股票價格遵循Ornstein－Uhlenbeck過程的復合期權定價

楊淑彩，薛 紅，薛應珍

（1.西安工程大學 理學院，陜西 西安710048；2.西安外事學院 商學院，陜西 西安710077）

期權定價問題是金融數學中的核心問題之一.1973年Black和Scholes［1］假定股票價格遵循幾何布朗運動，股票利率和波動率為常數的情況下獲得Black－Scholes公式，是金融界關于期權定價的里程碑.然而假設股票價格服從幾何布朗運動并假設期望收益率為常數，則意味著隨著時間的變化，股票價格收益率將只朝同一方向變化.實踐表明，股票的期望收益率是不可能隨時間朝一個方向（上升或者下降）變化的，而是波動變化的，其波動與時間和股票價格有關，解決這個問題可以考慮使股票價格過程服從O－U過程.

傳統的期權定價方法有解偏微分方程法［2－6］、離散模型逼近法［7］、鞅方法［8］3種.這些方法通常假設金融市場是無套利均衡的完全市場，如果市場是有套利的或不完全的市場，這時等價鞅測度不存在或存在而不唯一，用傳統的期權方法定價就有一定的困難.Bladt和Rydberg［9］提出了保險精算方法，這與傳統期權定價方法有著本質不同：保險精算方法將股票價格按照期望收益率貼現到現在時刻由此得到期權的定價.閆海峰、劉三陽研究了股票價格遵循O－U過程的歐式期權定價［10］；畢學慧、杜雪樵在利率確定和股票價格遵循幾何布朗運動模型的情形下，利用保險精算方法給出了復合期權定價公式［11］.

復合期權是一類期權的期權，復合期權給予持有人這樣的權利：他可以在若干天以后（即t＝T1時刻）以價格＾K購買（出售）在日后t＝T2（T2＞T1）時刻到期且執行價格為K的看漲（看跌）期權.復合期權有看漲期權的看漲期權、看漲期權的看跌期權、看跌期權的看漲期權、看跌期權的看跌期權4種類型.

本文假設股票價格遵循指數O－U過程，無風險利率為常數的情況下，用保險精算方法推導出到期日T1的看漲期權的定價公式，其他3種復合期權定價公式可以類似地得到.

1 數學模型

連續時間金融市場只有兩種資產，一種是無風險資產（如債券），在t時刻的價格P（t）滿足dP（t）＝P（t）r（t）dt，P（0）＝1，其中r（t）為t時刻的無風險利率并假設r（t）是［0，T］上的實值可積函數；另一種是風險資產（如股票），且價格滿足如下隨機微分方程

其中，｛B（t）：t≥0｝是定義在完備概率空間（Ω，F，P）上的標準Brown運動；μ，α，σ為常數，并且α＞0，σ＞0，常數α的作用在于股票價格上升到一定高度后，它使S（t）有下降的趨勢.與Black－Scholes模型相比較，模型（1）相當于考慮預期收益率依賴于股票價格的Black－Scholes模型.顯然當α→0＋模型（1）即為Black－Scholes模型.

2 復合期權的保險精算定價

定義1 隨機過程｛S（t）：t≥0｝在［0，T］區間產生的期望收益率被定義為

在此定義中，不要求過程｛S（t）｝的具體形式，E是S（T）在實際概率分布下的數學期望.用V（S（T1），T1）表示原生期權在T1時刻的價格，Vco（S，0）表示現在時刻此復合期權的保險精算價格.

定義2 當期權被執行時，到期日股票價格的折現值與執行價格K的折現值的差在股票價格實際分布的概率測度下的數學期望值與無風險資產＾K 在T1時刻的折現值在股票價格實際分布的概率測度下的數學期權值的差，即為復合期權的保險精算價值，定義為

其中，r為無風險利率，IA是集合A的特征函數.

定義2中，沒有對金融市場和價格過程作任何限制，計算復合期權價格時，只利用了價格過程在T1，T2時刻的實際概率分布和公平保費原理，克服了鞅方法定價中尋找等價鞅測度的困難，所以保險精算定價對非均衡、不完備金融市場也適用.

復合期權保險精算定價與傳統無套利定價的區別在于：在保險精算定價中，原生期權的買權執行條件為而不是S（T2）＞K；復合期權的買權執行條件是而不是

引理1［10］如果股票價格S（t）滿足方程（1），則

引理2［10］設股票價格滿足方程（1），則原生期權的價格為

引理3 假定股票價格滿足方程（1），則歐式看漲期權的價格函數V（S（T1），T1）關于S（T1）是單調遞增的.

證明根據引理2的結果，有

引理得證.

引理4［11］（B（T1），B（T2））的聯合分布的密度函數fT1T2（x，y）為

定理1 設股票價格滿足方程（1），則

證明由引理1

可得

由引理3知，對應歐式看漲期權的價格函數V（S（T1），T1）關于S（T1）是單調遞增的，所以存在唯一的S＊為下面方程根

或等價于

即ξ＞x0，這里ξ～N（0，m1）.

即η＞y0，這里η～ N（0，m2）.

同理有

證畢.

注：（1）當α→0＋時，可得文獻［11］的結果.

（2）期權價格與μ無關，即歐式復合期權值與股票預期收益率的線性漂移項無關.

［1］BLACK F，SCHOLES M.The pricing of options and corporate［J］.Journal of Political Economy，1973，81（3）：637－654.

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［3］KALLSEN J.Optimal portfolios for exponential Levy processes［J］.Mathematical Methods of Operations Research，2000，51（3）：357－374.

［4］孫玉東，師義民，譚偉.帶跳混合分數布朗運動下利差期權定價［J］.系統科學與數學，2012，32（11）：1377－1385.

［5］薛紅，孫玉東.分數跳－擴散過程下亞式期權定價模型［J］.工程數學學報，2010，27（6）：1009－1014.

［6］PRIGENT Jean－Luc.Option pricing with a general marked point process［J］.Mathematical Methods of Operations Research，2001，26（1）：50－66.

［7］COX J C，ROSS S A，RUBINSTEIN M.Option pricing：A simplified approach［J］.Journal of Economics，1979，7（3）：229－263.

［8］王獻東，杜雪樵.跳擴散模型下的復合期權定價［J］.數學的實踐與認識，2009，39（14）：6－11.

［9］BLADT M T，RYDBERG H.An actuarial approach to option pricing under the physical measure and without market assumptions［J］.Insurance：Mathematics and Economics，1998，22（1）：65－73.

［10］閆海峰，劉三陽.股票價格遵循 Ornstein－Uhlenback過程的期權定價［J］.系統工程學報，2003，18（6）：547－551.

［11］畢學慧，杜雪樵.復合期權的保險精算定價［J］.合肥工業大學學報，2008，31（8）：1343－1346.