探討求解離心率的范圍

曾冬華

離心率是圓錐曲線的一個重要性質，是描述曲線“扁平程度”或“張口大小”的一個重要參量，在解析幾何中顯得極為重要，它常與“定義”、“焦點三角形”等聯系在一起，因此有關求解離心率的取值范圍的問題，綜合性強、難度大、涉及的知識面廣，求解方法靈活多變.

一、正余弦定理和均值不等式求解

例1已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，點P在橢圓上，且∠F1PF2=60°，求橢圓離心率e的取值范圍.

解法1在△F1PF2中，由正弦定理得：

|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1||PF2|≥(|PF1|+|PF2|)2-3(|PF1|+|PF2|2)2，即(2c)2≥(2a)2-2a2，由此得ca≥12.

所以離心率e的取值范圍是［12,1）.

解法2設∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，橢圓的長軸長是2a，焦距是2c.

則在△F1PF2中，由正弦定理得：

|PF2|sinα=|PF1|sinβ=

|F1F2|sin60°,

|PF2|+|PF1|sinα+sinβ=|F1F2|sin60°

又α+β=120°，-120°<α-β<120°，

則12

e=ca=|F1F2||PF1|+|PF2|=

sin60°sinα+sinβ

=sin60°2sinα+β2cosα-β2=12cosα-β2>12.

當α=β時取等號，所以離心率e的取值范圍是［12, 1）.

評注靈活地利用正弦定理和均值不等式求解，非常巧妙地求出了橢圓離心率的范圍，因此我們在今后的學習中，不僅要掌握知識，更重要的是能夠靈活地運用知識解決實際問題.

二、圖形的幾何特點求解

例2如圖1所示，已知橢圓長軸為4，以y軸為準線，且左頂點在拋物線y2=x-1上，求橢圓離心率e的取值范圍.

解析設左頂點為A(x0, y0)，橢圓的中心為O1，連結O1A并延長交y軸于N，則O1A=a=2，NA=x0.

因為y20=x0-1≥0，所以x0≥1.

所以e=aa2c=2|O1N|=2x0+2≤23，

即橢圓離心率e的取值范圍為(0,23］.

評注根據圖形的幾何特點求解橢圓的離心率，簡捷、明了.

三、點的坐標值的取值范圍構造不等式求解

例3一組橢圓的長軸長都是10，都是以y軸為左準線，且橢圓的左頂點都在拋物線y2=x-2上，求這些橢圓離心率的變化范圍.

解析設橢圓左頂點為A(x1，y1).

因為橢圓左頂點到左準線的距離為a2c-a，

所以x1=a2c-a=25c-5.

又y21=x1-2≥0，

所以25c-7≥0，所以c≤257，e=c5≤57，故0

評注巧妙地利用點的坐標值的取值范圍求解，充分體現了活用知識的妙趣，提高了我們思維的靈活性和創造性.

四、利用焦點三角形三邊關系構造不等式求解

例4已知雙曲線x2a2-y2b2=1 (a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1、F2，左準線為l，P是雙曲線左支點上的一點，并且有|PF1|是P到l的距離d與|PF2|的比例中項.求雙曲線離心率e的取值范圍.

解析由題設，得|PF1|2=d|PF2|；

由雙曲線的第二定義，得|PF1|=ed.

所以|PF2|=e|PF1|.①

由雙曲線的第一定義，得|PF2|-|PF1|=2a.②

由①、②得：|PF1|=2ae-1，|PF2|=2eae-1.

在△F1PF2中，|PF1|+|PF2|≥|F1F2|=2c，

所以2ae-1+2eae-1≥2c，即e+1e-1≥e，

又e>1，所以1

評注通過靈活地運用知識，不僅迅速、簡捷地解決了實際問題，而且提高了我們的創造性思維，還有利于培養我們的創新能力.

五、正弦函數的有界性構造不等式求解

例5若橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上存在一點P，使∠OPA=90°，其中O為原點，A為橢圓的右頂點，求橢圓離心率e的取值范圍.

解析設P(acosθ,bsinθ)，∠APB=90°，

得

bsinθacosθ·bsinθacosθ-a=-1,即

(a2-b2)cos2θ-a2cosθ+b2=0.①

解之得：cosθ=1或cosθ=b2a2-b2.

當cosθ=1時，P與A重合，不合題意，應舍去.

因此要使①有意義，須-122.

又0

評注巧妙地利用正弦函數的有界性求解，有利于提高我們分析能力和綜合運用知識的能力.

離心率是圓錐曲線的一個重要性質，是描述曲線“扁平程度”或“張口大小”的一個重要參量，在解析幾何中顯得極為重要，它常與“定義”、“焦點三角形”等聯系在一起，因此有關求解離心率的取值范圍的問題，綜合性強、難度大、涉及的知識面廣，求解方法靈活多變.

一、正余弦定理和均值不等式求解

例1已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，點P在橢圓上，且∠F1PF2=60°，求橢圓離心率e的取值范圍.

解法1在△F1PF2中，由正弦定理得：

|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1||PF2|≥(|PF1|+|PF2|)2-3(|PF1|+|PF2|2)2，即(2c)2≥(2a)2-2a2，由此得ca≥12.

所以離心率e的取值范圍是［12,1）.

解法2設∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，橢圓的長軸長是2a，焦距是2c.

則在△F1PF2中，由正弦定理得：

|PF2|sinα=|PF1|sinβ=

|F1F2|sin60°,

|PF2|+|PF1|sinα+sinβ=|F1F2|sin60°

又α+β=120°，-120°<α-β<120°，

則12

e=ca=|F1F2||PF1|+|PF2|=

sin60°sinα+sinβ

=sin60°2sinα+β2cosα-β2=12cosα-β2>12.

當α=β時取等號，所以離心率e的取值范圍是［12, 1）.

評注靈活地利用正弦定理和均值不等式求解，非常巧妙地求出了橢圓離心率的范圍，因此我們在今后的學習中，不僅要掌握知識，更重要的是能夠靈活地運用知識解決實際問題.

二、圖形的幾何特點求解

例2如圖1所示，已知橢圓長軸為4，以y軸為準線，且左頂點在拋物線y2=x-1上，求橢圓離心率e的取值范圍.

解析設左頂點為A(x0, y0)，橢圓的中心為O1，連結O1A并延長交y軸于N，則O1A=a=2，NA=x0.

因為y20=x0-1≥0，所以x0≥1.

所以e=aa2c=2|O1N|=2x0+2≤23，

即橢圓離心率e的取值范圍為(0,23］.

評注根據圖形的幾何特點求解橢圓的離心率，簡捷、明了.

三、點的坐標值的取值范圍構造不等式求解

例3一組橢圓的長軸長都是10，都是以y軸為左準線，且橢圓的左頂點都在拋物線y2=x-2上，求這些橢圓離心率的變化范圍.

解析設橢圓左頂點為A(x1，y1).

因為橢圓左頂點到左準線的距離為a2c-a，

所以x1=a2c-a=25c-5.

又y21=x1-2≥0，

所以25c-7≥0，所以c≤257，e=c5≤57，故0

評注巧妙地利用點的坐標值的取值范圍求解，充分體現了活用知識的妙趣，提高了我們思維的靈活性和創造性.

四、利用焦點三角形三邊關系構造不等式求解

例4已知雙曲線x2a2-y2b2=1 (a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1、F2，左準線為l，P是雙曲線左支點上的一點，并且有|PF1|是P到l的距離d與|PF2|的比例中項.求雙曲線離心率e的取值范圍.

解析由題設，得|PF1|2=d|PF2|；

由雙曲線的第二定義，得|PF1|=ed.

所以|PF2|=e|PF1|.①

由雙曲線的第一定義，得|PF2|-|PF1|=2a.②

由①、②得：|PF1|=2ae-1，|PF2|=2eae-1.

在△F1PF2中，|PF1|+|PF2|≥|F1F2|=2c，

所以2ae-1+2eae-1≥2c，即e+1e-1≥e，

又e>1，所以1

評注通過靈活地運用知識，不僅迅速、簡捷地解決了實際問題，而且提高了我們的創造性思維，還有利于培養我們的創新能力.

五、正弦函數的有界性構造不等式求解

例5若橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上存在一點P，使∠OPA=90°，其中O為原點，A為橢圓的右頂點，求橢圓離心率e的取值范圍.

解析設P(acosθ,bsinθ)，∠APB=90°，

得

bsinθacosθ·bsinθacosθ-a=-1,即

(a2-b2)cos2θ-a2cosθ+b2=0.①

解之得：cosθ=1或cosθ=b2a2-b2.

當cosθ=1時，P與A重合，不合題意，應舍去.

因此要使①有意義，須-122.

又0

評注巧妙地利用正弦函數的有界性求解，有利于提高我們分析能力和綜合運用知識的能力.

離心率是圓錐曲線的一個重要性質，是描述曲線“扁平程度”或“張口大小”的一個重要參量，在解析幾何中顯得極為重要，它常與“定義”、“焦點三角形”等聯系在一起，因此有關求解離心率的取值范圍的問題，綜合性強、難度大、涉及的知識面廣，求解方法靈活多變.

一、正余弦定理和均值不等式求解

例1已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，點P在橢圓上，且∠F1PF2=60°，求橢圓離心率e的取值范圍.

解法1在△F1PF2中，由正弦定理得：

|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1||PF2|≥(|PF1|+|PF2|)2-3(|PF1|+|PF2|2)2，即(2c)2≥(2a)2-2a2，由此得ca≥12.

所以離心率e的取值范圍是［12,1）.

解法2設∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，橢圓的長軸長是2a，焦距是2c.

則在△F1PF2中，由正弦定理得：

|PF2|sinα=|PF1|sinβ=

|F1F2|sin60°,

|PF2|+|PF1|sinα+sinβ=|F1F2|sin60°

又α+β=120°，-120°<α-β<120°，

則12

e=ca=|F1F2||PF1|+|PF2|=

sin60°sinα+sinβ

=sin60°2sinα+β2cosα-β2=12cosα-β2>12.

當α=β時取等號，所以離心率e的取值范圍是［12, 1）.

評注靈活地利用正弦定理和均值不等式求解，非常巧妙地求出了橢圓離心率的范圍，因此我們在今后的學習中，不僅要掌握知識，更重要的是能夠靈活地運用知識解決實際問題.

二、圖形的幾何特點求解

例2如圖1所示，已知橢圓長軸為4，以y軸為準線，且左頂點在拋物線y2=x-1上，求橢圓離心率e的取值范圍.

解析設左頂點為A(x0, y0)，橢圓的中心為O1，連結O1A并延長交y軸于N，則O1A=a=2，NA=x0.

因為y20=x0-1≥0，所以x0≥1.

所以e=aa2c=2|O1N|=2x0+2≤23，

即橢圓離心率e的取值范圍為(0,23］.

評注根據圖形的幾何特點求解橢圓的離心率，簡捷、明了.

三、點的坐標值的取值范圍構造不等式求解

例3一組橢圓的長軸長都是10，都是以y軸為左準線，且橢圓的左頂點都在拋物線y2=x-2上，求這些橢圓離心率的變化范圍.

解析設橢圓左頂點為A(x1，y1).

因為橢圓左頂點到左準線的距離為a2c-a，

所以x1=a2c-a=25c-5.

又y21=x1-2≥0，

所以25c-7≥0，所以c≤257，e=c5≤57，故0

評注巧妙地利用點的坐標值的取值范圍求解，充分體現了活用知識的妙趣，提高了我們思維的靈活性和創造性.

四、利用焦點三角形三邊關系構造不等式求解

例4已知雙曲線x2a2-y2b2=1 (a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1、F2，左準線為l，P是雙曲線左支點上的一點，并且有|PF1|是P到l的距離d與|PF2|的比例中項.求雙曲線離心率e的取值范圍.

解析由題設，得|PF1|2=d|PF2|；

由雙曲線的第二定義，得|PF1|=ed.

所以|PF2|=e|PF1|.①

由雙曲線的第一定義，得|PF2|-|PF1|=2a.②

由①、②得：|PF1|=2ae-1，|PF2|=2eae-1.

在△F1PF2中，|PF1|+|PF2|≥|F1F2|=2c，

所以2ae-1+2eae-1≥2c，即e+1e-1≥e，

又e>1，所以1

評注通過靈活地運用知識，不僅迅速、簡捷地解決了實際問題，而且提高了我們的創造性思維，還有利于培養我們的創新能力.

五、正弦函數的有界性構造不等式求解

例5若橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上存在一點P，使∠OPA=90°，其中O為原點，A為橢圓的右頂點，求橢圓離心率e的取值范圍.

解析設P(acosθ,bsinθ)，∠APB=90°，

得

bsinθacosθ·bsinθacosθ-a=-1,即

(a2-b2)cos2θ-a2cosθ+b2=0.①

解之得：cosθ=1或cosθ=b2a2-b2.

當cosθ=1時，P與A重合，不合題意，應舍去.

因此要使①有意義，須-122.

又0

評注巧妙地利用正弦函數的有界性求解，有利于提高我們分析能力和綜合運用知識的能力.