勾股定理中的數學思想

趙國瑞

數學思想方法是以具體數學內容為載體，又高于具體數學內容的一種指導思想和普遍適用的方法。它能使人領悟到數學的真諦，學會數學地思考和解決問題，并對人們學習和應用數學知識解決問題的思維活動起著指導作用。靈活運用數學思想方法解決問題，往往可以化難為易、化腐朽為神奇，取得事半功倍的效果。下面以勾股定理中滲透的數學思想為例說明。

一、分類思想

例1 (2013年貴州省黔西南州中考題)一直角三角形的兩邊長分別為3和4，則第三邊的長為( )

A．5 B．■ C．■ D．5或■

分析 邊長為4的邊可能是直角邊，也可能是斜邊，因此需要分類討論。

解 當邊長為4的邊是直角邊時，由勾股定理，得第三邊的長為■=5；

當邊長為4的邊是斜邊時，由勾股定理，得第三邊的長為■=■。

所以第三邊的長為5或■，故答案選D。

點評本題容易受“勾三股四弦五”的影響，直接把邊長為4的邊當作直角邊，從而誤選A，這樣就犯了考慮問題不全面的錯誤了。

二、方程思想

例2 (2013年山東省濟南市中考題)如圖1，小亮將升旗的繩子拉到旗桿底端，繩子末端剛好接觸到地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿8 m處，發現此時繩子末端距離地面2 m，則旗桿的高度為(滑輪上方的部分忽略不計)( )

A．12 m B．13 m C．16 m D．17 m

分析 觀察圖形，當繩子末端拉到距離旗桿8 m處時，可過繩子末端向旗桿作垂線，這樣可以得到一個直角三角形，然后設旗桿的高度為x，進而運用勾股定理列方程求解。

解 如圖2，設旗桿的高度為x m，則AC=AD=x，AB=x-2，BC=8。

在Rt△ABC中，由勾股定理，得（x-2）2+82=x2。

解得x=17，即旗桿的高度為17 m，故答案選D。

三、整體思想

例3 （2013年江蘇省揚州市中考題）矩形的兩鄰邊長的差為2，對角線長為4，則矩形的面積為________。

分析 設矩形的兩鄰邊長分別為a、b（a＞b），則a-b=2。又由勾股定理，得a2+b2=16。而矩形的面積等于ab，關鍵要設法將兩個等式轉化為含有ab的式子。

解 設矩形的兩鄰邊長分別為a，b（a＞b），則a-b=2。

由勾股定理，得a2+b2=16。

由（a-b）2=a2+b2-2ab，得22=16-2ab，所以ab=6，即矩形的面積為6。

點評 本題在求矩形的面積時，分別將a-b，a2+b2，ab看成一個整體，體現了數學中的整體思想。

四、歸納思想

例4 （2013年湖南省張家界市中考題）如圖3，OP=1，過P作PP1⊥OP，得OP1=■；再過P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=■；又過P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此法繼續作下去，得OP2012=________。

分析 首先根據勾股定理求出OP4，再由OP1，OP2，OP3的長度找到規律，進而求出OP2012的長。

解 由勾股定理，得OP4=■。

由OP1=■，OP2=■，OP3=2=■，……不難推出OPn=■。

所以OP2012=■。

五、數形結合思想

例5 （2013年湖南省張家界市中考題）如圖4，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A、C的坐標分別為（10，0）、（0，4），點D是OA的中點，點P在BC上運動，當△ODP是腰長為5的等腰三角形時，點P的坐標為____________。

分析 易知OD=5，要使△ODP為腰長為5的等腰三角形，可以點O為圓心，OD為半徑作圓；也可以點D為圓心，OD為半徑作圓。

解 由C（10，0），可知OD=5。

（1）以點O為圓心，OD為半徑作圓交邊BC于點P1，如圖5。

由勾股定理，得P1C=■=■=3。所以P1（3，4）。

（2）以點D為圓心，OD為半徑作圓交邊BC于點P2、P3，如圖6所示。

分別過點 P2、P3作x軸的垂線，垂足分別為E、F。

由勾股定理易得DE=DF=3。

所以OE=OD-DE=5-3=2，OF=OD+DF=5+3=8。

所以P2（2，4），P3（8，4）。

綜合（1）和（2），點P的坐標為（3，4）或（2，4）或（8，4）。

點評 本例在滲透數形結合思想的同時，又考查了分類討論思想。

數學思想方法是以具體數學內容為載體，又高于具體數學內容的一種指導思想和普遍適用的方法。它能使人領悟到數學的真諦，學會數學地思考和解決問題，并對人們學習和應用數學知識解決問題的思維活動起著指導作用。靈活運用數學思想方法解決問題，往往可以化難為易、化腐朽為神奇，取得事半功倍的效果。下面以勾股定理中滲透的數學思想為例說明。

一、分類思想

例1 (2013年貴州省黔西南州中考題)一直角三角形的兩邊長分別為3和4，則第三邊的長為( )

A．5 B．■ C．■ D．5或■

分析 邊長為4的邊可能是直角邊，也可能是斜邊，因此需要分類討論。

解 當邊長為4的邊是直角邊時，由勾股定理，得第三邊的長為■=5；

當邊長為4的邊是斜邊時，由勾股定理，得第三邊的長為■=■。

所以第三邊的長為5或■，故答案選D。

點評本題容易受“勾三股四弦五”的影響，直接把邊長為4的邊當作直角邊，從而誤選A，這樣就犯了考慮問題不全面的錯誤了。

二、方程思想

例2 (2013年山東省濟南市中考題)如圖1，小亮將升旗的繩子拉到旗桿底端，繩子末端剛好接觸到地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿8 m處，發現此時繩子末端距離地面2 m，則旗桿的高度為(滑輪上方的部分忽略不計)( )

A．12 m B．13 m C．16 m D．17 m

分析 觀察圖形，當繩子末端拉到距離旗桿8 m處時，可過繩子末端向旗桿作垂線，這樣可以得到一個直角三角形，然后設旗桿的高度為x，進而運用勾股定理列方程求解。

解 如圖2，設旗桿的高度為x m，則AC=AD=x，AB=x-2，BC=8。

在Rt△ABC中，由勾股定理，得（x-2）2+82=x2。

解得x=17，即旗桿的高度為17 m，故答案選D。

三、整體思想

例3 （2013年江蘇省揚州市中考題）矩形的兩鄰邊長的差為2，對角線長為4，則矩形的面積為________。

分析 設矩形的兩鄰邊長分別為a、b（a＞b），則a-b=2。又由勾股定理，得a2+b2=16。而矩形的面積等于ab，關鍵要設法將兩個等式轉化為含有ab的式子。

解 設矩形的兩鄰邊長分別為a，b（a＞b），則a-b=2。

由勾股定理，得a2+b2=16。

由（a-b）2=a2+b2-2ab，得22=16-2ab，所以ab=6，即矩形的面積為6。

點評 本題在求矩形的面積時，分別將a-b，a2+b2，ab看成一個整體，體現了數學中的整體思想。

四、歸納思想

例4 （2013年湖南省張家界市中考題）如圖3，OP=1，過P作PP1⊥OP，得OP1=■；再過P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=■；又過P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此法繼續作下去，得OP2012=________。

分析 首先根據勾股定理求出OP4，再由OP1，OP2，OP3的長度找到規律，進而求出OP2012的長。

解 由勾股定理，得OP4=■。

由OP1=■，OP2=■，OP3=2=■，……不難推出OPn=■。

所以OP2012=■。

五、數形結合思想

例5 （2013年湖南省張家界市中考題）如圖4，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A、C的坐標分別為（10，0）、（0，4），點D是OA的中點，點P在BC上運動，當△ODP是腰長為5的等腰三角形時，點P的坐標為____________。

分析 易知OD=5，要使△ODP為腰長為5的等腰三角形，可以點O為圓心，OD為半徑作圓；也可以點D為圓心，OD為半徑作圓。

解 由C（10，0），可知OD=5。

（1）以點O為圓心，OD為半徑作圓交邊BC于點P1，如圖5。

由勾股定理，得P1C=■=■=3。所以P1（3，4）。

（2）以點D為圓心，OD為半徑作圓交邊BC于點P2、P3，如圖6所示。

分別過點 P2、P3作x軸的垂線，垂足分別為E、F。

由勾股定理易得DE=DF=3。

所以OE=OD-DE=5-3=2，OF=OD+DF=5+3=8。

所以P2（2，4），P3（8，4）。

綜合（1）和（2），點P的坐標為（3，4）或（2，4）或（8，4）。

點評 本例在滲透數形結合思想的同時，又考查了分類討論思想。

數學思想方法是以具體數學內容為載體，又高于具體數學內容的一種指導思想和普遍適用的方法。它能使人領悟到數學的真諦，學會數學地思考和解決問題，并對人們學習和應用數學知識解決問題的思維活動起著指導作用。靈活運用數學思想方法解決問題，往往可以化難為易、化腐朽為神奇，取得事半功倍的效果。下面以勾股定理中滲透的數學思想為例說明。

一、分類思想

例1 (2013年貴州省黔西南州中考題)一直角三角形的兩邊長分別為3和4，則第三邊的長為( )

A．5 B．■ C．■ D．5或■

分析 邊長為4的邊可能是直角邊，也可能是斜邊，因此需要分類討論。

解 當邊長為4的邊是直角邊時，由勾股定理，得第三邊的長為■=5；

當邊長為4的邊是斜邊時，由勾股定理，得第三邊的長為■=■。

所以第三邊的長為5或■，故答案選D。

點評本題容易受“勾三股四弦五”的影響，直接把邊長為4的邊當作直角邊，從而誤選A，這樣就犯了考慮問題不全面的錯誤了。

二、方程思想

例2 (2013年山東省濟南市中考題)如圖1，小亮將升旗的繩子拉到旗桿底端，繩子末端剛好接觸到地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿8 m處，發現此時繩子末端距離地面2 m，則旗桿的高度為(滑輪上方的部分忽略不計)( )

A．12 m B．13 m C．16 m D．17 m

分析 觀察圖形，當繩子末端拉到距離旗桿8 m處時，可過繩子末端向旗桿作垂線，這樣可以得到一個直角三角形，然后設旗桿的高度為x，進而運用勾股定理列方程求解。

解 如圖2，設旗桿的高度為x m，則AC=AD=x，AB=x-2，BC=8。

在Rt△ABC中，由勾股定理，得（x-2）2+82=x2。

解得x=17，即旗桿的高度為17 m，故答案選D。

三、整體思想

例3 （2013年江蘇省揚州市中考題）矩形的兩鄰邊長的差為2，對角線長為4，則矩形的面積為________。

分析 設矩形的兩鄰邊長分別為a、b（a＞b），則a-b=2。又由勾股定理，得a2+b2=16。而矩形的面積等于ab，關鍵要設法將兩個等式轉化為含有ab的式子。

解 設矩形的兩鄰邊長分別為a，b（a＞b），則a-b=2。

由勾股定理，得a2+b2=16。

由（a-b）2=a2+b2-2ab，得22=16-2ab，所以ab=6，即矩形的面積為6。

點評 本題在求矩形的面積時，分別將a-b，a2+b2，ab看成一個整體，體現了數學中的整體思想。

四、歸納思想

例4 （2013年湖南省張家界市中考題）如圖3，OP=1，過P作PP1⊥OP，得OP1=■；再過P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=■；又過P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此法繼續作下去，得OP2012=________。

分析 首先根據勾股定理求出OP4，再由OP1，OP2，OP3的長度找到規律，進而求出OP2012的長。

解 由勾股定理，得OP4=■。

由OP1=■，OP2=■，OP3=2=■，……不難推出OPn=■。

所以OP2012=■。

五、數形結合思想

例5 （2013年湖南省張家界市中考題）如圖4，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A、C的坐標分別為（10，0）、（0，4），點D是OA的中點，點P在BC上運動，當△ODP是腰長為5的等腰三角形時，點P的坐標為____________。

分析 易知OD=5，要使△ODP為腰長為5的等腰三角形，可以點O為圓心，OD為半徑作圓；也可以點D為圓心，OD為半徑作圓。

解 由C（10，0），可知OD=5。

（1）以點O為圓心，OD為半徑作圓交邊BC于點P1，如圖5。

由勾股定理，得P1C=■=■=3。所以P1（3，4）。

（2）以點D為圓心，OD為半徑作圓交邊BC于點P2、P3，如圖6所示。

分別過點 P2、P3作x軸的垂線，垂足分別為E、F。

由勾股定理易得DE=DF=3。

所以OE=OD-DE=5-3=2，OF=OD+DF=5+3=8。

所以P2（2，4），P3（8，4）。

綜合（1）和（2），點P的坐標為（3，4）或（2，4）或（8，4）。

點評 本例在滲透數形結合思想的同時，又考查了分類討論思想。