一次函數常見錯解剖析

喻俊鵬

一次函數是初中數學中“數與代數”部分的重要內容，同學們在初學時，由于對其概念理解不透，忽視限制條件，分析考慮問題不全面，常常會出現各種各樣的錯誤。下面就同學們出現的一些常見錯解進行分類剖析。

一、概念理解不清出錯

例1已知下列函數：①y=2013x；②y-8x=13；③y=■-1；④y=3x2+7；

⑤y=-■x-5，其中y是關于x的一次函數的是（ ）。

A．①③④⑤ B．②③⑤

C．①②⑤ D．②⑤

錯解選擇“B”或“D”。

剖析形如y=kx+b（k≠0）的函數叫一次函數，其中k、b為常數，k≠0，但b可以為0，當b=0時，函數y=kx（k≠0）為正比例函數，它是一次函數的特殊情形，上述錯解中選擇“D”的同學就是忽略了這一點，而函數③、④根本就不符合一次函數的定義，選擇“B”的同學正是由于對一次函數的概念理解不清而出錯。

正解觀察上述各函數的表達式，對照一次函數的定義，可知正確的選擇應該是“C”。

二、忽視限制條件出錯

例2已知函數y=（m-3）x｜m｜-2-7是一次函數，則m=_________。

錯解由｜m｜-2=1，解得m=±3。所以所求m的值為m=3或m=-3。

剖析上述錯誤出在忽視了一次函數y=kx+b中要求k≠0這一限制條件，因為當m=3時，m-3=0，此時函數解析式為y=-7，它是平行于x軸的一條直線，其直線上任意點的縱坐標都為-7，是一個常數函數，而非一次函數。

正解由｜m｜-2=1，解得m=±3。當m=3時，m-3=0，故舍去，所以m=-3。

三、函數圖像與直線關系混淆出錯

例3 已知直線y=mx-5m+4不經過第四象限，則m的取值范圍是 ________。

錯解由題意可知，直線過一、二、三象限或一、三象限，

所以m＞0，-5m+4≥0。解得0＜m≤■。則m的取值范圍是0＜m≤■。

剖析一次函數的圖像是直線，但直線并不一定是一次函數。本題題設中的直線就沒有說明它一定是一次函數的圖像，因此，直線y=mx-5m+4，當m=0時，y=4，其圖像也不經過第四象限，所以m=0也符合題設條件。上述解法正是忽視了直線y=b（b＞0）的圖像不經過第四象限這一情況而導致出錯。

正解由題設可知，直線過一、二、三象限或一、三象限，

所以m≥0，-5m+4≥0。解得0≤m≤■。則所求m的取值范圍是0≤m≤■。

四、思考問題不全面出錯

例4已知一次函數y=kx+b，當-3≤x≤1時，對應的y的取值為1≤y≤9，則b2-k3的值等于________。

錯解由題意知，當x=-3時，y=1；當x=1時，y=9，

所以-3k+b=1，k+b=9。解得k=2，b=7。所以b2-k3=72-23=41。

剖析上面的解法只考慮了y隨x的增大而增大的情形，由于題設中并沒有告訴k的取值范圍，這說明k的值可為正也可為負，因此y也可隨x的增大而減小，上面的解法正是沒有全面考慮到這一點而導致出現漏解錯誤。

正解由上面的解法可求得k=2，b=7。所以b2-k3=72-23=41。

又因為當x=-3時，y=9；當x=1時，y=1。

所以-3k+b=9，k+b=1。解得k=-2，b=3。所以b2-k3=32-（-2）3=17。

所以b2-k3的值為41或17。

五、讀取圖像信息出錯

例5 甲、乙兩人在直線跑道上同起點、同終點、同方向勻速跑步500米，先到終點的人原地休息。已知甲先出發2秒，在跑步過程中，甲、乙兩人間的距離y（米）與乙出發的時間t（秒）之間的關系如圖1所示，有下列結論：

①a=8；②b=92；③c=123，其中正確的結論是（ ）。

■

A．①②③ B．①② C．①③ D．②③

錯解選擇“B”或“C”。

剖析觀察圖像，當t=100時，乙到達終點，誤認為此時b=500，是錯誤選擇“C”的原因所在，而錯誤計算甲到達終點的時間為c=500÷4=125，則是錯選“B”的主要原因。

正解由題意及讀取圖像信息可知，當t=100時，甲已出發2秒，跑了8米，所以甲的速度是4米／秒，當t=100時，乙到達終點，所以乙的速度是5米／秒，此時甲、乙兩人之間的距離為5×100-4×（100+2）=92（米），即b=92，故②正確；當t=a時，乙追上甲，所以5a=4a+8，解得a=8（秒），所以①正確；當t=c時，甲到達終點，所以c=500÷4-2=123（秒），因此③也正確，故正確答案應選擇“A”。

一次函數是初中數學中“數與代數”部分的重要內容，同學們在初學時，由于對其概念理解不透，忽視限制條件，分析考慮問題不全面，常常會出現各種各樣的錯誤。下面就同學們出現的一些常見錯解進行分類剖析。

一、概念理解不清出錯

例1已知下列函數：①y=2013x；②y-8x=13；③y=■-1；④y=3x2+7；

⑤y=-■x-5，其中y是關于x的一次函數的是（ ）。

A．①③④⑤ B．②③⑤

C．①②⑤ D．②⑤

錯解選擇“B”或“D”。

剖析形如y=kx+b（k≠0）的函數叫一次函數，其中k、b為常數，k≠0，但b可以為0，當b=0時，函數y=kx（k≠0）為正比例函數，它是一次函數的特殊情形，上述錯解中選擇“D”的同學就是忽略了這一點，而函數③、④根本就不符合一次函數的定義，選擇“B”的同學正是由于對一次函數的概念理解不清而出錯。

正解觀察上述各函數的表達式，對照一次函數的定義，可知正確的選擇應該是“C”。

二、忽視限制條件出錯

例2已知函數y=（m-3）x｜m｜-2-7是一次函數，則m=_________。

錯解由｜m｜-2=1，解得m=±3。所以所求m的值為m=3或m=-3。

剖析上述錯誤出在忽視了一次函數y=kx+b中要求k≠0這一限制條件，因為當m=3時，m-3=0，此時函數解析式為y=-7，它是平行于x軸的一條直線，其直線上任意點的縱坐標都為-7，是一個常數函數，而非一次函數。

正解由｜m｜-2=1，解得m=±3。當m=3時，m-3=0，故舍去，所以m=-3。

三、函數圖像與直線關系混淆出錯

例3 已知直線y=mx-5m+4不經過第四象限，則m的取值范圍是 ________。

錯解由題意可知，直線過一、二、三象限或一、三象限，

所以m＞0，-5m+4≥0。解得0＜m≤■。則m的取值范圍是0＜m≤■。

剖析一次函數的圖像是直線，但直線并不一定是一次函數。本題題設中的直線就沒有說明它一定是一次函數的圖像，因此，直線y=mx-5m+4，當m=0時，y=4，其圖像也不經過第四象限，所以m=0也符合題設條件。上述解法正是忽視了直線y=b（b＞0）的圖像不經過第四象限這一情況而導致出錯。

正解由題設可知，直線過一、二、三象限或一、三象限，

所以m≥0，-5m+4≥0。解得0≤m≤■。則所求m的取值范圍是0≤m≤■。

四、思考問題不全面出錯

例4已知一次函數y=kx+b，當-3≤x≤1時，對應的y的取值為1≤y≤9，則b2-k3的值等于________。

錯解由題意知，當x=-3時，y=1；當x=1時，y=9，

所以-3k+b=1，k+b=9。解得k=2，b=7。所以b2-k3=72-23=41。

剖析上面的解法只考慮了y隨x的增大而增大的情形，由于題設中并沒有告訴k的取值范圍，這說明k的值可為正也可為負，因此y也可隨x的增大而減小，上面的解法正是沒有全面考慮到這一點而導致出現漏解錯誤。

正解由上面的解法可求得k=2，b=7。所以b2-k3=72-23=41。

又因為當x=-3時，y=9；當x=1時，y=1。

所以-3k+b=9，k+b=1。解得k=-2，b=3。所以b2-k3=32-（-2）3=17。

所以b2-k3的值為41或17。

五、讀取圖像信息出錯

例5 甲、乙兩人在直線跑道上同起點、同終點、同方向勻速跑步500米，先到終點的人原地休息。已知甲先出發2秒，在跑步過程中，甲、乙兩人間的距離y（米）與乙出發的時間t（秒）之間的關系如圖1所示，有下列結論：

①a=8；②b=92；③c=123，其中正確的結論是（ ）。

■

A．①②③ B．①② C．①③ D．②③

錯解選擇“B”或“C”。

剖析觀察圖像，當t=100時，乙到達終點，誤認為此時b=500，是錯誤選擇“C”的原因所在，而錯誤計算甲到達終點的時間為c=500÷4=125，則是錯選“B”的主要原因。

正解由題意及讀取圖像信息可知，當t=100時，甲已出發2秒，跑了8米，所以甲的速度是4米／秒，當t=100時，乙到達終點，所以乙的速度是5米／秒，此時甲、乙兩人之間的距離為5×100-4×（100+2）=92（米），即b=92，故②正確；當t=a時，乙追上甲，所以5a=4a+8，解得a=8（秒），所以①正確；當t=c時，甲到達終點，所以c=500÷4-2=123（秒），因此③也正確，故正確答案應選擇“A”。

一次函數是初中數學中“數與代數”部分的重要內容，同學們在初學時，由于對其概念理解不透，忽視限制條件，分析考慮問題不全面，常常會出現各種各樣的錯誤。下面就同學們出現的一些常見錯解進行分類剖析。

一、概念理解不清出錯

例1已知下列函數：①y=2013x；②y-8x=13；③y=■-1；④y=3x2+7；

⑤y=-■x-5，其中y是關于x的一次函數的是（ ）。

A．①③④⑤ B．②③⑤

C．①②⑤ D．②⑤

錯解選擇“B”或“D”。

剖析形如y=kx+b（k≠0）的函數叫一次函數，其中k、b為常數，k≠0，但b可以為0，當b=0時，函數y=kx（k≠0）為正比例函數，它是一次函數的特殊情形，上述錯解中選擇“D”的同學就是忽略了這一點，而函數③、④根本就不符合一次函數的定義，選擇“B”的同學正是由于對一次函數的概念理解不清而出錯。

正解觀察上述各函數的表達式，對照一次函數的定義，可知正確的選擇應該是“C”。

二、忽視限制條件出錯

例2已知函數y=（m-3）x｜m｜-2-7是一次函數，則m=_________。

錯解由｜m｜-2=1，解得m=±3。所以所求m的值為m=3或m=-3。

剖析上述錯誤出在忽視了一次函數y=kx+b中要求k≠0這一限制條件，因為當m=3時，m-3=0，此時函數解析式為y=-7，它是平行于x軸的一條直線，其直線上任意點的縱坐標都為-7，是一個常數函數，而非一次函數。

正解由｜m｜-2=1，解得m=±3。當m=3時，m-3=0，故舍去，所以m=-3。

三、函數圖像與直線關系混淆出錯

例3 已知直線y=mx-5m+4不經過第四象限，則m的取值范圍是 ________。

錯解由題意可知，直線過一、二、三象限或一、三象限，

所以m＞0，-5m+4≥0。解得0＜m≤■。則m的取值范圍是0＜m≤■。

剖析一次函數的圖像是直線，但直線并不一定是一次函數。本題題設中的直線就沒有說明它一定是一次函數的圖像，因此，直線y=mx-5m+4，當m=0時，y=4，其圖像也不經過第四象限，所以m=0也符合題設條件。上述解法正是忽視了直線y=b（b＞0）的圖像不經過第四象限這一情況而導致出錯。

正解由題設可知，直線過一、二、三象限或一、三象限，

所以m≥0，-5m+4≥0。解得0≤m≤■。則所求m的取值范圍是0≤m≤■。

四、思考問題不全面出錯

例4已知一次函數y=kx+b，當-3≤x≤1時，對應的y的取值為1≤y≤9，則b2-k3的值等于________。

錯解由題意知，當x=-3時，y=1；當x=1時，y=9，

所以-3k+b=1，k+b=9。解得k=2，b=7。所以b2-k3=72-23=41。

剖析上面的解法只考慮了y隨x的增大而增大的情形，由于題設中并沒有告訴k的取值范圍，這說明k的值可為正也可為負，因此y也可隨x的增大而減小，上面的解法正是沒有全面考慮到這一點而導致出現漏解錯誤。

正解由上面的解法可求得k=2，b=7。所以b2-k3=72-23=41。

又因為當x=-3時，y=9；當x=1時，y=1。

所以-3k+b=9，k+b=1。解得k=-2，b=3。所以b2-k3=32-（-2）3=17。

所以b2-k3的值為41或17。

五、讀取圖像信息出錯

例5 甲、乙兩人在直線跑道上同起點、同終點、同方向勻速跑步500米，先到終點的人原地休息。已知甲先出發2秒，在跑步過程中，甲、乙兩人間的距離y（米）與乙出發的時間t（秒）之間的關系如圖1所示，有下列結論：

①a=8；②b=92；③c=123，其中正確的結論是（ ）。

■

A．①②③ B．①② C．①③ D．②③

錯解選擇“B”或“C”。

剖析觀察圖像，當t=100時，乙到達終點，誤認為此時b=500，是錯誤選擇“C”的原因所在，而錯誤計算甲到達終點的時間為c=500÷4=125，則是錯選“B”的主要原因。

正解由題意及讀取圖像信息可知，當t=100時，甲已出發2秒，跑了8米，所以甲的速度是4米／秒，當t=100時，乙到達終點，所以乙的速度是5米／秒，此時甲、乙兩人之間的距離為5×100-4×（100+2）=92（米），即b=92，故②正確；當t=a時，乙追上甲，所以5a=4a+8，解得a=8（秒），所以①正確；當t=c時，甲到達終點，所以c=500÷4-2=123（秒），因此③也正確，故正確答案應選擇“A”。