數學文化視角下教材空間設計的實踐

聶艷軍

作為教材的實踐者，教材的編排與知識技能目標之間的聯系是顯而易見的，但怎樣體現數學內容與其他方面目標之間的關系，永遠是教師一個人在作決定。因此，在課程實施的層面上對教材空間設計作文化學的實踐，以豐富數學教學的文化內涵，提升學生數學素養，無疑是必要的。

關于數學文化的內涵，目前普遍被認可的是源自于對文化的狹義理解（指向精神層面）。事實上，精神層面的數學文化不可能脫離物質層面的具體數學知識、理論而單獨存在，它們總是以某種特殊的形式凝聚、投射到具體的數學知識、數學理論之中。我們認為，數學文化包括學習者在數學活動中所創造的物質產品（知識性成分）和精神產品（觀念性成分）。以此為視角，教材內的知識一般以兩種形態存在：一是顯性的、靜態的結果性知識；二是隱藏在知識背后的數學思想方法、數學思維方式、數學理性精神等。這些隱性的數學思想方法、思維方式、數學精神等和顯性的數學知識共同構成了教材的文化內涵，成為數學教材空間的組成部分。

設計是一種規劃、設想，通過視覺的形式傳達出來的活動結果與活動過程。數學教材空間設計，既指向結果，即挖掘教學內容的文化內涵，對“教什么”作出深遠謀劃；又指向過程，即設計教學路線與方式，對“怎樣教”作出精細規劃。

一、 深刻把握數學學科的本質，對“教什么”做出深遠的謀劃

數學教學的首要問題，是對“教什么”作出深遠的謀劃，思考“為什么要教這個而不教那個”這樣的價值取舍問題，遠比單純地琢磨怎樣教更有意義。

以知識為中心的數學教育過度追逐數學的工具性價值，數學教材原本具有的豐富意蘊被簡化為數字、符號、公式、規則、程序的組合。對數學的如此認知和理解，切斷了數學文化中知識性成分和觀念性成分的內在聯系，窄化了數學教材的文化內涵，使得數學課堂以“去情境”和“去過程”為特征，把生動的數學知識變成單調刻板的條文讓學生去進行記憶和背誦，數學本該擁有的文化氣質被剝落。

以文化育人為價值取向的教材空間設計，最基本的是對學科本質的把握和領悟。就數學而言，首先是對基本數學概念的理解（包括為什么學習？核心概念是什么？怎么用？），其次是對抽象、模型、推理等數學基本思想的領悟，以及對分類、轉化、類比、猜想等數學特有思維方式的把握，最后是對數學美的鑒賞和對理性精神的追求。顯然，這與數學文化的內涵是一脈相承的。以此為視角觀測數學教材，教材內容不再只是數字、符號、公式、規則、程序的簡單組合，透過它們，我們還能感受隱藏其中的豐富的方法、深邃的思想、高貴的精神和品格。這些隱性的數學思考、數學精神、數學意識等觀念性成分和顯性的數學知識共同構成數學教材深刻的文化空間。

以蘇教版小學數學五年級下冊“確定位置”為例，這節課主要學習數對的含義，以及用數對確定平面上點的位置，教材內容蘊含豐富的文化內涵。

學生在此之前已經初步獲得了用自然數表示位置的經驗。由一年級時在某一行（或列）中借助“第幾”來確定某個人或物體的位置，到二年級時用兩個“第幾”來確定相應的位置，看似簡單的數量增加（“第幾”的個數由原來的1增加到2），其內在的實質卻是：給定的空間由最初的一維增到二維，確定相應空間中點的位置所需參數也自然應由最初的1個增加到2個。而把由具體情境中用較樸素的方式描述位置提升到用數學方法（抽象的數對）確定位置，形式化表達的背后蘊含數學精準、凝練的氣質。顯然，幫助學生建立二維空間的表象，進一步發展空間觀念，提高抽象思維能力，是本節課價值訴求的重要組成部分。

“用數對確定位置”是學生學習平面直角坐標系的基礎。數對的表達為什么先記“列”再記“行”？記“列”為什么從左往右數？記“行”為什么從下往上數？這主要是與平面直角坐標系的規定相一致。教材的呈現也給我們啟發：由“教室里小軍坐在哪里”的實際生活事例，抽象為“符號化的圖”（用圓圈表示具體的人，相當于格塊），再上升到“數學化的圖”（例2，把具體建筑物記作點，接近于坐標描述），能看出編者的匠心——即將“座位”平面圖抽象為比較形象的“直角坐標系”，架起數與形之間的橋梁，初步滲透數形結合及坐標思想。由此，在突顯教學內容應有的生活價值的同時，又能在符號體系中恰當地生成和滲透數學思想，是本節課教學應有的文化意蘊。

事實上，教材內容還賦予本課更為豐富的文化內涵：

對于數對的引入，即使最終還是由教師把結果告訴學生，我們還是應該引導學生經歷“用數對確定位置”的創造過程。因為，數學教學不僅要承載讓學生繼承數學事實的功能，還有引領學生感受知識產生必要性與自身規定的合理性，以及獲得創造新文化的意識和能力。

在學生準確建構用數對確定位置后，讓學生分別表示一維、二維以及三維空間中物體的位置，讓學生意識到只有在平面上，才用兩個數組成的數對表示物體的位置；在直線上，只需要一個數就可以了，而在三維空間，兩個數又不行了，為后續知識的學習積蓄可持續發展的動力源泉。

用數對的思想不僅可以確定“有限平面”上某些點的位置，還可以確定無限平面上任意點的位置。

這些內涵的挖掘都是有價值、有意義的，并有利于學生對數學的真正理解與把握。當然，在某種意義上，課堂教學始終印刻著教師個性化的價值判斷、趣味追求，對同一節課教材文化內涵的把握，在突顯學科本質的前提下，“我的地盤我做主”。

二、著力構建與文化沉淀相匹配的教學方式，對“怎樣教”做出精致的規劃

數學教材空間設計，不僅反映出教師選擇在哪些事情上努力，對“教什么”做出深遠謀劃，還反映出教師如何更好地完成教學任務，對“怎樣教”做出精致的規劃。

文化總帶有歷史性的成分。數學作為一種文化，同樣也離不開歷史的沉淀過程。當我們把數學知識看作文化傳承結果的同時，也意味著這些知識經歷了發生、發展、沉淀等階段，數學文化正是在這一過程的循環往復中，不斷充實，不斷提升，其觀念性成分逐漸成為人們采取行動、解決問題的指南。要使數學知識的學習過程同時成為數學觀念性成分的文化積累過程，探索與數學文化沉淀過程相匹配的教學方式是前提。endprint

還是以“用數對確定位置”為例。在學生感到用第幾列第幾行的方法表示一個同學的位置比較準確、簡便時后，我們通過如下的活動設計，引導學生建構數對概念，把握用數對確定位置的方法，感悟基本數學思想。

1.用數對的方法在圓點圖上確定位置——理解概念的本質。

●體驗。

談話：第幾列第幾行，讓我們確定，位置有了統一說法。下面我們用這種方法記錄幾個同學的位置。（教師口述并逐漸加快語速，學生無法記錄下來）

質疑：沒有記錄下來，除了老師報得快以外還有沒有別的原因？

交流：學生在交流中意識到既有方法的繁瑣和不便。

談話：數學不僅追求統一，還追求簡潔。像第4列第2行，能否寫得再簡潔些呢？（教師收集并展示學生的寫法：4：2 4·2 4-2 4|2 ）

比較：透過不同你能看到這些方法中相同的地方嗎？

交流：學生在交流的過程中，初步感受數對的本質屬性。

講授：揭示數對概念，介紹數對的寫法。

●運用。

用數對表示圖上A點、B點的位置，并交流寫法。

在圖上找到數對（2，5）、（6，3）對應的點，并交流找點的過程。

●反思。

交流：（出示錯誤的描點作業）是不是一個數對有兩個點與之對應呢？

感悟：一個數對只對應一個點，一個點只能對應一個數對。

2.用數對的方法在方格圖上確定位置——滲透基本數學思想。

（1）根據方格圖上的點說出數對。

●體驗。

談話：（課件演示：用線連接圓點，然后隱去圓點，變成方格圖。）這是學校的平面圖，你能用數對表示出方格圖上景點的位置嗎？

比較：（出示兩個學生不同的表示結果）明明是同一個點，為什么出現不同的數對呢？

交流：學生在交流中意識到同一點的行數與列數不是唯一的，它取決于第一行、第一列從哪兒算起。為了方便交流，起點一般從0開始。

●練習。

用數對表示出其他景點的位置。依次是：升旗臺（3，5）校史室（6，7）竹園（4，0）科學宮（0，0）

●反思。

交流：校史室的位置是由哪兩條線決定的？這兩條線又是由哪些線決定的？

感悟：在方格圖上用數對的方法確定位置，首先要確定0起點。有了0起點和這兩條相互垂直的直線，就能唯一地確定圖中任何一點的位置。

（2）根據數對在方格圖上找到對應點。

●體驗。

談話：在方格圖上，你還能根據數對找到對應的點嗎？這兒有三個數對，請找到對應的點并標上數對。

交流：比較這三個點的位置，你發現了什么？

●延伸。

類推：根據這一發現，想一想，同一列上的數對又有怎樣的特點？

交流：以（6，5）為例，哪些數對與它在同一列上？

●反思。

交流：對于數對你們又有怎樣的認識？

感悟：數對不僅能表示出點的位置，還能反映出點與點之間的位置關系。圖形的特征可以反映在數對中，數對的特點也能通過圖形來體現。

知識性成分和觀念性成分在數學課程內容設置上共用同一個知識載體。知識性目標著眼于載體的事實性、陳述性，觀念性成分浸潤在對載體本身的理解與認知過程中，一般要在觀察、實驗、猜測、嘗試中體驗，在合作探索、多邊互動中交流碰撞，在反思內省中感悟、完善等。

建構。在學生感受到用第幾列第幾行的方法表示一個同學的位置比較準確、簡便時，要求學生用這種方法記錄幾個同學的位置，讓學生親身經歷快速記錄的過程，體驗既有方法的繁瑣與不便，意識到這種方法還可以寫得更簡潔一些，自然過渡到對原有描述進行改進和優化，并通過比較、交流，逐漸逼近數對簡約、凝練的特質，催生出數對的雛形。

運用。引導學生經歷從“在圓點圖上確定位置”到“在方格圖上確定位置”的過程，通過圖例的抽象和演變，讓學生感受在方格圖上用數對確定位置的背景。不論是在圓點圖上確定位置，還是在方格圖上確定位置，教學安排了同樣的層次，即先用數對表示圖上圓點的位置，再在圖上找數對對應的點，并引導學生通過思維的交流與碰撞，把握學科的本質。在圓點圖上確定位置，著力使學生在交流中掌握用數對確定位置的方法，感悟數對的含義；在方格圖上確定位置，著力使學生在交流中體會圖形與數對的聯系，感悟基本的數學思想。

提升。北京教育學院張丹副教授認為，數學經驗一方面在于積累，另一方面也需要提升。在體驗的基礎上，引導學生“脫身”出來，作為一個旁觀者來看待自己剛才做了些什么事，將自己所做的過程置于被思考的位置上加以審視，從而使數學活動中積累的經驗沉淀為一種理性的認識。（三次活動后的“反思”）

同樣的教學內容，因為建構方式的不同，既可以使數學彰顯其文化屬性，也可以讓本該擁有的文化氣質被剝落。學生的數學學習主要是一個文化繼承的過程。但是，文化繼承不能理解成只是一個被動的接受過程，恰恰相反，我們應當幫助學生較好地去理解相關的數學概念，而這事實上也就是一個自主建構的過程。

參考文獻

[1] 張維忠.數學教育中的數學文化[M].上海：上海教育出版社，2011.

[2] 劉加霞.小學數學課堂的有效教學[M].北京：北京師范大學出版社，2010.

【責任編輯：陳國慶】endprint