基于時變自回歸模型的非平穩數據預測方法研究

王莉娜，姜相奪，蘆玉華

基于時變自回歸模型的非平穩數據預測方法研究

王莉娜，姜相奪，蘆玉華

針對現有的自回歸（Autoregressive, AR）模型對非平穩數據預測效果不佳的問題，提出了基于時變自回歸（Time-Varying Autoregressive, TVAR）模型的時序預測方法。針對某型國產飛機發動機的低壓轉速信號，使用TVAR模型分別進行點預測和區間預測，并與AR模型的點預測結果進行對比。研究結果表明，TVAR模型能夠很好地反映非平穩數據的變化趨勢。在給定置信水平下，TVAR預測區間能夠包含真實數據，因此TVAR模型在時序預測中具有更好的預測效果。

時間序列；時變自回歸模型；預測

0 引言

近年來，隨著微機、航空、航天、電子、通信金融等領域的發展，時間序列預測變得越來越重要，是當前科學研究的熱點之一。目前，我國學者已將時間序列法中的回歸分析法、分解分析法應用于故障率預測，然而回歸分析法需要首先識別目前產品所處階段，分解分析法則需要大量數據支撐，不適用于數據量少的情況，這兩種方法都存在一定的局限性。時間序列法中的ARMA（Autoregressive Moving Average）模型能較好地解決上述問題，無須識別產品所處階段，所需數據量少，且預測精度較高，便于在線性最小方差意義下進行最佳預報和控制。研究人員已經將ARMA模型應用于故障數預測、設備缺陷數預測[1][2]。

ARMA模型的兩種特殊情況是AR模型、MA模型等。其中，由于AR模型的結構相對簡單，在某種意義上，AR模型和MA模型及ARMA模型可以相互轉化，因此AR模型的應用范圍最廣。AR模型的系數是常數，不能隨著信號的變化而不斷調整，適用于平穩信號，對非平穩信號的適用性較差。

TVAR模型是將AR模型的常系數ai展開為一組基時間函數的線性組合，模型系數能夠動態調整，可以更好地描述信號的變化，已經在模態識別[3]，語音分析[4]及故障診斷[5]等方面成功應用。

本文針對TVAR模型在非平穩信號處理方面的優勢，提出了基于TVAR模型的非平穩數據預測方法。

1 時變自回歸模型

1.1 AR預測模型簡介

AR模型是一種特殊的隨機線性時不變（LTI）系統離散時間模型。該模型的輸出序列y(n)可以看作是白噪聲e(n)通過有理濾波器得到。對于長度為N的時間序列y(n)，其AR模型具有如下形式：

其中，y(n)為第n時刻的采樣值，ai為AR模型的系數，p為模型的階數，e(n)為模型的殘差。

假設要對長度為N的時間序列y(n)作k步預測，設第n時刻的預測值用y?(n)表示，則第N+k時刻的預測數據有如下形式如公式（2）：

1.2 TVAR預測模型

（1）點預測

TVAR模型是將AR模型的常系數ai展開為一組基時間函數的線性組合，因此該模型能夠根據信號的變化而不斷地調整模型的系數，從而能夠更好地描述信號的變化，即對于長度為N的時間序列y(n)，TVAR模型用差分方程形式表示如公式（3）、（4）：

其中，y(n)為第n時刻的采樣值，ai(n)為時變系數，p為模型的階數，e(n)為模型的殘差，aij為基時間函數的加權系數，gj(n)為基時間函數，m為基展開的維數。

假設要對長度為N的時間序列y(n)作k步預測，即使用有限個歷史數據y(1),y(2),…,y(N)對第N+k時刻的數據y(N+k)作預測，設第n時刻的預測值用y?(n)表示，則第N+k 時刻的預測數據有如下形式如公式（5）：

其中，當i≥k時，y?(N+k?i )=y(N+k?i )。

使用文獻[7]所用的前后向估計相結合的方法估算出系數aij以后，便可使用公式（4）計算出a?i(N+k)的值，之后利用公式（5）便可計算出第N+k時刻的預測值y?(N+k)。

2 區間預測

在參數的點估計中，當θ?=θ?(X1,X2,…,Xn)是未知參數θ的一個估計量時，對于一組樣本值(x1,x2,…,xn)就得到θ的一個估計值θ?=θ?(x1,x2,…,xn)。點估計就是取θ≈θ?，這使得我們對θ的值有了一個明確的數量概念。但是，點估計值θ?僅僅是未知參數θ的一個近似值，這種近似值的精確程度或誤差范圍都沒有給出，這是點估計的缺陷，而區間估計則正好在一定程度上彌補了點估計的這個缺陷[8]。

y(N+k)的第k步預測由式（5）給出，則第k步預測的方差由公式（6）給出：

其中如公式（7）：

當i＞p時，ai(n)=0，σ2為前N時刻的方差。

于是y(N+k)的置信水平為1?α的置信區間如公式（8）：

公式（6）至公式（8）的具體推導過程參見文獻[9]。

3 點預測算例分析

為了探討TVAR算法的預測效果，本文選用某型國產飛機發動機所采集到的左發低壓轉速NL為預測對象。選取其中的528個數據點，前508個數據點作為歷史數據，后20個數據點為待預測數據。模型階數的選取采用AIC預報準則[10]，TVAR模型選用DCT基時間函數（Discrete Cosine Transform）[11]，基展開維數為12。

為了更清楚地查看AR模型與TVAR模型的預測效果，將真實值與預測值作圖比較。真實的528個數據點的波形圖，如圖1所示：

圖1 低壓轉速時間序列

由圖1可知，所選取的508個歷史數據變化比較大，尤其是在第160個數據點和第420個數據點時，數據下降得比較劇烈，而所需預測的最后20個數據點已經趨于平緩。AR模型的預測結果，如圖2所示：

（a） Yule-Walker算法

（b）最小二乘與Burg算法圖2 AR模型預測

AR系數估計方法包括Yule-Walker算法，最小二乘算法和Burg算法。為了有一個更清晰的比較，將Yule-Walker算法單獨作圖，如圖2（a）所示，從圖中可以看出，使用Yule-Walker算法所預測的數據與真實值存在較大誤差，且圍繞真實值上下波動，并不能體現出后20個點的變化趨勢。圖2（b）為使用Burg算法與最小二乘方法預測的結果。從圖中可以看出，最小二乘方法與Burg算法所預測的數據有相似的預測結果和相同的變化趨勢，二者的預測值均圍繞著真實值上下波動，但是預測的數據逐漸發散，預測誤差越來越大。由此可見，使用Yule-Walker算法，最小二乘算法和Burg算法等3種方法進行AR模型的系數估計，所預測的數據并不能很好地反映真實數據的變化趨勢，且預測誤差逐漸增加。

為使用TVAR模型所得到的預測結果如圖3所示：

圖3 TVAR模型預測

從圖中可以看出，TVAR模型的預測數據與真實的低壓轉速之間的差別很小，雖然隨著預測步長的增加，預測的誤差逐漸增大，但是該模型基本能夠較好地反映真實數據的變化趨勢，且預測誤差也在允許的范圍以內。

4 區間預測算例分析

為了研究預測值的估計精度與誤差范圍，對第3節的發動機低壓轉速進行區間估計。選取α=0.10，即置信水平為90%，查看正態分布表可知，此時，利用公式(6)至公式(8)計算第k步預測的真實值y(N+k)的置信區間，TVAR模型區間估計的結果，如圖4所示：

圖4 TVAR模型區間估計

從圖4可以看出，所預測的20個真實值全都落在預測區間中，然而，隨著預測步長的增加，預測的區間半徑逐漸增大，這是因為由于累積誤差的存在，預測值與真實值的差距越來越大，為了保證預測結果的可靠性，必然得增加預測區間的長度，因而預測的精確度有所降低。

由此可見，對于區間預測來說，預測的可靠度與精確度是相互制約的。在實際應用中，常采用一種折中的方案，在使得置信度達到一定要求的前提下，尋找精確度盡可能高的區間估計。實際上，對于本例來說，由于所預測的發動機低壓轉速不可能為負值，所以從第3個預測點開始，預測下限就已經不具有物理意義了。

5 總結

本文主要研究了TVAR模型在時序預測方面的應用。針對比較常見的預測類型——點預測與區間預測，分別推導了TVAR預測模型的公式。通過對某型國產飛機在某次飛行中的發動機低壓轉速的一段數據，使用TVAR模型與AR模型進行步長為20的點預測和區間預測，結果表明，對于變化比較大的數據，AR模型并不能很好地跟蹤信號的變化趨勢，甚至會出現非常大的預測誤差。而TVAR模型的能夠很好地反映真實數據的變化趨勢，且預測誤差也在允許的范圍以內。在給定置信水平下，TVAR預測區間能夠包含真實的數據，因此具有更好的預測效果。

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Prediction Research of Non-stationary Data Based on Time-Varying Autoregressive Model

Wang Lina, Jiang Xiangduo, Lu Yuhua
(Experimental Center of Shaanxi Fast Group Company Institute, Xi’an 710119, China)

As the AR(Autoregressive) model has poor prediction effect on non-stationary data, a Time-Varying Autoregressive model is established for timing prediction. Point and interval predictions of the TVAR Model are conducted based on NL data of an aero-engine, and are compared to point prediction of the AR model. The result shows that the TVAR model can reflect the real trend of the data, and the prediction errors are in the allowable range. At a given confidence level, the TVAR prediction interval contains real data, so the TVAR model has better prediction results in the timing projections.

Time Series; Time-Varying Autoregressive Model; Prediction

TP391

A

2014.05.27）

王莉娜（1983-），女，陜西法士特汽車傳動研究院，工程師，碩士，研究方向：機械設備故障診斷分析，西安，710119

姜相奪（1983-），男，陜西法士特汽車傳動研究院，工程師，學士，研究方向：機械設備故障診斷分析，西安，710119

蘆玉華（1986-），男，西安華為技術有限公司，工程師，碩士，研究方向：云計算虛擬化容災，西安，710075

1007-757X(2014)08-0034-03