2)證明：對n≥2,總有xn≥xn+1”作為學生的課業，就錦上添花了.講了作差法，作商法就必須有所涉及（但要注意只是一帶而過，過多的介入，教學效果就事與愿違了).作商法的條件必須點透，經典例題一般都與指數

冪有關，如“已知a，b，c為不等正數，求證：a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b”.

分析法和綜合法是不等式證明的兩把利劍.前者能挖掘學生的分析問題的潛

力，后者不僅有利于培養學生的表達能力，而且對數學思維的嚴密性的訓練更有

著舉足輕重的功效.教學中重在思維能力的訓練，不宜在難度上提過高的要求，

至少不要超過類似“已知a、b、c為實數，a+2b+3c=6，求證：a2+2b2+3c2≥6”的習題.

基本不等式法是不等式證明中使用最多、用起來最靈活的方法.算術平均數與幾何平均數之間的關系是其基礎，也是其核心，務必講透并確保學生熟練掌握.

至于“一正二定三相等”無疑是講練的重點.難度極限是“設a，b>0，a+b=1，求證：（a+1a)2+(b+1b)2≥252”.

高三理科復習時，必須帶上數學歸納法（數學歸納法出現在教材選修2-2的《推理與證明》中）.其難度不大，只要掌握好證明步驟，就一勞永逸了.盡管如此，但復習時必須讓學生留下一定的印象，否則遇到類似江蘇2010年最后一題（“已知△ABC的三邊長為有理數，（1）求證：cosA是有理數；（2）對任意正整數n，求證：cosnA也是有理數.”）的習題，學生就一籌莫展了.

二、習題的變形和延拓，必須“以本為本”

這里，筆者結合一道具體的習題，展開描述，想必不會給人一種空洞的感覺.

課本原題設a,b,c,d∈R+，

求證：ac+bd≤a2+b2·c2+d2.

證明方法有分析法（兩邊平方）、綜合法，都涉及到基本不等式.

變題1已知x,y∈R+,x+y=1,求證：

x+12+

y+12≤2.

證明方法既可把x+12、y+12

分別看作a和b，c=d=1用上述命題來處理，又可分別使用基本不等式，如

x+12=

(x+12)×1≤x+12+12=x2+34,

略作變形就迎刃而解了.

變題2設a,b,c,d∈R，

求證：ac+bd≤a2+b2·c2+d2.

乍一看，同原題一樣！但用分析法證明時就不能直接平方了，必須對ac+bd的正負進行討論.這是對學生思維嚴密性的訓練習題，也利于培養學生仔細審題的習慣.當然本題也可從右向左，通過基本不等式得到右邊≥|ac+bd|來證明，還可以用反證法輕松突破.

變題3設a,b,c,d,e,f∈R+,

求證：ab+cd+ef≤a2+b2·c2+d2·e2+f2.

這是元的變形，難度偏大，文科不要碰，理科也不提倡（本質上已涉及到柯西不等式）.其證明既可用向量法，也可通過類似柯西不等式證明的構造法.

不等式的證明千變萬化，頗受高考試題的制作者青睞.立足于課本，也可少量涉及一步放縮法、換元法，當然關鍵是度的把握.一步不涉及，學生在高考中遇到不等式的證明題，有可能就打不開思路，真正碰到類似北京2002年的“數列{xn}由下列條件確定：

x1=a>0,xn+1=12(xn+axn),n∈N*.

(Ⅰ)證明：對n≥2，總有xn≥a；

（Ⅱ)證明：對n≥2，總有xn≥xn+1”的試題真的只有頭破血流了.

總之，筆者認為，不等式的證明對學生的思維的靈活性、表達的嚴謹性都能行之有效地進行考查.證明方法雖然非常多，但眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在，燈火闌珊處——課本.只有“以本為本”的教學，才是高效的教學.

endprint

筆者研究高中階段的不等式證明多年，先后撰寫了兩篇論文：《殊路同歸……一道不等式證明題的研究》、《微積分的妙用…一不等式的證明的又一利器》，并把一些可行的思維方式灌輸給了學生，以至有人擔心我的教學會“出格”，會“離課本太遠”……這便涉及到數學教學方法的問題.

盡管大家都認同“教無定法”，但數學教學仍然一直提倡“以本為本”.

筆者覺得有必要先搞清，何為“以本為本”?前一個“本”無疑是“課本、

教本”；后一個“本”則是指“基本的、主要的、根本的”，與“末”相對.形象

地說，“以本為本”就是立足課本并挖掘課本，行之有效地開展高效教學.

數學教學“以本為本”顯然要走出一個明顯的誤區……死搬課本.死搬課本，

會導致某些教師，課都不認真備，由于“喝過幾年墨水”，一上到課，就能拿起

課本原封不動地講……這種復制式的教學，學生雖然能聽瞳，但習題稍微變動一

下，往往便無從下手，所教班級的數學成績一般都不會好到哪里去.

數學教學如果不能“以本為本”，一味追求綜合和高難度，所教班級的學生

在大考中就難免頭破血流，甚至全軍覆沒了.不少市中、縣中的實驗班在高考中

一次次地敗北，其根本原因就在于精心編制的教學講義遠離課本……

數學教學“以本為本”，說起來容易，但要想把它說清還真不容易.為了避

免空話連篇累牘，筆者結合不等式證明的相關知識，參考蘇教版的數學教材，來

具體地談談自己的嘗試.

一、證明不等式的方法“以本為本”，立足于幾類基本方法

比較法無疑是“基礎中的基礎”，課本對作差法，講得相當透徹，教師注意

由易漸難地引導學生，就能得心應手地完成教學任務了.如果能布置一道類似北

京98年的高考題“數列{xn}由下列條件確定：x1=a>0，xn+1=12（xn+am）,n∈N*.

證明：對n≥2,總有xn≥a;(2)證明：對n≥2,總有xn≥xn+1”作為學生的課業，就錦上添花了.講了作差法，作商法就必須有所涉及（但要注意只是一帶而過，過多的介入，教學效果就事與愿違了).作商法的條件必須點透，經典例題一般都與指數

冪有關，如“已知a，b，c為不等正數，求證：a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b”.

分析法和綜合法是不等式證明的兩把利劍.前者能挖掘學生的分析問題的潛

力，后者不僅有利于培養學生的表達能力，而且對數學思維的嚴密性的訓練更有

著舉足輕重的功效.教學中重在思維能力的訓練，不宜在難度上提過高的要求，

至少不要超過類似“已知a、b、c為實數，a+2b+3c=6，求證：a2+2b2+3c2≥6”的習題.

基本不等式法是不等式證明中使用最多、用起來最靈活的方法.算術平均數與幾何平均數之間的關系是其基礎，也是其核心，務必講透并確保學生熟練掌握.

至于“一正二定三相等”無疑是講練的重點.難度極限是“設a，b>0，a+b=1，求證：（a+1a)2+(b+1b)2≥252”.

高三理科復習時，必須帶上數學歸納法（數學歸納法出現在教材選修2-2的《推理與證明》中）.其難度不大，只要掌握好證明步驟，就一勞永逸了.盡管如此，但復習時必須讓學生留下一定的印象，否則遇到類似江蘇2010年最后一題（“已知△ABC的三邊長為有理數，（1）求證：cosA是有理數；（2）對任意正整數n，求證：cosnA也是有理數.”）的習題，學生就一籌莫展了.

二、習題的變形和延拓，必須“以本為本”

這里，筆者結合一道具體的習題，展開描述，想必不會給人一種空洞的感覺.

課本原題設a,b,c,d∈R+，

求證：ac+bd≤a2+b2·c2+d2.

證明方法有分析法（兩邊平方）、綜合法，都涉及到基本不等式.

變題1已知x,y∈R+,x+y=1,求證：

x+12+

y+12≤2.

證明方法既可把x+12、y+12

分別看作a和b，c=d=1用上述命題來處理，又可分別使用基本不等式，如

x+12=

(x+12)×1≤x+12+12=x2+34,

略作變形就迎刃而解了.

變題2設a,b,c,d∈R，

求證：ac+bd≤a2+b2·c2+d2.

乍一看，同原題一樣！但用分析法證明時就不能直接平方了，必須對ac+bd的正負進行討論.這是對學生思維嚴密性的訓練習題，也利于培養學生仔細審題的習慣.當然本題也可從右向左，通過基本不等式得到右邊≥|ac+bd|來證明，還可以用反證法輕松突破.

變題3設a,b,c,d,e,f∈R+,

求證：ab+cd+ef≤a2+b2·c2+d2·e2+f2.

這是元的變形，難度偏大，文科不要碰，理科也不提倡（本質上已涉及到柯西不等式）.其證明既可用向量法，也可通過類似柯西不等式證明的構造法.

不等式的證明千變萬化，頗受高考試題的制作者青睞.立足于課本，也可少量涉及一步放縮法、換元法，當然關鍵是度的把握.一步不涉及，學生在高考中遇到不等式的證明題，有可能就打不開思路，真正碰到類似北京2002年的“數列{xn}由下列條件確定：

x1=a>0,xn+1=12(xn+axn),n∈N*.

(Ⅰ)證明：對n≥2，總有xn≥a；

（Ⅱ)證明：對n≥2，總有xn≥xn+1”的試題真的只有頭破血流了.

總之，筆者認為，不等式的證明對學生的思維的靈活性、表達的嚴謹性都能行之有效地進行考查.證明方法雖然非常多，但眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在，燈火闌珊處——課本.只有“以本為本”的教學，才是高效的教學.

endprint

筆者研究高中階段的不等式證明多年，先后撰寫了兩篇論文：《殊路同歸……一道不等式證明題的研究》、《微積分的妙用…一不等式的證明的又一利器》，并把一些可行的思維方式灌輸給了學生，以至有人擔心我的教學會“出格”，會“離課本太遠”……這便涉及到數學教學方法的問題.

盡管大家都認同“教無定法”，但數學教學仍然一直提倡“以本為本”.

筆者覺得有必要先搞清，何為“以本為本”?前一個“本”無疑是“課本、

教本”；后一個“本”則是指“基本的、主要的、根本的”，與“末”相對.形象

地說，“以本為本”就是立足課本并挖掘課本，行之有效地開展高效教學.

數學教學“以本為本”顯然要走出一個明顯的誤區……死搬課本.死搬課本，

會導致某些教師，課都不認真備，由于“喝過幾年墨水”，一上到課，就能拿起

課本原封不動地講……這種復制式的教學，學生雖然能聽瞳，但習題稍微變動一

下，往往便無從下手，所教班級的數學成績一般都不會好到哪里去.

數學教學如果不能“以本為本”，一味追求綜合和高難度，所教班級的學生

在大考中就難免頭破血流，甚至全軍覆沒了.不少市中、縣中的實驗班在高考中

一次次地敗北，其根本原因就在于精心編制的教學講義遠離課本……

數學教學“以本為本”，說起來容易，但要想把它說清還真不容易.為了避

免空話連篇累牘，筆者結合不等式證明的相關知識，參考蘇教版的數學教材，來

具體地談談自己的嘗試.

一、證明不等式的方法“以本為本”，立足于幾類基本方法

比較法無疑是“基礎中的基礎”，課本對作差法，講得相當透徹，教師注意

由易漸難地引導學生，就能得心應手地完成教學任務了.如果能布置一道類似北

京98年的高考題“數列{xn}由下列條件確定：x1=a>0，xn+1=12（xn+am）,n∈N*.

證明：對n≥2,總有xn≥a;(2)證明：對n≥2,總有xn≥xn+1”作為學生的課業，就錦上添花了.講了作差法，作商法就必須有所涉及（但要注意只是一帶而過，過多的介入，教學效果就事與愿違了).作商法的條件必須點透，經典例題一般都與指數

冪有關，如“已知a，b，c為不等正數，求證：a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b”.

分析法和綜合法是不等式證明的兩把利劍.前者能挖掘學生的分析問題的潛

力，后者不僅有利于培養學生的表達能力，而且對數學思維的嚴密性的訓練更有

著舉足輕重的功效.教學中重在思維能力的訓練，不宜在難度上提過高的要求，

至少不要超過類似“已知a、b、c為實數，a+2b+3c=6，求證：a2+2b2+3c2≥6”的習題.

基本不等式法是不等式證明中使用最多、用起來最靈活的方法.算術平均數與幾何平均數之間的關系是其基礎，也是其核心，務必講透并確保學生熟練掌握.

至于“一正二定三相等”無疑是講練的重點.難度極限是“設a，b>0，a+b=1，求證：（a+1a)2+(b+1b)2≥252”.

高三理科復習時，必須帶上數學歸納法（數學歸納法出現在教材選修2-2的《推理與證明》中）.其難度不大，只要掌握好證明步驟，就一勞永逸了.盡管如此，但復習時必須讓學生留下一定的印象，否則遇到類似江蘇2010年最后一題（“已知△ABC的三邊長為有理數，（1）求證：cosA是有理數；（2）對任意正整數n，求證：cosnA也是有理數.”）的習題，學生就一籌莫展了.

二、習題的變形和延拓，必須“以本為本”

這里，筆者結合一道具體的習題，展開描述，想必不會給人一種空洞的感覺.

課本原題設a,b,c,d∈R+，

求證：ac+bd≤a2+b2·c2+d2.

證明方法有分析法（兩邊平方）、綜合法，都涉及到基本不等式.

變題1已知x,y∈R+,x+y=1,求證：

x+12+

y+12≤2.

證明方法既可把x+12、y+12

分別看作a和b，c=d=1用上述命題來處理，又可分別使用基本不等式，如

x+12=

(x+12)×1≤x+12+12=x2+34,

略作變形就迎刃而解了.

變題2設a,b,c,d∈R，

求證：ac+bd≤a2+b2·c2+d2.

乍一看，同原題一樣！但用分析法證明時就不能直接平方了，必須對ac+bd的正負進行討論.這是對學生思維嚴密性的訓練習題，也利于培養學生仔細審題的習慣.當然本題也可從右向左，通過基本不等式得到右邊≥|ac+bd|來證明，還可以用反證法輕松突破.

變題3設a,b,c,d,e,f∈R+,

求證：ab+cd+ef≤a2+b2·c2+d2·e2+f2.

這是元的變形，難度偏大，文科不要碰，理科也不提倡（本質上已涉及到柯西不等式）.其證明既可用向量法，也可通過類似柯西不等式證明的構造法.

不等式的證明千變萬化，頗受高考試題的制作者青睞.立足于課本，也可少量涉及一步放縮法、換元法，當然關鍵是度的把握.一步不涉及，學生在高考中遇到不等式的證明題，有可能就打不開思路，真正碰到類似北京2002年的“數列{xn}由下列條件確定：

x1=a>0,xn+1=12(xn+axn),n∈N*.

(Ⅰ)證明：對n≥2，總有xn≥a；

（Ⅱ)證明：對n≥2，總有xn≥xn+1”的試題真的只有頭破血流了.

總之，筆者認為，不等式的證明對學生的思維的靈活性、表達的嚴謹性都能行之有效地進行考查.證明方法雖然非常多，但眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在，燈火闌珊處——課本.只有“以本為本”的教學，才是高效的教學.

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