門式剛架結(jié)構(gòu)的可靠度分析

摘 要：對某單層廠房的鋼筋混凝土門式剛架結(jié)構(gòu)，本文從結(jié)構(gòu)失效模式、極限狀態(tài)方程（功能函數(shù)）、功能函數(shù)的相關(guān)性、可靠指標(biāo)（失效概率）求法等方面論述了對其中的一榀門式剛架進行可靠度分析。

關(guān)鍵詞：門式剛架結(jié)構(gòu)；可靠度分析

引言

目前，結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范只考慮結(jié)構(gòu)的一個部件，一個截面或者一個局部區(qū)域的可靠度，還沒有考慮整個結(jié)構(gòu)體系的可靠度。事實上，一個結(jié)構(gòu)往往是由許多構(gòu)件或者部件組成；特別是抗震結(jié)構(gòu)，一個截面、一個部件或者局部的損壞，并不標(biāo)志整個結(jié)構(gòu)體系的倒塌。所以基于結(jié)構(gòu)體系的可靠度研究更有實際意義。

1.結(jié)構(gòu)失效模式

剛架的失效一般是逐步形成塑性鉸，從而成為機構(gòu)造成的。剛架失效即機構(gòu)的形成一般按以下方式產(chǎn)生：當(dāng)某一截面失效后，在該截面形成塑性鉸，從而形成了新的結(jié)構(gòu)形式，結(jié)構(gòu)總剛度有所降低，并且內(nèi)力發(fā)生重分布，以至于下一個塑性鉸出現(xiàn)。照此下去，當(dāng)機構(gòu)出現(xiàn)時，結(jié)構(gòu)體系的剛度為零。此外，對于超靜定次數(shù)為r的結(jié)構(gòu)，當(dāng)塑性鉸個數(shù)達到r+1時，結(jié)構(gòu)的自由度為1，屬于可變體系，從而形成了機構(gòu)。

剛架的失效機構(gòu)可以認為是由一些基本機構(gòu)的線性組合而成的。設(shè)剛架可能形成的基本機構(gòu)數(shù)為N，則N=可能塑性鉸個數(shù)-剛架的多余約束數(shù)。有N個基本機構(gòu)的剛架體系，其單自由度失效機構(gòu)模式有2N-1種，在實際分析中，它們有的可能違反運動學(xué)的約束定理；有的可能違反實際構(gòu)件抗力完全相關(guān)的假設(shè)；有的由于機構(gòu)本身可靠度很高，幾乎不能發(fā)生等等，因此，實際考慮的主要機構(gòu)遠遠小于2N-1個。超靜定剛架可靠度的分析， 關(guān)鍵是尋找主要機構(gòu)。

若結(jié)構(gòu)中任一構(gòu)件失效，則整個結(jié)構(gòu)體系失效，具有這種邏輯關(guān)系的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可用串聯(lián)模型表示，所有的靜定結(jié)構(gòu)的失效分析均可采用串聯(lián)模型。若結(jié)構(gòu)中所有單元失效，則該結(jié)構(gòu)體系失效，具有這種邏輯關(guān)系的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可用并聯(lián)模型表示，超靜定結(jié)構(gòu)的失效可用并聯(lián)模型表示。實際的超靜定結(jié)構(gòu)通常有多個破壞模式，每一個破壞模式可簡化為一個并聯(lián)體系，而多個破壞模式又可簡化為串聯(lián)體系，這就構(gòu)成了混聯(lián)模型。因此，我們可以把上述門式剛架結(jié)構(gòu)看成是串-并聯(lián)系統(tǒng)。

2.極限狀態(tài)方程

2.1 靜定結(jié)構(gòu)

在靜定剛架結(jié)構(gòu)體系中，任何一構(gòu)件的失效都將引起體系的失效，因此，其失效概率為各構(gòu)件失效事件和的概率。設(shè)一靜定結(jié)構(gòu)體系，由n個構(gòu)件組成，并分別用E1，E2…En表示各個構(gòu)件的失效事件， 則體系的失效概率為：

（1）

其可靠度表達式為： （2）

靜定結(jié)構(gòu)體系可靠度同組成該體系的各構(gòu)件的可靠度直接相關(guān)。因此，要計算靜定結(jié)構(gòu)體系的可靠度，首先要計算各構(gòu)件的可靠度。設(shè)某構(gòu)件的抗力為Ri，承受的荷載效應(yīng)為Si則該構(gòu)件的功能函數(shù)為 （3）

顯然， 時，該構(gòu)件失效， 就是該構(gòu)件的極限狀態(tài)方程。

2.2超靜定結(jié)構(gòu)

與靜定結(jié)不同，超靜定結(jié)構(gòu)體系中某個或某些構(gòu)件的失效未必引起整個體系的失效。因此，需要考慮各種失效狀況的組合問題。設(shè)結(jié)構(gòu)體系可能形成的機構(gòu)有n種，每種機構(gòu)對應(yīng)的失效事件為Ei，這樣便存在E1，E2…，En種失效事件，而結(jié)構(gòu)體系破壞概率就是各失效事件和的概率。由于超靜定結(jié)構(gòu)體系的可靠度同各種可能機構(gòu)的可靠度有關(guān)，因此，要計算超靜定結(jié)構(gòu)體系的可靠度，首先應(yīng)計算各種可能機構(gòu)的可靠度。同靜定結(jié)構(gòu)體系可靠度求解方法一樣，為求超靜定結(jié)構(gòu)體系的可靠度，首先要建立機構(gòu)功能函數(shù)的表達式，以建立求解該機構(gòu)可靠度的極限狀態(tài)方程。為此，對某種可能的機構(gòu)，利用虛功原理，建立的一般形式為：

（4）

式中 為第P截面的抗力； 為作用在第i機構(gòu)的第m個荷載； 為第i機構(gòu)與 對應(yīng)的抗力效應(yīng)系數(shù)； 為第i機構(gòu)與 對應(yīng)的荷載效應(yīng)系數(shù)。

顯然， 時，該構(gòu)件失效， 就是該構(gòu)件的極限狀態(tài)方程。

對于具有n個可能機構(gòu)的結(jié)構(gòu)體系，其失效概率為：

（5）

3.功能函數(shù)的相關(guān)性

實際上，剛架各構(gòu)件間及作用其上的隨機變量并非孤立的， 而是相互聯(lián)系的。反映這個關(guān)系的是功能函數(shù)的相關(guān)性。設(shè)兩功能函數(shù)Zi和Zj相關(guān)，功能函數(shù)中含多個統(tǒng)計獨立的隨機變量R和S，函數(shù)Zi、Zj分別為：

（6）

則其相關(guān)系數(shù)為：

（7）

同一結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中兩種失效形式的相關(guān)性可按相關(guān)系數(shù)的大小分為高級相關(guān)與低級相關(guān)。通常定義 為高級相關(guān)； 為低級相關(guān)。 為臨界相關(guān)系數(shù)，可根據(jù)結(jié)構(gòu)的重要性與經(jīng)濟性修正，一般取 。

當(dāng) 時，可以用一種形式代替另一種失效形式，這樣就可使結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的可靠度分析簡化。

當(dāng) 時，必須考慮各種失效形式對結(jié)構(gòu)系統(tǒng)失效的影響。

4.剛架體系失效概率的計算方法

4.1結(jié)構(gòu)體系可靠度的一般界限范圍

在一般情況下，結(jié)構(gòu)體系的失效概率是處在結(jié)構(gòu)體系機構(gòu)間完全相關(guān)與完全獨立之間的，因此，紅華生和阿明主張用這兩種極端情況作為結(jié)構(gòu)體系失效概率的界限范圍即

（8）

如果Pfi很小，有 ，則

（9）

此法可用于估算具有較少控制機構(gòu)下結(jié)構(gòu)體系失效概率 的界限范圍。當(dāng)機構(gòu)數(shù)目多或 非足夠小時，該法算出的界限范圍往往偏大。但由于方法簡單明了，該法常被用于結(jié)構(gòu)體系可靠度的初始檢驗。

4.2結(jié)構(gòu)體系可靠度的窄界限范圍

針對一般界限法中存在的范圍過寬的問題，O.Ditleven于1979年導(dǎo)出了結(jié)構(gòu)體系失效概率的窄界限范圍公式。

設(shè)結(jié)構(gòu)體系的n個機構(gòu)的事件為E1、E2、…、En，根據(jù)概率論，地特里文導(dǎo)得如下的結(jié)構(gòu)體系失效概率界限范圍式：

（10）

式中 為共同事件 的概率，當(dāng)所有隨機變量都是正態(tài)分布且相關(guān)系數(shù) 時，借助于機構(gòu)i、j的可靠指標(biāo) 和 ，由式

（11）

確定，式中：

（12）

（13）

具體計算時，可先求出 代替（11）左邊的 ，再求出 代替（11）右邊的 ，以近似地獲得體系的失效概率 的界限范圍。

4.3 PNET法

PNET法也就是概率網(wǎng)絡(luò)估算技術(shù)，PNET法的基本原理是認為所有主要的機構(gòu)可以用其中的m個所謂代表機構(gòu)來代替。這些代表機構(gòu)是由所有主要機構(gòu)通過下述原則選擇出來的，即把主要機構(gòu)分為幾個組， 在同一組中各機構(gòu)與一代表機構(gòu)高級相關(guān)，這個代表機構(gòu)就是改組所有機構(gòu)中失效概率最高的機構(gòu)。從相關(guān)條件知，它可以代表改組所有機構(gòu)的失效概率。在計算時，假定不同組間的代表機構(gòu)是統(tǒng)計獨立的，根據(jù)上述原則，設(shè)m個代表機構(gòu)中，第i個機構(gòu)的破壞概率為，則結(jié)構(gòu)體系的可靠度為

（14）

對應(yīng)的失效概率為

（15）

當(dāng)很小時，上式可近似地寫成

（16）

PNET法計算剛架結(jié)構(gòu)體系可靠度的主要步驟如下：

（1）列出主要失效機構(gòu)及相應(yīng)的功能函數(shù) ，然后用一次二階矩法求各可靠指標(biāo) 。把 由小到大進行排列，并將所得序號作為機構(gòu)排列次序的依據(jù)。

（2）選擇定限相關(guān)系數(shù) 值以作為判別各機構(gòu)間的相關(guān)程度的依據(jù)。

（3）尋找m個代表機構(gòu)。取1號機構(gòu)（與最小可靠指標(biāo)對應(yīng)）作為第一代表機構(gòu)，然后用式（7）計算它與其余機構(gòu)的相關(guān)系數(shù) 。如果 ，則認為第i機構(gòu)與1號機構(gòu)高級相關(guān)，因而可為1號機構(gòu)所代替；如果 則認為第i機構(gòu)與1號機構(gòu)低級相關(guān)，不能互相代替。再從剩下的機構(gòu)中找出可靠指標(biāo)最小者作為第二個代表機構(gòu)，并找出它所代替的機構(gòu)。重復(fù)以上步驟，直到完成最后一個機構(gòu)為止。

（4）最后，用式（14）、（15）計算結(jié)構(gòu)體系的可靠度或失效概率。

4.4蒙特卡羅法

當(dāng)所求結(jié)構(gòu)體系的所有可能機構(gòu)已被識別之后，蒙特卡羅法求其可靠度的步驟如下：

（1）對于結(jié)構(gòu)體系中每一隨機變量的分布，利用隨機數(shù)產(chǎn)生器或隨機數(shù)表產(chǎn)生一隨機數(shù)。用這些隨機數(shù)產(chǎn)生結(jié)構(gòu)體系中的荷載效應(yīng)與抗力值，從而就所有的可能機構(gòu)計算器功能函數(shù) 值。在m個功能函數(shù)中，每次抽樣一般來說都是從第一

個進行到第m個，但當(dāng)出現(xiàn)函數(shù)值小于零時，該次抽樣即可中間停止。那些與負的功能函數(shù)值對應(yīng)的可能失效機構(gòu)，即為實際破壞機構(gòu)。

（2）重復(fù)步驟1的計算，設(shè)進行過n次抽樣，并記錄實際失效的樣本數(shù)m。

（3）把實際失效機構(gòu)樣本數(shù)m除以總樣本數(shù)n，即得結(jié)構(gòu)體系的失效概率 。 （17）

（4）為了減少樣本數(shù)不足引起的誤差，蒙特卡羅法的樣本數(shù)n必須大于引起一次 所需要的平均樣本數(shù)的100倍，即

（18）

5.算例

求解如圖a所示門式剛架的可靠度。設(shè)已知各隨機變量及統(tǒng)計量如下：

彎曲抗力M1=（498，74.7）kN。m

彎曲抗力M2=（664，99.5）kN。m

荷 載P1=（454，45.4）kN

荷 載P2=（227，68）kN

L1=4.58m，L2=7.1m，

在同一桿中所有截面的抗力滿足完全相關(guān)的條件下，本剛架可能出現(xiàn)的塑性鉸如圖b所示，一共有7個，由于剛架有3個多余約束，因此，基本機構(gòu)數(shù)為7-3=4。而可能機構(gòu)總數(shù)有24-1=15。通過各方的比較分析之后，得出如圖c所示6種主要失效模式。模式①的塑性鉸為1，4，6，7；模式②的塑性鉸為1，2，6，7；模式③的塑性鉸為1，4，5，7；模式④的塑性鉸為3，4，5；模式⑤的塑性鉸為1，3，5，7；模式⑥的塑性鉸為2，4，6。我們可以把上述剛架結(jié)構(gòu)看成是串-并聯(lián)系統(tǒng)，如圖d所示。

在列出的各機構(gòu)的功能函數(shù)、算出對應(yīng)的可靠指標(biāo)和失效概率之后，依可靠指標(biāo)的大小反向排列于表1中

用式（7）算得各機構(gòu)功能函數(shù)間的相關(guān)系數(shù)見表2中

下面就不同的結(jié)構(gòu)體系可靠度計算方法計算本剛架的可靠度

（1）用PNET法求解。取 。由表2選出代表機構(gòu)為1和4。先采用式（15）求得剛架的失效概率為

其次采用式（16）求解，得

結(jié)果說明當(dāng) 較小時，式（15）近似等于式（16）。由于用式（16）計算起來比較方便，因而當(dāng) 較小時，都采用式（16）求解。

（2）用一般界限范圍法求解。由式（9）得界限范圍為

顯然，這個范圍太寬了，難以使用。

（3）用窄界限法求解，用式（10）求得本剛架的窄界限范圍為

（4）用蒙特卡羅法求解。對隨機變量選擇20000的大樣本進行蒙特卡羅法計算，求得802個負的功效函數(shù)值，結(jié)果由式（17）得剛架失效概率 為：

比較以上結(jié)果可以看出：PNET法結(jié)果與蒙特卡羅法結(jié)果相當(dāng)接近；兩個界限范圍值中，一般界限范圍太寬，不實用，窄界限范圍值較窄，一般可以應(yīng)用。

6.結(jié)論

通過對一榀門式剛架進行可靠度分析，分別從結(jié)構(gòu)的失效模式、極限狀態(tài)方程（功能函數(shù)）、功能函數(shù)的相關(guān)性、可靠指標(biāo)（失效概率）求法等方面進行了論述。發(fā)現(xiàn)采用結(jié)構(gòu)體系的失效模式來分析結(jié)構(gòu)的可靠度， 更接近于工程實際， 能夠更好的發(fā)揮材料的整體性能。

參考文獻

[1] 劉天云、趙國藩.一種識別結(jié)構(gòu)主要失效模式的有效算法[J].大連理工大學(xué)學(xué)報，1998.

[2] 蔡迎建、孫煥純.結(jié)構(gòu)失效模式的快速識別方法[J].大連理工大學(xué)學(xué)報，1999.

[3] 趙國藩、金偉良、貢金鑫.結(jié)構(gòu)可靠度理論[M].北京：中國建筑工業(yè)出版社，2000.

[4] 吳世偉.結(jié)構(gòu)可靠度分析[M].北京：人民交通出版社，1990.

[5] 許成祥、何培玲.荷載與結(jié)構(gòu)設(shè)計方法[M].北京：北京大學(xué)出版社，2006.

[6] 錢保國、姜晨光.剛架結(jié)構(gòu)體系可靠度的一般算法[J].交通科技，2006.

[7] 黃剛、劉幸.剛架結(jié)構(gòu)體系可靠度分析與優(yōu)化方法[J].武漢大學(xué)學(xué)報，2004.

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【文章編號】1627-6868（2014）05-0007-05

【作者簡介】郭海龍（1964- ），男，江蘇人，碩士研究生，工程師；主要從事路橋施工、檢測與技術(shù)工作。

式中 為共同事件 的概率，當(dāng)所有隨機變量都是正態(tài)分布且相關(guān)系數(shù) 時，借助于機構(gòu)i、j的可靠指標(biāo) 和 ，由式

（11）

確定，式中：

（12）

（13）

具體計算時，可先求出 代替（11）左邊的 ，再求出 代替（11）右邊的 ，以近似地獲得體系的失效概率 的界限范圍。

4.3 PNET法

PNET法也就是概率網(wǎng)絡(luò)估算技術(shù)，PNET法的基本原理是認為所有主要的機構(gòu)可以用其中的m個所謂代表機構(gòu)來代替。這些代表機構(gòu)是由所有主要機構(gòu)通過下述原則選擇出來的，即把主要機構(gòu)分為幾個組， 在同一組中各機構(gòu)與一代表機構(gòu)高級相關(guān)，這個代表機構(gòu)就是改組所有機構(gòu)中失效概率最高的機構(gòu)。從相關(guān)條件知，它可以代表改組所有機構(gòu)的失效概率。在計算時，假定不同組間的代表機構(gòu)是統(tǒng)計獨立的，根據(jù)上述原則，設(shè)m個代表機構(gòu)中，第i個機構(gòu)的破壞概率為，則結(jié)構(gòu)體系的可靠度為

（14）

對應(yīng)的失效概率為

（15）

當(dāng)很小時，上式可近似地寫成

（16）

PNET法計算剛架結(jié)構(gòu)體系可靠度的主要步驟如下：

（1）列出主要失效機構(gòu)及相應(yīng)的功能函數(shù) ，然后用一次二階矩法求各可靠指標(biāo) 。把 由小到大進行排列，并將所得序號作為機構(gòu)排列次序的依據(jù)。

（2）選擇定限相關(guān)系數(shù) 值以作為判別各機構(gòu)間的相關(guān)程度的依據(jù)。

（3）尋找m個代表機構(gòu)。取1號機構(gòu)（與最小可靠指標(biāo)對應(yīng)）作為第一代表機構(gòu)，然后用式（7）計算它與其余機構(gòu)的相關(guān)系數(shù) 。如果 ，則認為第i機構(gòu)與1號機構(gòu)高級相關(guān)，因而可為1號機構(gòu)所代替；如果 則認為第i機構(gòu)與1號機構(gòu)低級相關(guān)，不能互相代替。再從剩下的機構(gòu)中找出可靠指標(biāo)最小者作為第二個代表機構(gòu)，并找出它所代替的機構(gòu)。重復(fù)以上步驟，直到完成最后一個機構(gòu)為止。

（4）最后，用式（14）、（15）計算結(jié)構(gòu)體系的可靠度或失效概率。

4.4蒙特卡羅法

當(dāng)所求結(jié)構(gòu)體系的所有可能機構(gòu)已被識別之后，蒙特卡羅法求其可靠度的步驟如下：

（1）對于結(jié)構(gòu)體系中每一隨機變量的分布，利用隨機數(shù)產(chǎn)生器或隨機數(shù)表產(chǎn)生一隨機數(shù)。用這些隨機數(shù)產(chǎn)生結(jié)構(gòu)體系中的荷載效應(yīng)與抗力值，從而就所有的可能機構(gòu)計算器功能函數(shù) 值。在m個功能函數(shù)中，每次抽樣一般來說都是從第一

個進行到第m個，但當(dāng)出現(xiàn)函數(shù)值小于零時，該次抽樣即可中間停止。那些與負的功能函數(shù)值對應(yīng)的可能失效機構(gòu)，即為實際破壞機構(gòu)。

（2）重復(fù)步驟1的計算，設(shè)進行過n次抽樣，并記錄實際失效的樣本數(shù)m。

（3）把實際失效機構(gòu)樣本數(shù)m除以總樣本數(shù)n，即得結(jié)構(gòu)體系的失效概率 。 （17）

（4）為了減少樣本數(shù)不足引起的誤差，蒙特卡羅法的樣本數(shù)n必須大于引起一次 所需要的平均樣本數(shù)的100倍，即

（18）

5.算例

求解如圖a所示門式剛架的可靠度。設(shè)已知各隨機變量及統(tǒng)計量如下：

彎曲抗力M1=（498，74.7）kN。m

彎曲抗力M2=（664，99.5）kN。m

荷 載P1=（454，45.4）kN

荷 載P2=（227，68）kN

L1=4.58m，L2=7.1m，

在同一桿中所有截面的抗力滿足完全相關(guān)的條件下，本剛架可能出現(xiàn)的塑性鉸如圖b所示，一共有7個，由于剛架有3個多余約束，因此，基本機構(gòu)數(shù)為7-3=4。而可能機構(gòu)總數(shù)有24-1=15。通過各方的比較分析之后，得出如圖c所示6種主要失效模式。模式①的塑性鉸為1，4，6，7；模式②的塑性鉸為1，2，6，7；模式③的塑性鉸為1，4，5，7；模式④的塑性鉸為3，4，5；模式⑤的塑性鉸為1，3，5，7；模式⑥的塑性鉸為2，4，6。我們可以把上述剛架結(jié)構(gòu)看成是串-并聯(lián)系統(tǒng)，如圖d所示。

在列出的各機構(gòu)的功能函數(shù)、算出對應(yīng)的可靠指標(biāo)和失效概率之后，依可靠指標(biāo)的大小反向排列于表1中

用式（7）算得各機構(gòu)功能函數(shù)間的相關(guān)系數(shù)見表2中

下面就不同的結(jié)構(gòu)體系可靠度計算方法計算本剛架的可靠度

（1）用PNET法求解。取 。由表2選出代表機構(gòu)為1和4。先采用式（15）求得剛架的失效概率為

其次采用式（16）求解，得

結(jié)果說明當(dāng) 較小時，式（15）近似等于式（16）。由于用式（16）計算起來比較方便，因而當(dāng) 較小時，都采用式（16）求解。

（2）用一般界限范圍法求解。由式（9）得界限范圍為

顯然，這個范圍太寬了，難以使用。

（3）用窄界限法求解，用式（10）求得本剛架的窄界限范圍為

（4）用蒙特卡羅法求解。對隨機變量選擇20000的大樣本進行蒙特卡羅法計算，求得802個負的功效函數(shù)值，結(jié)果由式（17）得剛架失效概率 為：

比較以上結(jié)果可以看出：PNET法結(jié)果與蒙特卡羅法結(jié)果相當(dāng)接近；兩個界限范圍值中，一般界限范圍太寬，不實用，窄界限范圍值較窄，一般可以應(yīng)用。

6.結(jié)論

通過對一榀門式剛架進行可靠度分析，分別從結(jié)構(gòu)的失效模式、極限狀態(tài)方程（功能函數(shù)）、功能函數(shù)的相關(guān)性、可靠指標(biāo)（失效概率）求法等方面進行了論述。發(fā)現(xiàn)采用結(jié)構(gòu)體系的失效模式來分析結(jié)構(gòu)的可靠度， 更接近于工程實際， 能夠更好的發(fā)揮材料的整體性能。

參考文獻

[1] 劉天云、趙國藩.一種識別結(jié)構(gòu)主要失效模式的有效算法[J].大連理工大學(xué)學(xué)報，1998.

[2] 蔡迎建、孫煥純.結(jié)構(gòu)失效模式的快速識別方法[J].大連理工大學(xué)學(xué)報，1999.

[3] 趙國藩、金偉良、貢金鑫.結(jié)構(gòu)可靠度理論[M].北京：中國建筑工業(yè)出版社，2000.

[4] 吳世偉.結(jié)構(gòu)可靠度分析[M].北京：人民交通出版社，1990.

[5] 許成祥、何培玲.荷載與結(jié)構(gòu)設(shè)計方法[M].北京：北京大學(xué)出版社，2006.

[6] 錢保國、姜晨光.剛架結(jié)構(gòu)體系可靠度的一般算法[J].交通科技，2006.

[7] 黃剛、劉幸.剛架結(jié)構(gòu)體系可靠度分析與優(yōu)化方法[J].武漢大學(xué)學(xué)報，2004.

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【文章編號】1627-6868（2014）05-0007-05

【作者簡介】郭海龍（1964- ），男，江蘇人，碩士研究生，工程師；主要從事路橋施工、檢測與技術(shù)工作。

式中 為共同事件 的概率，當(dāng)所有隨機變量都是正態(tài)分布且相關(guān)系數(shù) 時，借助于機構(gòu)i、j的可靠指標(biāo) 和 ，由式

（11）

確定，式中：

（12）

（13）

具體計算時，可先求出 代替（11）左邊的 ，再求出 代替（11）右邊的 ，以近似地獲得體系的失效概率 的界限范圍。

4.3 PNET法

PNET法也就是概率網(wǎng)絡(luò)估算技術(shù)，PNET法的基本原理是認為所有主要的機構(gòu)可以用其中的m個所謂代表機構(gòu)來代替。這些代表機構(gòu)是由所有主要機構(gòu)通過下述原則選擇出來的，即把主要機構(gòu)分為幾個組， 在同一組中各機構(gòu)與一代表機構(gòu)高級相關(guān)，這個代表機構(gòu)就是改組所有機構(gòu)中失效概率最高的機構(gòu)。從相關(guān)條件知，它可以代表改組所有機構(gòu)的失效概率。在計算時，假定不同組間的代表機構(gòu)是統(tǒng)計獨立的，根據(jù)上述原則，設(shè)m個代表機構(gòu)中，第i個機構(gòu)的破壞概率為，則結(jié)構(gòu)體系的可靠度為

（14）

對應(yīng)的失效概率為

（15）

當(dāng)很小時，上式可近似地寫成

（16）

PNET法計算剛架結(jié)構(gòu)體系可靠度的主要步驟如下：

（1）列出主要失效機構(gòu)及相應(yīng)的功能函數(shù) ，然后用一次二階矩法求各可靠指標(biāo) 。把 由小到大進行排列，并將所得序號作為機構(gòu)排列次序的依據(jù)。

（2）選擇定限相關(guān)系數(shù) 值以作為判別各機構(gòu)間的相關(guān)程度的依據(jù)。

（3）尋找m個代表機構(gòu)。取1號機構(gòu)（與最小可靠指標(biāo)對應(yīng)）作為第一代表機構(gòu)，然后用式（7）計算它與其余機構(gòu)的相關(guān)系數(shù) 。如果 ，則認為第i機構(gòu)與1號機構(gòu)高級相關(guān)，因而可為1號機構(gòu)所代替；如果 則認為第i機構(gòu)與1號機構(gòu)低級相關(guān)，不能互相代替。再從剩下的機構(gòu)中找出可靠指標(biāo)最小者作為第二個代表機構(gòu)，并找出它所代替的機構(gòu)。重復(fù)以上步驟，直到完成最后一個機構(gòu)為止。

（4）最后，用式（14）、（15）計算結(jié)構(gòu)體系的可靠度或失效概率。

4.4蒙特卡羅法

當(dāng)所求結(jié)構(gòu)體系的所有可能機構(gòu)已被識別之后，蒙特卡羅法求其可靠度的步驟如下：

（1）對于結(jié)構(gòu)體系中每一隨機變量的分布，利用隨機數(shù)產(chǎn)生器或隨機數(shù)表產(chǎn)生一隨機數(shù)。用這些隨機數(shù)產(chǎn)生結(jié)構(gòu)體系中的荷載效應(yīng)與抗力值，從而就所有的可能機構(gòu)計算器功能函數(shù) 值。在m個功能函數(shù)中，每次抽樣一般來說都是從第一

個進行到第m個，但當(dāng)出現(xiàn)函數(shù)值小于零時，該次抽樣即可中間停止。那些與負的功能函數(shù)值對應(yīng)的可能失效機構(gòu)，即為實際破壞機構(gòu)。

（2）重復(fù)步驟1的計算，設(shè)進行過n次抽樣，并記錄實際失效的樣本數(shù)m。

（3）把實際失效機構(gòu)樣本數(shù)m除以總樣本數(shù)n，即得結(jié)構(gòu)體系的失效概率 。 （17）

（4）為了減少樣本數(shù)不足引起的誤差，蒙特卡羅法的樣本數(shù)n必須大于引起一次 所需要的平均樣本數(shù)的100倍，即

（18）

5.算例

求解如圖a所示門式剛架的可靠度。設(shè)已知各隨機變量及統(tǒng)計量如下：

彎曲抗力M1=（498，74.7）kN。m

彎曲抗力M2=（664，99.5）kN。m

荷 載P1=（454，45.4）kN

荷 載P2=（227，68）kN

L1=4.58m，L2=7.1m，

在同一桿中所有截面的抗力滿足完全相關(guān)的條件下，本剛架可能出現(xiàn)的塑性鉸如圖b所示，一共有7個，由于剛架有3個多余約束，因此，基本機構(gòu)數(shù)為7-3=4。而可能機構(gòu)總數(shù)有24-1=15。通過各方的比較分析之后，得出如圖c所示6種主要失效模式。模式①的塑性鉸為1，4，6，7；模式②的塑性鉸為1，2，6，7；模式③的塑性鉸為1，4，5，7；模式④的塑性鉸為3，4，5；模式⑤的塑性鉸為1，3，5，7；模式⑥的塑性鉸為2，4，6。我們可以把上述剛架結(jié)構(gòu)看成是串-并聯(lián)系統(tǒng)，如圖d所示。

在列出的各機構(gòu)的功能函數(shù)、算出對應(yīng)的可靠指標(biāo)和失效概率之后，依可靠指標(biāo)的大小反向排列于表1中

用式（7）算得各機構(gòu)功能函數(shù)間的相關(guān)系數(shù)見表2中

下面就不同的結(jié)構(gòu)體系可靠度計算方法計算本剛架的可靠度

（1）用PNET法求解。取 。由表2選出代表機構(gòu)為1和4。先采用式（15）求得剛架的失效概率為

其次采用式（16）求解，得

結(jié)果說明當(dāng) 較小時，式（15）近似等于式（16）。由于用式（16）計算起來比較方便，因而當(dāng) 較小時，都采用式（16）求解。

（2）用一般界限范圍法求解。由式（9）得界限范圍為

顯然，這個范圍太寬了，難以使用。

（3）用窄界限法求解，用式（10）求得本剛架的窄界限范圍為

（4）用蒙特卡羅法求解。對隨機變量選擇20000的大樣本進行蒙特卡羅法計算，求得802個負的功效函數(shù)值，結(jié)果由式（17）得剛架失效概率 為：

比較以上結(jié)果可以看出：PNET法結(jié)果與蒙特卡羅法結(jié)果相當(dāng)接近；兩個界限范圍值中，一般界限范圍太寬，不實用，窄界限范圍值較窄，一般可以應(yīng)用。

6.結(jié)論

通過對一榀門式剛架進行可靠度分析，分別從結(jié)構(gòu)的失效模式、極限狀態(tài)方程（功能函數(shù)）、功能函數(shù)的相關(guān)性、可靠指標(biāo)（失效概率）求法等方面進行了論述。發(fā)現(xiàn)采用結(jié)構(gòu)體系的失效模式來分析結(jié)構(gòu)的可靠度， 更接近于工程實際， 能夠更好的發(fā)揮材料的整體性能。

參考文獻

[1] 劉天云、趙國藩.一種識別結(jié)構(gòu)主要失效模式的有效算法[J].大連理工大學(xué)學(xué)報，1998.

[2] 蔡迎建、孫煥純.結(jié)構(gòu)失效模式的快速識別方法[J].大連理工大學(xué)學(xué)報，1999.

[3] 趙國藩、金偉良、貢金鑫.結(jié)構(gòu)可靠度理論[M].北京：中國建筑工業(yè)出版社，2000.

[4] 吳世偉.結(jié)構(gòu)可靠度分析[M].北京：人民交通出版社，1990.

[5] 許成祥、何培玲.荷載與結(jié)構(gòu)設(shè)計方法[M].北京：北京大學(xué)出版社，2006.

[6] 錢保國、姜晨光.剛架結(jié)構(gòu)體系可靠度的一般算法[J].交通科技，2006.

[7] 黃剛、劉幸.剛架結(jié)構(gòu)體系可靠度分析與優(yōu)化方法[J].武漢大學(xué)學(xué)報，2004.

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【文章編號】1627-6868（2014）05-0007-05

【作者簡介】郭海龍（1964- ），男，江蘇人，碩士研究生，工程師；主要從事路橋施工、檢測與技術(shù)工作。