模態分析在平面二次包絡蝸桿設計中的應用

摘 要 應用動力學有限元理論，采用有限元分析軟件Workbench對平面二次包絡蝸桿進行模態分析。針對某絞車傳動系統的工況求解六種臨界狀態下的系統頻率和主振型，將模態分析結果與計算得到的嚙合頻率進行對比分析，分析系統運行時能否發生共振。

關鍵詞 環面蝸桿；模態分析；嚙合頻率；共振

中圖分類號：TH113.1 文獻標識碼：A 文章編號：1671-7597（2014）08-0058-02

本文所研究的蝸桿不同于阿基米德蝸桿，為平面二次包絡環面蝸桿，用于某慢速絞車的傳動系統中。蝸桿傳動副在工作時，在內部和外部激勵下將發生機械振動。在設計過程中對蝸桿進行模態分析，可以使設計者掌握蝸桿的振動特性，通過對固有頻率的分析，可以有效地避開或最大限度的減少振動和噪聲，從而增加設計的合理性和有效性。

1 平面二次包絡蝸桿的固有振動分析

在煤礦，人員及物料的提升和運輸絞車的調度、中大型綜采設備的安裝、拆卸及搬遷、各種重物及設備的牽引等場合均離不開礦用絞車[1]。

本文的環面蝸桿是JMB—200型慢速礦山絞車傳動系統的一個零件。JMB—200型慢速絞車采用三級傳動，第二級為平面二次包絡環面蝸輪蝸桿傳動。這種蝸桿副齒面嚙合時呈雙線接觸，接觸點的法向速度大，綜合曲率半徑大，接觸應力小，易形成油膜，具有承載能力大、效率高、使用壽命長等優點。

因為齒側間隙的存在、輪齒受彈性變形和熱變形及加工誤差等影響，使環面蝸桿副在嚙合過程中嚙入嚙出時嚙合點偏離理論嚙合線，蝸桿和蝸輪會產生偏差和突變。蝸桿副的固有頻率一般是指蝸桿軸振動的固有頻率。固有頻率可由下式近似

計算：

式中：k為蝸桿的剛度系數；m為等效質量，其大小可以查閱相關的手冊或者根據經驗而定。

2 平面二次包絡蝸桿的模態分析關鍵問題

對環面蝸桿進行模態分析的前提是建立其三維模型，并且是符合實際的準確的三維模型。環面蝸桿建模方法比較多，有的用VBA語言編輯環面蝸桿螺旋線的應用程序，并在MDT6.0三維繪圖軟件環境中完成模型的建立；有的利用UG軟交互式圖形編輯和Matlab建模；有的在Pro/E軟件中，利用笛卡爾坐標系輸入參數方程，生成三條螺旋線，利用邊界混合建立曲面生成模型。本文的模型參照由王凱、李炳文、朱學凱和任銳撰寫的《基于PRO/E的環面蝸桿實體仿真》論文中講述的建模方法建立。

為了更接近于實際加工，建模時通切削的方法在蝸桿毛坯上切出蝸桿的外形。在CAD軟件中畫出蝸桿的外形輪廓以.dxf的形式保存，并導入Pro/E中生成蝸桿毛坯。

蝸桿頭數z1=1，蝸輪齒數z2=45，中心距a=315 mm，蝸輪分度圓直徑，蝸桿分度圓直徑，蝸輪端面模數，蝸桿喉部螺旋導程角，分度圓齒形角，蝸輪寬度，蝸桿工作部分長度，齒距角τ=8°。根據公式，列出平面二次包絡蝸桿在分度圓位置的軌跡方程：

t是整個方程的變量，從0到1，ω中8是彈簧螺旋環繞的圈數，本論文蝸桿包圍的齒數為5，為了使車刀切削蝸桿的軌跡完整，所選用的圈數應多于包圍蝸輪的齒數，故在Z軸上多加了一項。

本次建模主要應用的混合掃描工具，除指定起點和重點的截面后，還需要給每個360°周期分界處指定相應的截面。以先前建立的軌跡方程為掃描軌跡，依次以這幾個截面為掃描截面，兩端點截面是掃描的起點和終點，從而完成實體模型的建立。

蝸桿副傳動系統是一個三級傳動裝置，第一級和第三級為齒輪傳動。電動機裝在第一級傳動中小齒輪的軸端，動力由第一級齒輪傳給蝸桿，通過蝸輪再傳到第三級。在該傳動裝置中因為蝸桿和蝸輪的加工工藝比較復雜，材料也比較特殊，所以很有必要在實際生產和投入使用前對其進行受力分析和強度校核，以便與及早發現問題和解決問題。

3 蝸桿的模態分析過程

3.1 模態分析的可行性

有限元分析是解決設計問題的有效手段，應用有限元分析來輔助環面蝸桿的設計，可以大大提高設計的可靠性、經濟性和設計效率。模態分析屬于有限元分析的一個分支，它是用固有頻率和振型來確定零件的振動特性，屬于線性分析，可以對有預應力的結構和循環對稱結構進行分析。模態分析在動力學分析過程中是必不可少的一個環節，用于確定設計機構或機器部件的振動特性，同時也可以作為其他動力學分析問題的起點。

對蝸桿的模態進行動態特性分析，必須將其離散為具有若干節點和單元的多自由度系統，根據振動學和有限元理論，可得蝸桿的運動微分方程為[2]：

（1）

在無阻尼自由振動情況下，動力學基本方程中的阻尼力項和外加激勵項為零，故無阻尼自由振動的運動微分方程為

（2）

其對應的特征方程為

（3）

式中：—系統的固有頻率（特征頻率），1，2，3…；—系統特征向量（模型振型），1，2，3…。

此時的振動頻率一般存在個固有頻率和振型，每對固有頻率和振型代表一個單自由度系統的自由振動。

3.2 模態分析

本文蝸桿所選材料的屬性為：材料40Cr，泊松比PRXY=0.3，密度，彈性模量E=2.06×1011Pa。本文采用自由法對零件進行網格劃分，使用自有網格劃分的命令，可利用實體模型線段長度、曲率自動進行最佳網格化，所得有限元模型單元數為14453個，節點數為25880個。

根據減速器的需要在蝸桿的右側裝有齒輪，在螺旋面的兩側裝有滾動軸承，蝸桿在與蝸輪嚙合時會受到蝸輪的作用力。外界輸入的動力傳遞給軸，軸與齒輪通過鍵連接，從而使齒輪隨軸一起轉動。為了加載方便，齒輪在嚙合時，將嚙合線作用在齒面上的法向載荷在接觸線的力分解為兩個互相垂直的分力，即圓周力Ft2與徑向力Fr2。根據設計的數據計算，，對應在Workbench中加載到和方向，在蝸桿螺旋齒面上施加轉矩12726.67 。endprint

根據蝸桿的受力情況，在有限元分析中對其進行施加載荷和約束。在安裝軸承的位置，施加Cylindrical Support限制其三個方向的自由度，在安裝齒輪和蝸輪的位置分別對其施加載荷。根據施加的載荷與約束，利用有限元分析軟件Workbench強大的求解功能。在繪圖區域的下方出現Timeline圖形和TubularData表，給出了對應的模態頻率表，如表1所示。

表1 蝸輪的前六階固有頻率（Hz）

階數 1 2 3 4 5 6

頻率 1186 1186.5 2290.5 2291.7 2332.1 3034.1

在Timeline圖形上右擊，在彈出的快捷菜單中選擇Select All，選擇所有的模態，再次單擊，在彈出的快捷菜單中選擇Create Mode Shape Results，再次求解得到蝸桿的前6階模態的結果圖，如圖1所示。

由圖1和表1可知，各階模態振型的不同之處在于蝸桿的振動部位及幅度大小。一階振型、二階振型、五階振型和六階振型的振動部位均在蝸桿齒面部分，三階振型和四階振型的振動部位發生在軸端，安裝齒輪的部位，與實際分析吻合。

縱觀前六階振型圖可知：當蝸桿的工作頻率等于3034.1 Hz時，蝸桿將發生強烈的共振。在機械傳動中一旦發生共振，將會造成傳動系統的破壞，使得整個絞車無法使用。在本文的設計中，根據公式計算本論文所設計的平面二次包絡環面蝸桿的振動頻率為10.75 Hz，其振動頻率遠遠低于發生共振的頻率，所以該蝸桿不會發生共振。

4 結束語

本文的研究意義在于通過模態分析能預先得知發生共振的頻率及破壞狀況，為優化設計提供了有力的參考依據；從一定意義上消除了設計的隱患，提高了設計效率；模態分析為平面二次包絡蝸桿設計提供了一個輔助手段，正是有了這個分析技術，使得設計取得了成功。

參考文獻

[1]李炳文，王啟廣.礦山機械[M].徐州：中國礦業大學出版社，2007.

[2]陸爽，孫明禮，丁金福等.ANSYS Workbench 13.0有限元分析從入門到精通[M].機械工業出版社，2012.

[3]袁建暢，唐熊武，沈丹峰.基于ANSYS的阿基米德蝸桿模態分析[J].機械傳動，2010：62-65.

[4]葉友東.基于ANSYS的漸開線直齒圓柱齒輪有限元分析[J].煤礦機械，2004（6）：43-45.

[5]楊偉，馬星國，尤小梅.基于ANSYS的齒輪裝配體模態分析[J].沈陽理工大學學報，2008（8）：71-75.

作者簡介

吳建麗（1980-），女，漢族，江蘇南通人，講師，碩士，主要從事機械設計理論研究。endprint

根據蝸桿的受力情況，在有限元分析中對其進行施加載荷和約束。在安裝軸承的位置，施加Cylindrical Support限制其三個方向的自由度，在安裝齒輪和蝸輪的位置分別對其施加載荷。根據施加的載荷與約束，利用有限元分析軟件Workbench強大的求解功能。在繪圖區域的下方出現Timeline圖形和TubularData表，給出了對應的模態頻率表，如表1所示。

表1 蝸輪的前六階固有頻率（Hz）

階數 1 2 3 4 5 6

頻率 1186 1186.5 2290.5 2291.7 2332.1 3034.1

在Timeline圖形上右擊，在彈出的快捷菜單中選擇Select All，選擇所有的模態，再次單擊，在彈出的快捷菜單中選擇Create Mode Shape Results，再次求解得到蝸桿的前6階模態的結果圖，如圖1所示。

由圖1和表1可知，各階模態振型的不同之處在于蝸桿的振動部位及幅度大小。一階振型、二階振型、五階振型和六階振型的振動部位均在蝸桿齒面部分，三階振型和四階振型的振動部位發生在軸端，安裝齒輪的部位，與實際分析吻合。

縱觀前六階振型圖可知：當蝸桿的工作頻率等于3034.1 Hz時，蝸桿將發生強烈的共振。在機械傳動中一旦發生共振，將會造成傳動系統的破壞，使得整個絞車無法使用。在本文的設計中，根據公式計算本論文所設計的平面二次包絡環面蝸桿的振動頻率為10.75 Hz，其振動頻率遠遠低于發生共振的頻率，所以該蝸桿不會發生共振。

4 結束語

本文的研究意義在于通過模態分析能預先得知發生共振的頻率及破壞狀況，為優化設計提供了有力的參考依據；從一定意義上消除了設計的隱患，提高了設計效率；模態分析為平面二次包絡蝸桿設計提供了一個輔助手段，正是有了這個分析技術，使得設計取得了成功。

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[3]袁建暢，唐熊武，沈丹峰.基于ANSYS的阿基米德蝸桿模態分析[J].機械傳動，2010：62-65.

[4]葉友東.基于ANSYS的漸開線直齒圓柱齒輪有限元分析[J].煤礦機械，2004（6）：43-45.

[5]楊偉，馬星國，尤小梅.基于ANSYS的齒輪裝配體模態分析[J].沈陽理工大學學報，2008（8）：71-75.

作者簡介

吳建麗（1980-），女，漢族，江蘇南通人，講師，碩士，主要從事機械設計理論研究。endprint

根據蝸桿的受力情況，在有限元分析中對其進行施加載荷和約束。在安裝軸承的位置，施加Cylindrical Support限制其三個方向的自由度，在安裝齒輪和蝸輪的位置分別對其施加載荷。根據施加的載荷與約束，利用有限元分析軟件Workbench強大的求解功能。在繪圖區域的下方出現Timeline圖形和TubularData表，給出了對應的模態頻率表，如表1所示。

表1 蝸輪的前六階固有頻率（Hz）

階數 1 2 3 4 5 6

頻率 1186 1186.5 2290.5 2291.7 2332.1 3034.1

在Timeline圖形上右擊，在彈出的快捷菜單中選擇Select All，選擇所有的模態，再次單擊，在彈出的快捷菜單中選擇Create Mode Shape Results，再次求解得到蝸桿的前6階模態的結果圖，如圖1所示。

由圖1和表1可知，各階模態振型的不同之處在于蝸桿的振動部位及幅度大小。一階振型、二階振型、五階振型和六階振型的振動部位均在蝸桿齒面部分，三階振型和四階振型的振動部位發生在軸端，安裝齒輪的部位，與實際分析吻合。

縱觀前六階振型圖可知：當蝸桿的工作頻率等于3034.1 Hz時，蝸桿將發生強烈的共振。在機械傳動中一旦發生共振，將會造成傳動系統的破壞，使得整個絞車無法使用。在本文的設計中，根據公式計算本論文所設計的平面二次包絡環面蝸桿的振動頻率為10.75 Hz，其振動頻率遠遠低于發生共振的頻率，所以該蝸桿不會發生共振。

4 結束語

本文的研究意義在于通過模態分析能預先得知發生共振的頻率及破壞狀況，為優化設計提供了有力的參考依據；從一定意義上消除了設計的隱患，提高了設計效率；模態分析為平面二次包絡蝸桿設計提供了一個輔助手段，正是有了這個分析技術，使得設計取得了成功。

參考文獻

[1]李炳文，王啟廣.礦山機械[M].徐州：中國礦業大學出版社，2007.

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[4]葉友東.基于ANSYS的漸開線直齒圓柱齒輪有限元分析[J].煤礦機械，2004（6）：43-45.

[5]楊偉，馬星國，尤小梅.基于ANSYS的齒輪裝配體模態分析[J].沈陽理工大學學報，2008（8）：71-75.

作者簡介

吳建麗（1980-），女，漢族，江蘇南通人，講師，碩士，主要從事機械設計理論研究。endprint