巧用平方差公式

李付紅

在與學生共同學習的過程中發現，平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2不僅在學習整式的乘法時用，而且在以后的學習中也可用來巧解題目.

利用平方差公式解決問題時，首先要掌握公式的結構特點.

平方差公式：

左邊：兩個二項式的積，在這兩個二項式中有一項（如a）完全相同，另一項（如b）互為相反；

右邊：完全相同項的平方減去符號相反項的平方.

一、掌握平方差公式的結構特點，你就能輕松應對這幾種基礎變形

①位置變化

例1 計算（-2x+3）（3+2x）

分析：兩個因式中完全相同的項是3，互為相反的項是2x，所以可以使用平方差公式.

解：（-2x+3）（3+2x）=（3）2-（2x）2=9-4x2.

②符號變化

例2 計算（-4x-3y）（4x-3y）.

分析：兩個因式中完全相同的項是-3y， 互為相反的項是4x，所以可以使用平方差公式.

解：（-4x-3y）（4x-3y）=（-3y）2-（4x）2=9y2-16x2.

③系數變化

例3 計算（3x+9y）（x-3y）.

分析：觀察式子的特點，將（3x+9y）的提取系數3后，得3（x+3y），可以利用平方差公式進行計算.

解：（3x+9y）（x-3y）=3（x+3y）（x-3y）=3（x2-9y2）=3x2-27y2.

④指數變化

例4 計算（a5-b2）（a5+b2）

分析：兩個因式中完全相同的項是a5， 互為相反的項是b2，所以可以使用平方差公式.

解：（a5-b2）（a5+b2）=（a5）2-（b2）2=a10-b4

如果再用你的慧眼，仔細觀察，你會發現平方差公式還可以巧解難題.

二、巧妙分組

例5 計算（a-b+c-d）（a+b-c-d）.

分析：兩個因式中的a、d前邊的符號分別相同，而b、c前邊的符號相反，所以可進行適當的分組，使之使用平方差公式解決.

解：（a-b+c-d）（a+b-c-d）

=[（a-d）-（b-c）][（a-d）+（b-c）]

=（a-d）2-（b-c）2

=a2+d2-b2-c2-2ad+2cb.

三、巧添因式

例6 計算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）

分析：此題感覺用平方差公式，卻無處下手，好像缺點什么，就缺個差（2-1），把它作為因式添上，就能使用平方差公式解決.

解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）

=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）

=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）

=（24-1）（24+1）（28+1）（216+1）

=（28-1）（28+1）（216+1）

=（216-1）（216+1）

=232-1

四、巧改順序

例7 計算（2a+b）2（2a-b）2

分析：按照運算順序，先算乘方再算乘法；如果利用積的乘方，可使用平方差公式.

解：（2a+b）2（2a-b）2

=[（2a+b）（2a-b）]2

=[4a2-b2]2

=16a4-8a2b2+b4

五、巧妙逆用

例8 已知x-y=2x2-y2=4，求代數式x2+y2的值

解：∵x2-y2=（x-y）（x+y）且x-y=2x2-y2=4

∴x+y=（x2-y2）÷（x-y）==2

由x-y=2

x+y=2

得x=2

y=0

∴x2+y2=4

六、分母有理化

例9 化簡

分析：要將分母化為有理數，必須出現（）2、（）2，并且沒有第三項. 符合這種要求的就是平方差公式.

解：

=

=

=

=+

當然，只要我們有心，在以后的教與學過程中還會有很多新穎的發現. 讓我們互相交流，共同提高水平.