追及相遇問題的歸類分析

邱樹雄

追及相遇問題常涉及兩個物體的運動，而且每個物體的運動規(guī)律又不一樣，所以給學生審題和分析問題帶來很大的困惑，學生常把這里當成一個難點，上新課的時候能聽懂，當時也會做，往往到綜合考試時遇到此類問題，就無從下手，就成難題了.仔細分析其中的原因，筆者認為是學生解決這類問題時，對應物理知識很難被有效提取.而知識要能在解題時很快被有效提取，那就要注意，知識在構成和存儲時要被真正的理解和有序存儲.所以為了有序存儲解題方法，筆者把問題給歸類分析，以方便在需要時能快速有效地被提取.

一、概念理解

1.追及相遇的實質(zhì)

討論兩個物體在同一時刻能否到達同一位置

2.追及相遇過程中的兩個關系

“同一時刻”涉及兩個物體運動的時間關系

“同一位置”涉及兩個物體的位移關系

3.分析追及相遇問題的一個關鍵點

是“速度相等”這一條件，它是追及相遇問題中兩物體相距距離最大或最小的臨界條件；也是分析能否追上的切入點.

（這個條件將在具體問題的應用過程中，再予以更好的說明.）

4.追及相遇問題的分類

（1） 一定能追上（比如：勻加速追勻速、勻速追勻減速）

（2） 不一定能追上（比如：勻速追勻加速、勻減速追勻速）

二、典例分析

例1（勻加速追勻速）

一輛汽車在十字路口等待綠燈.綠燈亮起時，它以3m/s2的加速度開始行駛，恰在此時，一輛自行車以6m/s的速度并肩行駛.試求：

（1）汽車追上自行車之前，經(jīng)過多長時間兩車之間的距離最大，最大距離是多少？

（2）汽車經(jīng)過多長時間追上自行車？追上時汽車的速度多大？

解析

（1）由于兩車速度相等時相距最遠，即汽車的速度為6m/s時，兩車間的距離最大.

由at1=v得, t1=va=2s

在這段時間內(nèi)，自行車行駛的位移x1=vt1=12m

汽車行駛的距離x2=12at21=6m.

故兩車之間的最大距離Δx=x1-x2=6m.

（2）兩車位移相等時，汽車追上自行車，由vt2=12at22得t2=2va=4s

追上時，汽車的速度v′=at2=12m/s

點評首先判斷勻加速追勻速屬于一定能追上的情況，速度相等時兩者距離最大，追上時同一時刻到達同一位置，根據(jù)時間關系和位移關系列方程求解即可.

例2（勻速追勻減速）

甲車在前以15m/s的速度勻速行駛，乙車在后以9m/s的速度同向行駛，當相距32m時，甲車以1m/S2的加速度剎車，問:

（1）經(jīng)過多長時間兩車間距離最大？最大值是多少？

（2）經(jīng)過多長時間乙車追趕上甲車？

解析（1）兩車速度相等時相距最遠，即甲車的速度為9m/s時，兩車間的距離最大.

由v0+at=v得，t=9-15-1s=6s,即經(jīng)過6s兩車間距離最大.

此時甲車位移x1=15+92×6m=72m,乙車位移x2=9×6m=54m

所以，兩車距離最大值Δx=x1+32m-x2=50m

(2)設甲車經(jīng)時間t1停下，則t1=0-15-1s=15s,甲車的位移x甲=112.5m;乙車的位移x乙=9×15m=135m.因為x甲+32m>x乙,所以，在乙車追上之前，甲車已經(jīng)停止.

乙車追上甲車所需時間t=112.5+329s=16.06s.

點評勻速追勻減速也是一定能追上的情況，不管初始條件如何，兩者速度相等時距離最大；

但是這里有剎車問題要注意，前方做勻減速運動的車是否在被追上之前就已經(jīng)停下了.

例3勻速追勻加速：

一輛汽車從靜止開始以2m/s2的加速度勻加速啟動，同時一乘客在車后10m處以4m/s的速度追車，問人能否追上車？若能追上求追上的時間；若追不上求人和車的最小距離.

解析當汽車的速度v1=4m/s時，汽車行駛的時間t=2s,位移x1=12at2=4m.

乘客的位移x2=v2t=8m,因為x1+10m>x2,所以人不能追上汽車.

此時人和車的距離也就是最小距離，所以最小距離Δx=6m.

點評這道例題屬于不一定能追上的問題，以速度相等為分析問題的切入點，如果速度相等時追不上就追不上了，因為速度相等時兩者間距離最小.如果把題目中10m改為4m，則恰好追上.如果把10m改為2m且人和車在兩條平行直線上運動，則它們會相遇兩次.

例4(勻減速追勻速)

汽車正以10m/s的速度在平直的公路上行駛，突然發(fā)現(xiàn)正前方有一輛自行車以4m/s的速度做同向的勻速直線運動，汽車立即剎車，剎車的加速度大小為6m/s2，汽車恰好不碰上自行車，求汽車剎車時離自行車多遠？

解析恰好不碰上自行車，指的是汽車速度減速到與汽車速度相等時，汽車剛好追上自行車.即經(jīng)過t=

v-v0a=4-10-6s=1s的時間，位移x1=v0+v2×2=10+42×1m=7m.

而在這段時間內(nèi)，自行車的位移x2=vt=4m,所以汽車剎車時應該離自行車距離Δx=x2-x1=3m.

點評這道例題仍然屬于不一定能追上的問題，由兩者速度相等時距離最小可知，恰好追不上的臨界點是二者速度相等時，恰好在同一位置，從而找到兩者的位移關系.

三、歸納總結

以上四個典型的例題包含了追及類問題的四個基本類型，通過分析知道，在解決這類問題之前，只要能夠判斷出問題是屬于一定能追上還是不一定能追上的情況，接下來的分析就有目的性了.第一類，一定能追上的情況，由于速度相等時兩物體間的距離最大，根據(jù)時間關系找兩者的位移關系即可.第二類，不一定能追上的情況，由于根據(jù)速度相等時兩者間的距離最小，根據(jù)時間關系找位移關系確定兩者速度相等時的位置關系，即可判斷是恰好追上還是追不上或者是可能相遇兩次的情況.

endprint

追及相遇問題常涉及兩個物體的運動，而且每個物體的運動規(guī)律又不一樣，所以給學生審題和分析問題帶來很大的困惑，學生常把這里當成一個難點，上新課的時候能聽懂，當時也會做，往往到綜合考試時遇到此類問題，就無從下手，就成難題了.仔細分析其中的原因，筆者認為是學生解決這類問題時，對應物理知識很難被有效提取.而知識要能在解題時很快被有效提取，那就要注意，知識在構成和存儲時要被真正的理解和有序存儲.所以為了有序存儲解題方法，筆者把問題給歸類分析，以方便在需要時能快速有效地被提取.

一、概念理解

1.追及相遇的實質(zhì)

討論兩個物體在同一時刻能否到達同一位置

2.追及相遇過程中的兩個關系

“同一時刻”涉及兩個物體運動的時間關系

“同一位置”涉及兩個物體的位移關系

3.分析追及相遇問題的一個關鍵點

是“速度相等”這一條件，它是追及相遇問題中兩物體相距距離最大或最小的臨界條件；也是分析能否追上的切入點.

（這個條件將在具體問題的應用過程中，再予以更好的說明.）

4.追及相遇問題的分類

（1） 一定能追上（比如：勻加速追勻速、勻速追勻減速）

（2） 不一定能追上（比如：勻速追勻加速、勻減速追勻速）

二、典例分析

例1（勻加速追勻速）

一輛汽車在十字路口等待綠燈.綠燈亮起時，它以3m/s2的加速度開始行駛，恰在此時，一輛自行車以6m/s的速度并肩行駛.試求：

（1）汽車追上自行車之前，經(jīng)過多長時間兩車之間的距離最大，最大距離是多少？

（2）汽車經(jīng)過多長時間追上自行車？追上時汽車的速度多大？

解析

（1）由于兩車速度相等時相距最遠，即汽車的速度為6m/s時，兩車間的距離最大.

由at1=v得, t1=va=2s

在這段時間內(nèi)，自行車行駛的位移x1=vt1=12m

汽車行駛的距離x2=12at21=6m.

故兩車之間的最大距離Δx=x1-x2=6m.

（2）兩車位移相等時，汽車追上自行車，由vt2=12at22得t2=2va=4s

追上時，汽車的速度v′=at2=12m/s

點評首先判斷勻加速追勻速屬于一定能追上的情況，速度相等時兩者距離最大，追上時同一時刻到達同一位置，根據(jù)時間關系和位移關系列方程求解即可.

例2（勻速追勻減速）

甲車在前以15m/s的速度勻速行駛，乙車在后以9m/s的速度同向行駛，當相距32m時，甲車以1m/S2的加速度剎車，問:

（1）經(jīng)過多長時間兩車間距離最大？最大值是多少？

（2）經(jīng)過多長時間乙車追趕上甲車？

解析（1）兩車速度相等時相距最遠，即甲車的速度為9m/s時，兩車間的距離最大.

由v0+at=v得，t=9-15-1s=6s,即經(jīng)過6s兩車間距離最大.

此時甲車位移x1=15+92×6m=72m,乙車位移x2=9×6m=54m

所以，兩車距離最大值Δx=x1+32m-x2=50m

(2)設甲車經(jīng)時間t1停下，則t1=0-15-1s=15s,甲車的位移x甲=112.5m;乙車的位移x乙=9×15m=135m.因為x甲+32m>x乙,所以，在乙車追上之前，甲車已經(jīng)停止.

乙車追上甲車所需時間t=112.5+329s=16.06s.

點評勻速追勻減速也是一定能追上的情況，不管初始條件如何，兩者速度相等時距離最大；

但是這里有剎車問題要注意，前方做勻減速運動的車是否在被追上之前就已經(jīng)停下了.

例3勻速追勻加速：

一輛汽車從靜止開始以2m/s2的加速度勻加速啟動，同時一乘客在車后10m處以4m/s的速度追車，問人能否追上車？若能追上求追上的時間；若追不上求人和車的最小距離.

解析當汽車的速度v1=4m/s時，汽車行駛的時間t=2s,位移x1=12at2=4m.

乘客的位移x2=v2t=8m,因為x1+10m>x2,所以人不能追上汽車.

此時人和車的距離也就是最小距離，所以最小距離Δx=6m.

點評這道例題屬于不一定能追上的問題，以速度相等為分析問題的切入點，如果速度相等時追不上就追不上了，因為速度相等時兩者間距離最小.如果把題目中10m改為4m，則恰好追上.如果把10m改為2m且人和車在兩條平行直線上運動，則它們會相遇兩次.

例4(勻減速追勻速)

汽車正以10m/s的速度在平直的公路上行駛，突然發(fā)現(xiàn)正前方有一輛自行車以4m/s的速度做同向的勻速直線運動，汽車立即剎車，剎車的加速度大小為6m/s2，汽車恰好不碰上自行車，求汽車剎車時離自行車多遠？

解析恰好不碰上自行車，指的是汽車速度減速到與汽車速度相等時，汽車剛好追上自行車.即經(jīng)過t=

v-v0a=4-10-6s=1s的時間，位移x1=v0+v2×2=10+42×1m=7m.

而在這段時間內(nèi)，自行車的位移x2=vt=4m,所以汽車剎車時應該離自行車距離Δx=x2-x1=3m.

點評這道例題仍然屬于不一定能追上的問題，由兩者速度相等時距離最小可知，恰好追不上的臨界點是二者速度相等時，恰好在同一位置，從而找到兩者的位移關系.

三、歸納總結

以上四個典型的例題包含了追及類問題的四個基本類型，通過分析知道，在解決這類問題之前，只要能夠判斷出問題是屬于一定能追上還是不一定能追上的情況，接下來的分析就有目的性了.第一類，一定能追上的情況，由于速度相等時兩物體間的距離最大，根據(jù)時間關系找兩者的位移關系即可.第二類，不一定能追上的情況，由于根據(jù)速度相等時兩者間的距離最小，根據(jù)時間關系找位移關系確定兩者速度相等時的位置關系，即可判斷是恰好追上還是追不上或者是可能相遇兩次的情況.

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追及相遇問題常涉及兩個物體的運動，而且每個物體的運動規(guī)律又不一樣，所以給學生審題和分析問題帶來很大的困惑，學生常把這里當成一個難點，上新課的時候能聽懂，當時也會做，往往到綜合考試時遇到此類問題，就無從下手，就成難題了.仔細分析其中的原因，筆者認為是學生解決這類問題時，對應物理知識很難被有效提取.而知識要能在解題時很快被有效提取，那就要注意，知識在構成和存儲時要被真正的理解和有序存儲.所以為了有序存儲解題方法，筆者把問題給歸類分析，以方便在需要時能快速有效地被提取.

一、概念理解

1.追及相遇的實質(zhì)

討論兩個物體在同一時刻能否到達同一位置

2.追及相遇過程中的兩個關系

“同一時刻”涉及兩個物體運動的時間關系

“同一位置”涉及兩個物體的位移關系

3.分析追及相遇問題的一個關鍵點

是“速度相等”這一條件，它是追及相遇問題中兩物體相距距離最大或最小的臨界條件；也是分析能否追上的切入點.

（這個條件將在具體問題的應用過程中，再予以更好的說明.）

4.追及相遇問題的分類

（1） 一定能追上（比如：勻加速追勻速、勻速追勻減速）

（2） 不一定能追上（比如：勻速追勻加速、勻減速追勻速）

二、典例分析

例1（勻加速追勻速）

一輛汽車在十字路口等待綠燈.綠燈亮起時，它以3m/s2的加速度開始行駛，恰在此時，一輛自行車以6m/s的速度并肩行駛.試求：

（1）汽車追上自行車之前，經(jīng)過多長時間兩車之間的距離最大，最大距離是多少？

（2）汽車經(jīng)過多長時間追上自行車？追上時汽車的速度多大？

解析

（1）由于兩車速度相等時相距最遠，即汽車的速度為6m/s時，兩車間的距離最大.

由at1=v得, t1=va=2s

在這段時間內(nèi)，自行車行駛的位移x1=vt1=12m

汽車行駛的距離x2=12at21=6m.

故兩車之間的最大距離Δx=x1-x2=6m.

（2）兩車位移相等時，汽車追上自行車，由vt2=12at22得t2=2va=4s

追上時，汽車的速度v′=at2=12m/s

點評首先判斷勻加速追勻速屬于一定能追上的情況，速度相等時兩者距離最大，追上時同一時刻到達同一位置，根據(jù)時間關系和位移關系列方程求解即可.

例2（勻速追勻減速）

甲車在前以15m/s的速度勻速行駛，乙車在后以9m/s的速度同向行駛，當相距32m時，甲車以1m/S2的加速度剎車，問:

（1）經(jīng)過多長時間兩車間距離最大？最大值是多少？

（2）經(jīng)過多長時間乙車追趕上甲車？

解析（1）兩車速度相等時相距最遠，即甲車的速度為9m/s時，兩車間的距離最大.

由v0+at=v得，t=9-15-1s=6s,即經(jīng)過6s兩車間距離最大.

此時甲車位移x1=15+92×6m=72m,乙車位移x2=9×6m=54m

所以，兩車距離最大值Δx=x1+32m-x2=50m

(2)設甲車經(jīng)時間t1停下，則t1=0-15-1s=15s,甲車的位移x甲=112.5m;乙車的位移x乙=9×15m=135m.因為x甲+32m>x乙,所以，在乙車追上之前，甲車已經(jīng)停止.

乙車追上甲車所需時間t=112.5+329s=16.06s.

點評勻速追勻減速也是一定能追上的情況，不管初始條件如何，兩者速度相等時距離最大；

但是這里有剎車問題要注意，前方做勻減速運動的車是否在被追上之前就已經(jīng)停下了.

例3勻速追勻加速：

一輛汽車從靜止開始以2m/s2的加速度勻加速啟動，同時一乘客在車后10m處以4m/s的速度追車，問人能否追上車？若能追上求追上的時間；若追不上求人和車的最小距離.

解析當汽車的速度v1=4m/s時，汽車行駛的時間t=2s,位移x1=12at2=4m.

乘客的位移x2=v2t=8m,因為x1+10m>x2,所以人不能追上汽車.

此時人和車的距離也就是最小距離，所以最小距離Δx=6m.

點評這道例題屬于不一定能追上的問題，以速度相等為分析問題的切入點，如果速度相等時追不上就追不上了，因為速度相等時兩者間距離最小.如果把題目中10m改為4m，則恰好追上.如果把10m改為2m且人和車在兩條平行直線上運動，則它們會相遇兩次.

例4(勻減速追勻速)

汽車正以10m/s的速度在平直的公路上行駛，突然發(fā)現(xiàn)正前方有一輛自行車以4m/s的速度做同向的勻速直線運動，汽車立即剎車，剎車的加速度大小為6m/s2，汽車恰好不碰上自行車，求汽車剎車時離自行車多遠？

解析恰好不碰上自行車，指的是汽車速度減速到與汽車速度相等時，汽車剛好追上自行車.即經(jīng)過t=

v-v0a=4-10-6s=1s的時間，位移x1=v0+v2×2=10+42×1m=7m.

而在這段時間內(nèi)，自行車的位移x2=vt=4m,所以汽車剎車時應該離自行車距離Δx=x2-x1=3m.

點評這道例題仍然屬于不一定能追上的問題，由兩者速度相等時距離最小可知，恰好追不上的臨界點是二者速度相等時，恰好在同一位置，從而找到兩者的位移關系.

三、歸納總結

以上四個典型的例題包含了追及類問題的四個基本類型，通過分析知道，在解決這類問題之前，只要能夠判斷出問題是屬于一定能追上還是不一定能追上的情況，接下來的分析就有目的性了.第一類，一定能追上的情況，由于速度相等時兩物體間的距離最大，根據(jù)時間關系找兩者的位移關系即可.第二類，不一定能追上的情況，由于根據(jù)速度相等時兩者間的距離最小，根據(jù)時間關系找位移關系確定兩者速度相等時的位置關系，即可判斷是恰好追上還是追不上或者是可能相遇兩次的情況.

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