替換法在物理解題中的應用

吳烜

替換法是一種創造性的思維方式，利用替換法解題，往往可以辟免復雜的數學運算，使這類問題得到簡化

1.利用物理量的替換

同一物體的兩個運動過程中，某個物理量的變化恰好對應著另一物理量的變化，這兩個不同物理量變化的量值相等，利用等效替換法，可以開辟常規途徑設法找到解題的捷徑.

例1如圖1質量為m的小球以初速度v0沖上斜面，斜面的質量為M, 斜面光滑，試求在下列兩種情況下，小球在斜面上升的最大高度之差.

（1）斜面固定;

（2）斜面自由地置于光滑水平面上.

（設兩種情況下小球的最大高度均小于斜面高）

解析這道題按常規解法是分別計算兩種情況下小球在斜面上到達的高度.這種解法的方程較多不夠簡潔，若利用物理量的替換就簡便一點.

考察小球運動的兩個物理過程，可以發現以下差異，第一次小球到達最高點時速度為零，而第二次小球到達最高點時速度不為零，且與斜面獲得共同的水平速度，即在第一個過程中小球的初動能全部轉化為重力勢能，而在第二次過程中小球的動能只有部分轉變為重力勢能.由此可見，兩個過程中小球末態重力勢能的差值與第二種情況下小球和斜面的末態動能值具有代償性.

故mgΔh=12(m+M)v2,又 mv0=(m+M)v

解得 Δh=mv202(m+M)g.

1. 利用電路結構補割等效換算

當電路或導體具有特殊結構時，如閉合電路在勻強磁場中不論在任何方向平動，閉合電路中的總電動勢恒為零.閉合的通電導線在勻強磁場中所受磁場力的矢量和恒為零.利用電路結構補割等效換算，可使問題的求解過程變得簡單.

例2如圖所示，將金屬絲AB彎成半徑r的圓弧，但是AB之間留出寬度 為d，相對于圓弧來說很小的間隙，電荷量Q的正電荷均勻分布在金屬絲上，求圓心O處的電場強度.

思路分析將圓環的缺口補上，并且它的電荷線密度與缺了口的環體原有的電荷線密度一樣，這樣就形成了一個

電荷均勻分布的完整的帶電環，環上處于同一直徑兩端的微

小部分可看成相對應的點電荷，它產生的電場在圓心處疊加后場強為零.根據對稱性可知，帶電圓環在圓心處的總場強E=0.

解析設原缺口環所帶電荷的線密度為ρ，則補上金屬小段的帶電荷量Q′=ρd 將Q′視為點電荷，它在O處的場強為E1，方向向右.設要求的場強為E2，由E1+E2=0可得E2=-E1，負號表示E2方向與E1方向相反，為向左.

2. 利用物理狀態的互換性

物理狀態雖然各有特點存在差異，但是某些物理狀態在某些方面卻具有互換性.為很多問題的分析提供簡便方法.

例3如圖1所示，兩個相同大小的金屬板平行正對放置，且距離很近，組成一平行板電容器，已知兩板分別帶有q1=-2.0×10-8庫，q2=+6.0×10-8庫，測得兩板間電勢差u為10伏，求該容器電容C.

分析這個問題似乎無法解決，然而如下特殊狀態的結論會使解題豁然開朗.如果兩板各帶有等量的同種電荷，由電場的對稱性迭加可知，兩板間電場強度處處為零.據此，

可以得到解決本題的思路.設想使兩板分別再帶上負-2.0×10-8庫，則兩板帶電量分別為-4.0×10-8庫與4.0×10-8庫，這種補償的效果是電容器內電場強度保持不變，即前后

兩種物理狀態具有互換性，故可用后一種狀態代換前一種狀態，

由電容器的定義可得

C=qu=4.0×10-810=4.0×10-9(F).

4.利用平衡力的不變性

一個平面共點力，若其合力為零，則為平衡力，對一個物體添加一平衡力，在其它條件不變的情況下，物體的受力效果相同.利用平衡力的這種不變性，可以巧妙地解決某些問題.

例4帶正電的粒子q質量為m，初始時靜止在坐標原點o，勻強磁場方向沿x軸正方向，勻強電場方向沿z軸正方向, 磁感應強度為B，電場強度為E.求帶電粒子在此復合電磁場中的運動軌跡.

解析因為粒子初速度為零，所以可等效成兩個大小相等，

方向相反的速度合成，且令v0=E/B,方向沿y軸正方向.顯然

沿y軸正方向的v0所對應的洛侖茲力恰好與電場力平衡，

粒子只受到沿y軸負方向的v0所產生的洛侖茲力f=qv0B

的作用，方向在yoz平面內.粒子在yoz平面內以v0作勻速圓周運動，同時由于沿y軸正方向的v0的存在，粒子還沿y軸正方向勻速運動，這兩個運動的疊加就是粒子在復合電磁場中的合運動.粒子的合運動可等效成半徑為R=mv0/Bq的圓沿y軸正方向以中心速度v0做滾動.

別列式：x=v02x⑥；0-(v02)2=2(-a)x1⑦，聯立得x=12m.

法4從平均速度關系出發解題，可得時間中點即9m時的速度為v02，同時也是整個過程的平均速度，得x=v02t⑧，

前一半時間的平均速度v1=V0+v022=34v0，得x1=v1·t2=

38v0t⑨；結合⑧⑨得x=12m.

法5根據汽車剎車的情形，設初速度為v0，滑行總時間為t，可以作出如圖6所示的v-t圖，數理結合可以將物理運動類問題轉化為求△OAB的面積，求得x=12m.

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替換法是一種創造性的思維方式，利用替換法解題，往往可以辟免復雜的數學運算，使這類問題得到簡化

1.利用物理量的替換

同一物體的兩個運動過程中，某個物理量的變化恰好對應著另一物理量的變化，這兩個不同物理量變化的量值相等，利用等效替換法，可以開辟常規途徑設法找到解題的捷徑.

例1如圖1質量為m的小球以初速度v0沖上斜面，斜面的質量為M, 斜面光滑，試求在下列兩種情況下，小球在斜面上升的最大高度之差.

（1）斜面固定;

（2）斜面自由地置于光滑水平面上.

（設兩種情況下小球的最大高度均小于斜面高）

解析這道題按常規解法是分別計算兩種情況下小球在斜面上到達的高度.這種解法的方程較多不夠簡潔，若利用物理量的替換就簡便一點.

考察小球運動的兩個物理過程，可以發現以下差異，第一次小球到達最高點時速度為零，而第二次小球到達最高點時速度不為零，且與斜面獲得共同的水平速度，即在第一個過程中小球的初動能全部轉化為重力勢能，而在第二次過程中小球的動能只有部分轉變為重力勢能.由此可見，兩個過程中小球末態重力勢能的差值與第二種情況下小球和斜面的末態動能值具有代償性.

故mgΔh=12(m+M)v2,又 mv0=(m+M)v

解得 Δh=mv202(m+M)g.

1. 利用電路結構補割等效換算

當電路或導體具有特殊結構時，如閉合電路在勻強磁場中不論在任何方向平動，閉合電路中的總電動勢恒為零.閉合的通電導線在勻強磁場中所受磁場力的矢量和恒為零.利用電路結構補割等效換算，可使問題的求解過程變得簡單.

例2如圖所示，將金屬絲AB彎成半徑r的圓弧，但是AB之間留出寬度 為d，相對于圓弧來說很小的間隙，電荷量Q的正電荷均勻分布在金屬絲上，求圓心O處的電場強度.

思路分析將圓環的缺口補上，并且它的電荷線密度與缺了口的環體原有的電荷線密度一樣，這樣就形成了一個

電荷均勻分布的完整的帶電環，環上處于同一直徑兩端的微

小部分可看成相對應的點電荷，它產生的電場在圓心處疊加后場強為零.根據對稱性可知，帶電圓環在圓心處的總場強E=0.

解析設原缺口環所帶電荷的線密度為ρ，則補上金屬小段的帶電荷量Q′=ρd 將Q′視為點電荷，它在O處的場強為E1，方向向右.設要求的場強為E2，由E1+E2=0可得E2=-E1，負號表示E2方向與E1方向相反，為向左.

2. 利用物理狀態的互換性

物理狀態雖然各有特點存在差異，但是某些物理狀態在某些方面卻具有互換性.為很多問題的分析提供簡便方法.

例3如圖1所示，兩個相同大小的金屬板平行正對放置，且距離很近，組成一平行板電容器，已知兩板分別帶有q1=-2.0×10-8庫，q2=+6.0×10-8庫，測得兩板間電勢差u為10伏，求該容器電容C.

分析這個問題似乎無法解決，然而如下特殊狀態的結論會使解題豁然開朗.如果兩板各帶有等量的同種電荷，由電場的對稱性迭加可知，兩板間電場強度處處為零.據此，

可以得到解決本題的思路.設想使兩板分別再帶上負-2.0×10-8庫，則兩板帶電量分別為-4.0×10-8庫與4.0×10-8庫，這種補償的效果是電容器內電場強度保持不變，即前后

兩種物理狀態具有互換性，故可用后一種狀態代換前一種狀態，

由電容器的定義可得

C=qu=4.0×10-810=4.0×10-9(F).

4.利用平衡力的不變性

一個平面共點力，若其合力為零，則為平衡力，對一個物體添加一平衡力，在其它條件不變的情況下，物體的受力效果相同.利用平衡力的這種不變性，可以巧妙地解決某些問題.

例4帶正電的粒子q質量為m，初始時靜止在坐標原點o，勻強磁場方向沿x軸正方向，勻強電場方向沿z軸正方向, 磁感應強度為B，電場強度為E.求帶電粒子在此復合電磁場中的運動軌跡.

解析因為粒子初速度為零，所以可等效成兩個大小相等，

方向相反的速度合成，且令v0=E/B,方向沿y軸正方向.顯然

沿y軸正方向的v0所對應的洛侖茲力恰好與電場力平衡，

粒子只受到沿y軸負方向的v0所產生的洛侖茲力f=qv0B

的作用，方向在yoz平面內.粒子在yoz平面內以v0作勻速圓周運動，同時由于沿y軸正方向的v0的存在，粒子還沿y軸正方向勻速運動，這兩個運動的疊加就是粒子在復合電磁場中的合運動.粒子的合運動可等效成半徑為R=mv0/Bq的圓沿y軸正方向以中心速度v0做滾動.

別列式：x=v02x⑥；0-(v02)2=2(-a)x1⑦，聯立得x=12m.

法4從平均速度關系出發解題，可得時間中點即9m時的速度為v02，同時也是整個過程的平均速度，得x=v02t⑧，

前一半時間的平均速度v1=V0+v022=34v0，得x1=v1·t2=

38v0t⑨；結合⑧⑨得x=12m.

法5根據汽車剎車的情形，設初速度為v0，滑行總時間為t，可以作出如圖6所示的v-t圖，數理結合可以將物理運動類問題轉化為求△OAB的面積，求得x=12m.

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替換法是一種創造性的思維方式，利用替換法解題，往往可以辟免復雜的數學運算，使這類問題得到簡化

1.利用物理量的替換

同一物體的兩個運動過程中，某個物理量的變化恰好對應著另一物理量的變化，這兩個不同物理量變化的量值相等，利用等效替換法，可以開辟常規途徑設法找到解題的捷徑.

例1如圖1質量為m的小球以初速度v0沖上斜面，斜面的質量為M, 斜面光滑，試求在下列兩種情況下，小球在斜面上升的最大高度之差.

（1）斜面固定;

（2）斜面自由地置于光滑水平面上.

（設兩種情況下小球的最大高度均小于斜面高）

解析這道題按常規解法是分別計算兩種情況下小球在斜面上到達的高度.這種解法的方程較多不夠簡潔，若利用物理量的替換就簡便一點.

考察小球運動的兩個物理過程，可以發現以下差異，第一次小球到達最高點時速度為零，而第二次小球到達最高點時速度不為零，且與斜面獲得共同的水平速度，即在第一個過程中小球的初動能全部轉化為重力勢能，而在第二次過程中小球的動能只有部分轉變為重力勢能.由此可見，兩個過程中小球末態重力勢能的差值與第二種情況下小球和斜面的末態動能值具有代償性.

故mgΔh=12(m+M)v2,又 mv0=(m+M)v

解得 Δh=mv202(m+M)g.

1. 利用電路結構補割等效換算

當電路或導體具有特殊結構時，如閉合電路在勻強磁場中不論在任何方向平動，閉合電路中的總電動勢恒為零.閉合的通電導線在勻強磁場中所受磁場力的矢量和恒為零.利用電路結構補割等效換算，可使問題的求解過程變得簡單.

例2如圖所示，將金屬絲AB彎成半徑r的圓弧，但是AB之間留出寬度 為d，相對于圓弧來說很小的間隙，電荷量Q的正電荷均勻分布在金屬絲上，求圓心O處的電場強度.

思路分析將圓環的缺口補上，并且它的電荷線密度與缺了口的環體原有的電荷線密度一樣，這樣就形成了一個

電荷均勻分布的完整的帶電環，環上處于同一直徑兩端的微

小部分可看成相對應的點電荷，它產生的電場在圓心處疊加后場強為零.根據對稱性可知，帶電圓環在圓心處的總場強E=0.

解析設原缺口環所帶電荷的線密度為ρ，則補上金屬小段的帶電荷量Q′=ρd 將Q′視為點電荷，它在O處的場強為E1，方向向右.設要求的場強為E2，由E1+E2=0可得E2=-E1，負號表示E2方向與E1方向相反，為向左.

2. 利用物理狀態的互換性

物理狀態雖然各有特點存在差異，但是某些物理狀態在某些方面卻具有互換性.為很多問題的分析提供簡便方法.

例3如圖1所示，兩個相同大小的金屬板平行正對放置，且距離很近，組成一平行板電容器，已知兩板分別帶有q1=-2.0×10-8庫，q2=+6.0×10-8庫，測得兩板間電勢差u為10伏，求該容器電容C.

分析這個問題似乎無法解決，然而如下特殊狀態的結論會使解題豁然開朗.如果兩板各帶有等量的同種電荷，由電場的對稱性迭加可知，兩板間電場強度處處為零.據此，

可以得到解決本題的思路.設想使兩板分別再帶上負-2.0×10-8庫，則兩板帶電量分別為-4.0×10-8庫與4.0×10-8庫，這種補償的效果是電容器內電場強度保持不變，即前后

兩種物理狀態具有互換性，故可用后一種狀態代換前一種狀態，

由電容器的定義可得

C=qu=4.0×10-810=4.0×10-9(F).

4.利用平衡力的不變性

一個平面共點力，若其合力為零，則為平衡力，對一個物體添加一平衡力，在其它條件不變的情況下，物體的受力效果相同.利用平衡力的這種不變性，可以巧妙地解決某些問題.

例4帶正電的粒子q質量為m，初始時靜止在坐標原點o，勻強磁場方向沿x軸正方向，勻強電場方向沿z軸正方向, 磁感應強度為B，電場強度為E.求帶電粒子在此復合電磁場中的運動軌跡.

解析因為粒子初速度為零，所以可等效成兩個大小相等，

方向相反的速度合成，且令v0=E/B,方向沿y軸正方向.顯然

沿y軸正方向的v0所對應的洛侖茲力恰好與電場力平衡，

粒子只受到沿y軸負方向的v0所產生的洛侖茲力f=qv0B

的作用，方向在yoz平面內.粒子在yoz平面內以v0作勻速圓周運動，同時由于沿y軸正方向的v0的存在，粒子還沿y軸正方向勻速運動，這兩個運動的疊加就是粒子在復合電磁場中的合運動.粒子的合運動可等效成半徑為R=mv0/Bq的圓沿y軸正方向以中心速度v0做滾動.

別列式：x=v02x⑥；0-(v02)2=2(-a)x1⑦，聯立得x=12m.

法4從平均速度關系出發解題，可得時間中點即9m時的速度為v02，同時也是整個過程的平均速度，得x=v02t⑧，

前一半時間的平均速度v1=V0+v022=34v0，得x1=v1·t2=

38v0t⑨；結合⑧⑨得x=12m.

法5根據汽車剎車的情形，設初速度為v0，滑行總時間為t，可以作出如圖6所示的v-t圖，數理結合可以將物理運動類問題轉化為求△OAB的面積，求得x=12m.

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