對不規范道路線形參數的取值分析

繆宏兵，楊耀宗

(重慶交通大學 土木建筑學院，重慶 400074)

對不規范道路線形參數的取值分析

繆宏兵，楊耀宗

(重慶交通大學 土木建筑學院，重慶 400074)

結合現有不規則道路運營現狀及舊路改建的趨勢化，提出將舊路改建問題數學化。綜合運用擬合逼近原理，建立舊路改造路線的數學模型。通過對數學模型的不斷優化，得到目標線形函數，結合數值計算軟件MATLAB程序，對實例模型進行試算，獲得較理想的線形參數。結果表明：路線問題數學化得到的擬合參數較合理可靠，可作為相關設計的參考。

改建道路;平面線形;數學模型;曲線擬合;優化

改革開放以來，我國公路建設發展迅猛，技術標準也逐漸提高。然而，據不完全統計,到目前為止尚有過半不規則低等級道路在服役中，這些低等級公路已難以適應社會發展的需要，因此道路改造任務十分繁重。較之于新路的修建，在道路改造中一般考慮如何最大限度的利用原有道路[1]，減少工程量，以達到最佳的經濟效益，同時又要使公路的線形符合設計標準，達到提高等級的目的，這就涉及到線形參數取值問題。

1 建模分析

1.1 問題轉化

如圖1，設在點O處測定的坐標為O(x″,y″)，根據設計公路的等級要求設定常數D為不同的值，根據下列公式，求得測定的坐標點數：

(1)

則求得測定各點的坐標為p(x″,y″)(i=0,1…N)。

根據上述描述，可以先利用原路線的形狀初步確定交點的位置，比較清楚的描述直線段的位置。現在的主要任務是確定緩和曲線—圓曲線—緩和曲線的軌跡, 確保曲線與曲線相切。為了不失一般性，取一段曲線OS對其進行分析。要求緩和曲線兩端分別與直線和圓相切，取其中一個切點為坐標原點建立右手直角坐標系，則切點分別為O、P、Q、S(見圖1)，兩條直線夾角為α，交點為R(d,0)，其中：T(x0,y0)、S(a,b)、P(x1,y1)、Q(x2,y2)，可認為α已知，需要建立數學模型，求解T、S、P、Q點坐標。

圖1 曲線的組成Fig.1 Curve construction

根據路線規范，直線段與緩和曲線、緩和曲線與圓曲線、圓曲線與緩和曲線、緩和曲線之間都是相切的[2]，這樣，圖1中的整個曲線可以利用分段函數來表示：

(2)

式中：g1(x)為圖1中左邊分別與直線段、圓曲線段相切的緩和曲線，g2(x)為圖1中分別與兩邊的緩和曲線相切的圓曲線，g3(x)為分別與圓曲線和緩和曲線相切的緩和曲線。

1.2 模型的假設

(1)原線路的路面視為均質等寬;

(2)道路的改造只與利用度有關，其他因素概不考慮;

(3)為方便，將舊路簡化為二維，不考慮地面豎向斜坡的角度對線路優化的影響。

1.3 舊路路線的確定

對于現代道路平面線形，考慮到一般性，選擇直線、圓曲線、緩和曲線作為基本型[3]。在公路的改造定線過程中，當工程量增加不大而又能顯著提高技術指標時，應以改建為主；當提高技術指標有限又會顯著增加工程量時,應以利用為主[4]。一般可利用原路線形直線段，并初步定出交點的位置。

初步確定交點時主要考慮交點的密度、舊路直線段的選取和綜合。帶狀圖大致確定路線方案，初步確定路線交點。確定的方法是分析舊路可以利用的直線路段，根據直線路段確定交點導線各邊的基本位置。可以通過自作程序輸入各交點的坐標，直接求出導線邊長和偏角。確定交點需要注意：第一、交點的間距應當大于兩端最短切線的長度；第二、交點處的舊路線形狀應當便于配合一個某種規則的曲線。在交點確定的基礎上，一個交點的曲線可以使用以下算法生成。

1.4 路線的分析

1.4.1 對樣條函數g1(x)分析[5]

緩和曲線主要有回旋線、二次拋物線及雙紐線。我國標準規定緩和曲線采用回旋線，回旋線的基本公式為：

(3)

式中：r為回旋線上某點的曲率半徑；l為回旋線上某點到原點的曲線長；A為回旋線的參數。在回旋線上任一點P取微分單元，則有：

(4)

通過微積分轉化有：

(5)

1.4.2 對樣條函數g2(x)分析

由圖1可知，圓心坐標為T(x0,y0)、半徑為R。則圓的方程為：

(6)

又由于圓曲線是圓的一部分，故有：

(7)

1.4.3 對樣條函數g3(x)分析

從圖2分析知，由g1(x)到g3(x)相當于將回旋線旋轉α角，再做y軸對稱曲線另外，平移到S(a,b)。由解析幾何知識可知：

圖2 緩和曲線Fig.2 Transition curve

(8)

1.4.4 確定模型中l1、l2取值范圍

對于上述的樣本函數，只要確定變量C1、R、C2的大小，那么樣本函數就可確定。又因上述一些函數是無窮級數，在后面建立的模型中很難求解，故有作進一步簡化的必要。

對上述參數方程的分析可知，g1(x)函數均是交錯冪級數，而且相鄰的兩項相近，故冪級數可用多項式近似表示為[4]：

(9)

又由于樣本函數g3(x)由g1(x)推導得到的，故其冪級數也可用多項式近似表示為：

(10)

在線路確定時，首先確定轉角α，故轉角α已知。另外，根據本模型的思路，先對C1、R、C2賦不同的值，比較目標函數的大小，則C1、R、C2可以認為是已知的。

(11)

由圖1分析知，切點P(x1,y1)在圓曲線上，故有：

(12)

同時P點也在緩和曲線上，故有：

(13)

聯立(2)、(3)求得：

(14)

同理：

(15)

顯然，通過切點求得各變量的關系。

另有，直線PT與切線垂直，故有：

(16)

由上述求得x0代入上式，即可求得y0值。

由圖2幾何關系分析知：

(17)

(18)

由于x0、y0、γ1、γ2均已求出，故在上兩式中只有a、b為變量，聯立(17)、(18)求得：

(19)

將(19)式代入(17)式即可求得b值。

1.5 線形優化

在問題分析中，已經比較清楚地討論了實現最佳經濟效益的途徑，即改造后的路線盡可能地與原線形重合，這樣可以表示為，在使用設計線路的里程系統條件下，樣本函數與舊路離差的平方和為最小。即

其中公路設計中的一般規定有：Ci∈[100,

50 000],i=1,2.R∈[100,1 000]

2 實例分析

上述模型，思路清晰、方法簡潔，但從模型的目標函數來看，求解比較麻煩，只能借助數學軟件MATLAB編制程序來求解。

已知某鄉村道路，交點坐標為(98 723，98 237)，左邊、后邊的方位角分別為80°、30°。設改道路為一條不規則曲線，由以下離散點定義見表1。

表1 原道路中線離散點坐標

假設C1和C2的起算值均取400 m2，步長為5 m；R起算值為100 m，步長為10 m。經過編程計算，求得的優化結果為：C1=45 079.78 m2,C2=23 158.75 m2,R=180.24 m。

3 結論

將不規則線形道路改建問題轉為數學模型，運用先進的數學方法及計算機技術進行求解，得到相關結論：(1)數學模型中對緩和函數作了一些近似處理，故省略了后面的多項式，得到的結果有一定的誤差；(2)該數學模型經實例論證是可行的，只是模型略復雜，若綜合利用程序求解，可得較合理的擬合參數，因而可作為相關設計的參考。

[1] 楊進，孫劍峰.改建公路平面線形設計[J].湖南交通科技，2002，28(3)：15-16.

[2] 中交第一公路勘察設計研究院.JTG D20-2006，公路路線設計規范[S].北京：人民交通出版社，2006.

[3] 周廣奇.改擴建道路線形擬合設計[D].西安：長安大學，2011.

[4] 劉成志，張步才.基于既有道路改建路線測設和曲線擬合方法的探討[J].西南公路，2006(4)：24-25.

[5] 李乃成.數值分析[M].北京:科學出版社，2011.

(責任編輯：張英健)

Analysis on Irregular Road Alignment Parameter Value

MIAO Hongbing，YANG Yaozong

(School of Civil Engineering & Architecrure，Chongqing Jiaotong University，Chongqing 400074,China)

Combined with the existing road reconstruction operation status of irregular and old road the trend, the problems of the old road reconstruction of mathematics are presented. According to fitting approximation principle, a mathematical model of the old road is set up. Through continuous optimization of the mathematical model, a linear function of target is obtained, and numerical calculation software MATLAB program, for example by trial model, obtains the linear parameter ideal. The results show that the fitting parameters route mathematic problem obtained is reasonable and reliable and can be used as a design reference.

road reconstruction; plane geometry; mathematical model; curve fitting; optimization

2014-05-02

繆宏兵(1990-),男，江蘇如東人，碩士生，主要研究方向為路橋設計。

U412.3

A

1671-5322(2014)04-0065-05